Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

19.3.1. Решить уравнение .

Решение. .

Делим обе части уравнения на , получим , интегрируем

 - общее решение данного уравнения. При делении выражения на  могло быть потеряно решение , но оно входит в общее решение при .

Ответ: .

19.3.2. Решить уравнение

Решение. Приведём уравнение к виду: .

Делим обе части уравнения на выражение , получим            

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:     

При делении выражения на  могли быть потеряны решения  и  т. е.  Очевидно, решение уравнения, а нет. Ответ: ; .

19.3.3. Решить уравнение

Решение. Обозначим , тогда  

Подставляя  и  в данное уравнение, получим: , откуда сле­дует         

.

Возвращаясь к старым переменным, получим:

 — общий инте­грал уравнения. Учитывая начальное условие, получим частный инте­грал: . Ответ: .

19.3.4. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на , получим . При делении на  могло быть потеряно решение . Но это решение получается из общего решения при . Ответ: .   

19.3.5. Решить уравнение ;

Решение.

С учетом начального условия получим

Ответ: .

 

19.4. Задачи для самостоятельного решения

19.4.1. 19.4.2. 19.4.3 19.4.4.   19.4.5.    19.4.6.    19.4.7.  

Ответы.     19.4.1.  и    19.4.2.

19.4.3.    19.4.4.     19.4.5.   

19.4.6.   19.4.7.     

             19.5. Однородные уравнения. Решения типовых задач

Однородные уравнения могут быть записаны в виде  а также в виде  где  и  — однородные функции одной и той же степени. (Функция  называется однородной функцией степени , если для всех  имеем ) Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену  после чего получается уравнение с разделяющимися переменными.

19.5.1. Решить уравнение

Решение. Это однородное уравнение. Пусть   Тогда  Подставляя в уравнение, получим  

 Возвращаясь к старому переменному  запишем  Кроме того, имеется решение  которое было потеряно при делении на

Ответ: .

19.5.2. Решить уравнение

Решение.  Подставляем в уравнение ; сокращая на , получим:

Разделяя переменные и затем интегрируя, имеем:

 

Переходя к старым переменным, получим окончательный ответ: .

19.5.3. Решить уравнение

Решение.  Проведём замену  и подставим ее в уравнение: . Разделяя переменные  и интегрируя, запишем

. Возвращаясь к старым переменным, получим ответ:

Уравнение вида  приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку  пересечения прямых  и  заменой . Если же эти прямые не пересекаются, то  следовательно, уравнение имеет вид  и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой  см. замечание в п. 19.2 и пример 19.3.3.

19.5.4. Решить уравнение

Решение. . Это уравнение, приводящееся к однородному с помощью параллельного переноса осей координат:  Решая систему линейных уравнений ,  найдём: . 

Отсюда  — однородное уравнение. Проводим известные уже замены  Возвращаясь к старым переменным, получим окончательный ответ

19.5.5. Решить уравнение

Решение.  подставим в уравнение: . Разделяя переменные  и интегрируя, после возвращения к старым переменным, получим ответ  

19.6. Задачи для самостоятельного решения

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

19.6.1.       19.6.2.  

19.6.3.   19.6.4.  19.6.5.    19.6.6.  

Ответы.     19.6.1.         19.6.2.  

19.6.3.   19.6.4. 19.6.5. 19.6.6.