Потенциальная энергия в поле силы тяжести

Теорема о ки­не­ти­че­ской энер­гии го­во­рит о том, что ра­бо­та всех сил, дей­ству­ю­щих на тело, равна из­ме­не­нию ки­не­ти­че­ской энер­гии тела. По-друго­му можно ска­зать, что ки­не­ти­че­ская энер­гия тела – это спо­соб­ность тела вы­пол­нить ра­бо­ту за счет того, что у него есть ско­рость.

Рас­смот­рим ра­бо­ту силы тя­же­сти. На неболь­ших рас­сто­я­ни­ях от поверхно­сти Земли (по срав­не­нию с ра­ди­у­сом Земли), силу тя­же­сти можно счи­тать по­сто­ян­ной и рав­ной . Пусть тело мас­сой сво­бод­но па­да­ет под дей­стви­ем силы тя­же­сти с вы­со­ты . Пе­ре­ме­ще­ние и сила на­прав­ле­ны вниз, сле­до­ва­тель­но, ра­бо­та силы тя­же­сти по­ло­жи­тель­на и равна

.

По опре­де­ле­нию, пе­ре­ме­ще­ние тела равно . Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­та силы тя­же­сти равна

.

От­ме­тим, что аб­со­лют­но неваж­но, от какой точки от­счи­ты­вать высоты и (Рисунок 4). Мы можем от­счи­ты­вать эти вы­со­ты от уров­ня моря или от уров­ня вер­ши­ны Эве­ре­ста, и ве­ли­чи­на ра­бо­ты, со­вер­шен­ной силой тяже­сти, не из­ме­нит­ся, по­сколь­ку в фор­му­лу для ра­бо­ты силы тя­же­сти входит раз­ность этих ве­ли­чин, а не их аб­со­лют­ные зна­че­ния.

Рисунок 4. Тело па­да­ет под дей­стви­ем силы тя­же­сти

За­ме­тим также, что ра­бо­та силы тя­же­сти при подъ­еме тела с вы­со­ты до вы­со­ты равна

.

Эта ра­бо­та равна ра­бо­те силы тя­же­сти при спус­ке тела с противоположным зна­ком. Таким об­ра­зом, ра­бо­та силы тя­же­сти по замкнуто­му кон­ту­ру равна нулю.

Если тело не будет па­дать вер­ти­каль­но вниз, а будет ска­ты­вать­ся с наклон­ной плос­ко­сти под неко­то­рым углом к го­ри­зон­ту (Рисунок 5).

Рисунок 5. Тело со­скаль­зы­ва­ет по на­клон­ной плос­ко­сти под неко­то­рым углом к го­ри­зон­ту

Пусть тело массы под дей­стви­ем силы тя­же­сти со­вер­ша­ет перемещение , рав­ное по мо­ду­лю длине на­клон­ной плос­ко­сти. Со­глас­но опре­де­ле­нию ра­бо­ты, ра­бо­та силы тя­же­сти равна

.

Из ри­сун­ка 5 оче­вид­но, что . Таким об­ра­зом, получается то же вы­ра­же­ние, что и для тела, дви­жу­ще­го­ся по вер­ти­ка­ли:

.

Из этого можно сде­лать вывод, что ра­бо­та силы тя­же­сти за­ви­сит толь­ко от «по­те­ри вы­со­ты».

Это спра­вед­ли­во для спус­ка тела по любой тра­ек­то­рии (Рисунок 6). Действитель­но, про­из­воль­ную тра­ек­то­рию можно раз­бить на ма­лень­кие участ­ки, на ко­то­рых ее можно счи­тать ли­ней­ной. На каж­дой из этих маленьких на­клон­ных плос­ко­стей будет спра­вед­ли­во, что ра­бо­та силы тяжести за­ви­сит толь­ко от по­те­ри вы­со­ты, сле­до­ва­тель­но, ра­бо­та силы тяжести на всем спус­ке за­ви­сит также толь­ко от по­те­ри вы­со­ты.

Рисунок 6. Спуск тела по про­из­воль­ной тра­ек­то­рии

 

По­тен­ци­аль­ная энер­гия – это спо­соб­ность тела со­вер­шить ра­бо­ту за счет рас­по­ло­же­ния ма­те­ри­аль­ных точек, со­став­ля­ю­щих си­сте­му.

Дей­стви­тель­но, для тела, ко­то­рое па­да­ет под дей­стви­ем силы тя­же­сти, ра­бо­та со­вер­ша­ет­ся за счет вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния Земли и тела. В слу­чае силы упру­го­сти, ра­бо­та со­вер­ша­ет­ся за счет вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния молекул внут­ри тела (пру­жи­ны). От­ме­тим, что сама по себе по­тен­ци­аль­ная энер­гия не имеет осо­бо­го фи­зи­че­ско­го смыс­ла, по­сколь­ку может отсчитывать­ся от лю­бо­го уров­ня. Имеет смысл из­ме­не­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии. По­доб­ные ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют ад­ди­тив­ны­ми.

Потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной — в зависимости от размещения точки отсчета по отношению к нулевому уровню.

Изменение потенциальной энергии системы взаимодействующих тел численно равно работе, выполняемой консервативными силами при переводе системы без изменения скорости из одного состояния в другое с новым размещением (конфигурацией) тел. Потенциальную энергию одного из состояний системы тел условно принимают равной нулю. В этом случае предполагают, что тела не взаимодействуют друг с другом. Выбор нулевого уровня отсчета потенциальной энергии произвольный. Поскольку потенциальная энергия определяется силами, значения которых зависят от вида, взаимодействия и от расстояния между взаимодействующими телами, то единой универсальной формулы, позволяющей определить потенциальную энергию, не существует. Подчеркнем, что потенциальную энергию имеет физическая система, состоящая как минимум из двух взаимодействующих тел. Если говорят о потенциальной энергии одного тела, то в этом случае понимают энергию, которая определяется взаимным расположением частей этого тела. Из независимости работы силы тяжести от формы траектории следует, что ее работа на замкнутом пути равна нулю.