Какое уравнение называется рациональным с неизвестным х?

Задачи урока:

– образовательные (формирование познавательных УУД, в том числе специально-предметных действий):

научить выделять и формулировать познавательную цель, моделировать, определять рациональное уравнение и понимать, что означает решить такое уравнение; уметь исследовать область допустимых значений уравнения, находить общий знаменатель уравнения; уметь находить дополнительные множители, удовлетворяющие конкретным дополнительным условиям;

– воспитательные (формирование личностных и коммуникативных УУД):

действие смыслообразования (установление связей между целями и мотивами), формирование умений слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность;

– развивающие (формирование регулятивных УУД):

постановка учебных задач, формировать умения обрабатывать информацию и систематизировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Тип урока: изучение нового материала..

Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа, групповая работа, ИКТ.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор (интерактивная доска), доска, экран, технологическая карта урока для каждого учащегося, электронная презентация, выполненная в программе PowerPoint.

Структура урока:

1. Организационный момент

1. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний.

-Устная работа

4. Изучение нового материала.

-Исследовательская работа по выработке алгоритма для решения рациональных уравнений

-Решение рациональных уравнений по алгоритму

Физкультминутка

5.  Закрепление изученного материала                             

- Самостоятельная работа (контроль и самопроверка знаний)

6. Подведение итогов урока

- Диагностика результатов урока;

-Рефлексия достижения цели.

7. Домашнее задание (инструктаж по его выполнению).(2мин)

Ход урока

Организационный момент.

Добрый день, ребята! Послушайте о том, какой казус случился с молодым норвежским математиком Нильсом Абелем: связан он с потерей письма, написанного знаменитому французскому профессору математики из Сорбонны Огюстену Луи Коши в 19 веке. Перед вами его обрывок.

 

 

 

                                                       Рис.1

 

Что было написано в этом письме? Учащиеся: речь идёт о рациональном уравнении, записанном двумя способами, а значит и о решении рациональных уравнений.

Умеем ли мы решать рациональные уравнения, и если да,  то какого уровня сложности?

Как вы считаете, чем мы займемся сегодня на уроке? Учащиеся формулируют тему урока. Ребята, великий, немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе: «Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно», скажите что должен уметь делать каждый из вас на сегодняшнем уроке? Учащиеся: уметь правильно и быстро  решать дробно-рациональные уравнения.

 

Вспомним решение упражнений

1группа

Решить уравнение

 =0; ; =0; х+2=0: х= -2. Ответ: -2.

 

2 группа

Решить уравнение

Ответ: 2.

 

3.Актуализация знаний.  

Мы с вами вспомним некоторые математические понятия, необходимые на уроке. Подумайте и обсудите в парах вопросы по карточкам.

Устно (написать ответы)

Чтобы решить уравнение

 = 0, где P(х) и Q(х) – многочлены, надо найти корни уравнения Р(х) = 0 и подставить каждый из них в знаменатель Q(х) левой части уравнения. Те из них, которые обращают знаменательQ(х) в число, не равное нулю, являются корнями уравнения; других корней уравнение не имеет.

 За верный ответ 1 бал. (Всего 5 баллов)

Задания для устной работы (с использованием сигнальных дощечек)

  При каком значении х равна нулю дробь:

а) : (0)   б)s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>6</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ; (-3)в) ; (-2)  г) ;(0) д) ; (7)ж) (0)

 За верный ответ 1 бал. (Всего 6 баллов)

 

 Равносильны ли уравнения = 0 и х-1 = 0? Ответ: да

 Является ли число3 корнем уравнения s w:val="28"/></w:rPr><m:t>С…-</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>3</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  = 0? Ответ: нет

 

Изучение нового материала

Исследовательская работа по выработке алгоритма для решения рациональных уравнений.

Идёт обсуждение плана решения рациональных уравнений 2-   = 0 и

=  -1 с записью опорных слов алгоритма на доске.

Какие шаги необходимо предпринять для того, чтобы упростить решение уравнения           (перенести все слагаемые в одну часть, преобразовать левую часть уравнения к виду алгебраической дроби , решить уравнение р(х)=0, проверить, не обращается ли знаменатель в нуль).

Решение рациональных уравнений (на доске решает ученик).

Пример 1. Решим уравнение

2-                              (1)
Применим к левой части уравнения (1) правило вычитания алгебраических дробей:
2- =  =             (2)

Для любого числа х₀ ≠ 1 равны числовые значения левой и правой частей равенства (2).

В частности, если для некоторого числа  обращается в нуль одна часть равенства (2), то для него обращается в нуль и другая его часть. А это означает, что уравнение (1)равносильно уравнению

= 0. (3)

Уравнение (3) мы умеем уже решать. Для этого решим сначала уравнение

                                                     Х-3=0.

Оно имеет единственный корень = 3. При этом число = 3 не обращает в нуль знаменатель дроби левой части уравнения (3):

Поэтому уравнение (3) имеет единственный корень = 3.

Значит, и исходное уравнение (1) имеет единственный корень =3.

Ответ:3.
Пример 2. Решим уравнение

=  -1. (4)

Перенесём все члены уравнения (4) влево, получим уравнение

-  +1=0, (5)

равносильное уравнению (4).

Применим к левой части уравнения (5) правила сложения и вычитания алгебраических дробей:

-  +1=  = .

Рассуждая, как в примере (1), получим уравнение

=0(6)
равносильное уравнению (5).

Для решения уравнения (6) надо сначала решить уравнение

-3х+5=0.

Поскольку его дискриминант

Д=в²- 4ас = (-3)²  -4*1*5 = -11, -11<0,

то оно не имеет корней.

Следовательно, исходное уравнение (4) не имеет корней.

Ответ: не имеет корней.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений. Дети сами формулируют алгоритм.

1. Перенести все члены уравнения в левую часть.

2. Преобразовать левую часть уравнения к виду алгебраической дроби .

 3. Решить уравнение p(x)=0.

4. Для каждого корня уравнения p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x)≠0 или нет.

Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.

Записать ответ.

Пример 2

 = ;  - ; ; 

  Решим сначала уравнение                

9- =0; ;m₁= -3; m₂=3.При этом числа -3 и 3 не обращают в нуль знаменатель дроби левой части уравнения.

Поэтому уравнение имеет два корня m₁= -3; m₂=3.

Ответ:-3;3.

Пример 3

 y+ ;

Ответ: .

 

Пример 4

 +1;  -1=0; ;  Решим сначала уравнение           

 

=0;

При этом число -2 не обращает в нуль знаменатель дроби левой части уравнения, поэтому является корнем уравнения. Число 2 обращает в нуль знаменатель дроби левой части уравнения, поэтому не является корнем уравнения.                                                                     Ответ:-2.

Пример 5

^{;        ;}

     

^{22с=0; с=0}     При этом число 0 не обращает в нуль знаменатель дроби левой части уравнения, поэтому является корнем уравнения.

 Ответ:0

Самостоятельная работа

 (1 уровень)                                  

Найдите корни уравнения:

Цель: проконтролировать умения учащихся решать дробно-рациональные уравнения с одинаковыми знаменателями; с одинаковыми знаменателями, но с разными знаками;.
(зз) – знакомая задача

(мз) – малознакомая задача

 (2уровень)

Решите уравнения:

Цель: проконтролировать умение учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями, не требующими разложения на множители.

(зз) 

(мз)

   3 группа (3уровень)                                               

Найдите корни уравнения:

Цель: проконтролировать умение учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями, требующими разложения на множители.

(нз) – незнакомая задача

6 Домашнее задание Контроль знаний.

Дополнительные задания

 Решить уравнение

Решить уравнение

 Решить уравнение

 Решить уравнение

 

Контроль знаний.

Ответы на выполненное задание (в файлах может быть текст, скриншоты, таблицы и т.д.) высылайте на электронный ящик преподавателя:

kacha _ s _ s @ mail. ru

 

Задачи урока:

– образовательные (формирование познавательных УУД, в том числе специально-предметных действий):

научить выделять и формулировать познавательную цель, моделировать, определять рациональное уравнение и понимать, что означает решить такое уравнение; уметь исследовать область допустимых значений уравнения, находить общий знаменатель уравнения; уметь находить дополнительные множители, удовлетворяющие конкретным дополнительным условиям;

– воспитательные (формирование личностных и коммуникативных УУД):

действие смыслообразования (установление связей между целями и мотивами), формирование умений слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность;

– развивающие (формирование регулятивных УУД):

постановка учебных задач, формировать умения обрабатывать информацию и систематизировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Тип урока: изучение нового материала..

Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа, групповая работа, ИКТ.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор (интерактивная доска), доска, экран, технологическая карта урока для каждого учащегося, электронная презентация, выполненная в программе PowerPoint.

Структура урока:

1. Организационный момент

1. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний.

-Устная работа

4. Изучение нового материала.

-Исследовательская работа по выработке алгоритма для решения рациональных уравнений

-Решение рациональных уравнений по алгоритму

Физкультминутка

5.  Закрепление изученного материала                             

- Самостоятельная работа (контроль и самопроверка знаний)

6. Подведение итогов урока

- Диагностика результатов урока;

-Рефлексия достижения цели.

7. Домашнее задание (инструктаж по его выполнению).(2мин)

Ход урока

Организационный момент.

Добрый день, ребята! Послушайте о том, какой казус случился с молодым норвежским математиком Нильсом Абелем: связан он с потерей письма, написанного знаменитому французскому профессору математики из Сорбонны Огюстену Луи Коши в 19 веке. Перед вами его обрывок.

 

 

 

                                                       Рис.1

 

Что было написано в этом письме? Учащиеся: речь идёт о рациональном уравнении, записанном двумя способами, а значит и о решении рациональных уравнений.

Умеем ли мы решать рациональные уравнения, и если да,  то какого уровня сложности?

Как вы считаете, чем мы займемся сегодня на уроке? Учащиеся формулируют тему урока. Ребята, великий, немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе: «Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно», скажите что должен уметь делать каждый из вас на сегодняшнем уроке? Учащиеся: уметь правильно и быстро  решать дробно-рациональные уравнения.

 

Вспомним решение упражнений

1группа

Решить уравнение

 =0; ; =0; х+2=0: х= -2. Ответ: -2.

 

2 группа

Решить уравнение

Ответ: 2.

 

3.Актуализация знаний.  

Мы с вами вспомним некоторые математические понятия, необходимые на уроке. Подумайте и обсудите в парах вопросы по карточкам.

Устно (написать ответы)

Какое уравнение называется рациональным с неизвестным х?