Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

17.4.1. Доказать формулы: 1) ; 2) .

 

Решение. 1) .

2) . В этой выкладке мы учли, что векторное произведение меняет знак при перестановке сомножителей.

17.4.2. Вычислить , где  – радиус вектор точки , а  – постоянный вектор.

 

Решение. По формуле для двойного векторного произведения запишем:

.

Используя соотношение 2) примера 17.4.1, получим , . Теперь вычислим , , . Отсюда .

17.4.3. Показать, что .

Решение. По формуле двойного векторного произведения (см. пример 17.4.2), получим . Первое слагаемое равно , а во втором на вектор  действует квадрат оператора Гамильтона. Это т. н. оператор Лапласа (или лапласиан), который обозначается символом  и в декартовых координатах имеет вид . Оператор Лапласа применяется как к скалярным, так и к векторным полям. Таким образом, .

17.4.4. Проверить, что векторное поле  является потенциальным, и найти его потенциал.

Решение.

Рис. 17.1

                       . Значит, поле  является потенциальным. Для вычисления потенциала воспользуемся формулой п. 17.2, приняв за точку  начало координат и выбрав в качестве контура, соединяющего точку  с точкой , ломаную линию  со звеньями, параллельными координатным осям (рис. 17.1). Тогда , поскольку на отрезке , на отрезке  координата  не меняется , а , а на отрезке  не меняются значения координат  и . Далее, на отрезке  функция  равна нулю, т. к. . Учитывая все это, запишем . В обоих интегралах координата  полагается постоянной величиной, откуда .

17.4.5. Показать, что поле  является потенциальным, и вычислить работу поля вдоль контура, соединяющего точки  и .

Решение. Поле  определено в области , . Ротор этого поля равен , следовательно, поле является потенциальным. Найдем потенциал  этого поля. Из равенства  следует, что , где  – произвольная функция переменных  и , выполняющая роль "константы" при интегрировании по переменной . Для ее определения используем равенство , откуда, с учетом найденного выражения для , получим , или , т. е. . Функцию определим из равенства , т. е. , откуда . Итак, , где  – произвольная постоянная. Работа поля между точками  и  равна

.

17.4.6. Проверить, что поле  является соленоидальным, и найти его векторный потенциал.

Решение. , поэтому поле является соленоидальным. Следуя процедуре, описанной в п. 17.3, выберем , тогда , , откуда , , где  и – произвольные функции. Мы еще не использовали уравнение , что, после подстановки найденных выражений для  и , дает . Положим теперь , тогда , или . Итак, векторный потенциал данного поля равен , где  – произвольная функция.

17.4.7. Показать, что поле , являющееся одновременно и потенциальным, и соленоидальным, удовлетворяет равенству .

Решение. Из формулы, полученной в примере 17.4.3, следует, что . Если векторное поле является одновременно потенциальным и соленоидальным (такие поля называются гармоническими), то  и . Обратное утверждение неверно. Например, для , но .

Уравнение  называется уравнением Лапласа, а удовлетворяющие ему скалярные функции называются гармоническими. Очевидно, что потенциальное поле с гармоническим потенциалом само является гармоническим. Действительно, если , где , то , т. е. поле  является не только потенциальным, но и соленоидальным.

17.5. Задачи для самостоятельного решения

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

17.5.1. Найти а) ; б) ; в) ; г) ; д) , где  и  – постоянные векторы, а  - радиус-вектор точки .

17.5.2. Показать, что: а) ;

б) , где , а  – постоянный вектор;

в) .

17.5.3. Пусть . Вычислить  и .

17.5.4. Проверить потенциальность и найти потенциал поля : а) ; б) . 

17.5.5. Проверить соленоидальность поля  и найти его векторный потенциал.

17.5.6. Какую функцию  следует взять в ответе к задаче 17.5.5, чтобы получить векторный потенциал ? 

17.5.7. Найти векторный потенциал поля .

17.5.8. Показать, что поле  является гармоническим и найти его скалярный и векторный потенциалы.

    

Ответы. 17.5.1. а) ; б) ; в) ; г) 0; д) . 17.5.3. ; . 17.5.4. а) ; б) . 17.5.5. . 17.5.6. . 17.5.7. . 17.5.8. ; .

 

ЧАСТЬ В)

ОБЫКНОВЕННЫЕ

 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ) ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Основные понятия