Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

16.3.1. Вычислить ротор векторного поля .

Решение. Здесь ,  и . Компоненты ротора равны , ,

.

Итак, .

16.3.2. Найти по формуле Стокса циркуляцию векторного поля  по окружности , , , ориентированной против часовой стрелки при взгляде на нее из начала координат.

Решение. Выберем в качестве поверхности , ограниченной данной окружностью , круг  при . Поскольку контур обходится против часовой стрелки при взгляде из начала координат, согласованной единичной нормалью к поверхности  является вектор . Найдем ротор векторного поля: , тогда . По формуле Стокса , где  – площадь круга , радиус которого равен единице.

16.3.3. Вычислить циркуляцию вектора  вдоль контура :  в направлении, соответствующем возрастанию параметра . Задачу решить по формуле Стокса и прямым вычислением.

Решение. Как видно из параметрического задания кривой,  — это эллипс, являющийся пересечением цилиндра  и плоскости . В качестве поверхности , опирающейся на контур , возьмем часть этой плоскости, ограниченную данным эллипсом. Если смотреть из начала координат, при возрастании  контур обходится по часовой стрелке, поэтому нормалью к , согласованной с направлением обхода контура, будет единичный нормальный вектор плоскости  с положительной аппликатой, т. е. .

Теперь найдем ротор:

. Скалярное произведение . По формуле Стокса циркуляция равна . Проекцией эллипса на плоскость  является окружность , ограничивающая круг, площадь которого равна . Косинус угла между плоскостями  и  равен , тогда по формуле площади проекции .

 

Вычислим теперь циркуляцию непосредственно, используя параметрическое задание контура:

.

16.3.4. Найти циркуляцию вектора  вдоль контура , вырезанного на параболоиде  плоскостями , ,  при , . Контур  обходится по часовой стрелке при взгляде со стороны положительных значений координаты .

Рис. 16.2

 

Решение. Контур состоит из двух дуг парабол и четверти окружности (рис. 16.2). Направление обхода контура, указанное в условии, соответствует выбору внешней нормали  к параболоиду, т. е. нормали с отрицательной аппликатой. В качестве поверхности , ограниченной контуром , выберем часть параболоида.

По формуле Стокса

Вычислим ротор

. Чтобы найти поток ротора, выберем метод проектирования на одну координатную плоскость, изложенный в п. 13.1, а именно, на плоскость . Проекцией поверхности  является четверть круга  радиуса . Уравнение поверхности : , компоненты ротора , , . Учтем, что, в отличие от п. 13.1, мы выбрали нормаль к , составляющую тупой, а не острый угол с осью , поэтому

.

Итак, циркуляция равна .

16.3.5. Найти циркуляцию векторного поля  вдоль эллипса, образованного пересечением эллипсоида  с плоскостью .

Решение. Ротор этого поля найден в примере 16.3.1. В качестве поверхности, опирающейся на контур, выберем участок плоскости  внутри эллипсоида . Единичная нормаль к плоскости  равна , . На выбранной поверхности . Исключим из уравнений эллипсоида и плоскости : , или . Следовательно, проекция поверхности интегрирования  на плоскость  есть круг радиуса 1. По формуле Стокса получаем:

. Двойной интеграл вычислим в полярных координатах:

 

16.4. Задачи для самостоятельного решения

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

16.4.1.  Найти , если: а) ; б) .

16.4.2. Решить задачу 14.5.5 б) с помощью формулы Стокса.

16.4.3. Найти циркуляцию векторного поля  по сечению сферы  плоскостью  в положительном направлении обхода относительно вектора .

16.4.4. Вычислить циркуляцию вектора  вдоль контура  пробегаемого в направлении возрастания параметра . Вычисления произвести непосредственно и по формуле Стокса.

16.4.5. Найти циркуляцию векторного поля  по ломаной , где , , , ,  — вершины прямоугольного параллелепипеда. При вычислении по теореме Стокса в качестве поверхности, опирающейся на контур, выберите часть поверхности этого параллелепипеда.

16.4.6. Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру, вырезанному из двуполостного гиперболоида  плоскостями ,  и  при .

 

Ответы.

16.4.1. а) ; б) . 16.4.3. . 16.4.4. .   16.4.5. .   16.4.6. .

ЧАСТЬ Б)

ДТСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

 СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ