Применение закона ома и законов Кирхгофа для расчетов электрических цепей

При помощи закона Ома и двух законов Кирхгофа можно рассчитать режим работы электрической цепи любой сложности.

Общей задачей расчета является определение токов во всех участ­ках цепи при заданных параметрах элементов цепи и известной кон­фигурации цепи.

Для составления уравнений по закону Ома и двум законам Кир­хгофа следует прежде всего выбрать (произвольно) положительные направления токов во всех ветвях рассчитываемой электрической цепи.                                                                     

При записи уравнений для узлов цепи по первому закону Кирхгофа необходимо иметь в виду, что число независимых уравнений на единицу меньше общего числа узлов y,т. е. нужно доставить у -1 уравнений. Действительно, если составить уравнения для всех у узлов, то ток каждой ветви войдет дважды в уравнения для узлов, так как ветвь соединяет два узла, причем с противоположными зна­ками (ток каждой ветви направлен к одному из узлов, и, следователь­но, направлен от другого узла). При суммировании всех левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получается тождественно нуль.

При составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа необходимо также получить независимую систему. В частности,
будет получена независимая система, если выбрать контуры так, чтобы каждый следующий содержал хотя бы одну ветвь, не вошедшую в контуры, для которых уже составлены уравнения.

          Рис 1.              Такие контуры называются независимыми контурами, так как их уравнения взаимно независимы.

Число неизвестных токов равно числу ветвей в. Для определения этих токов необходимо составить в независимых уравнений. Так как по первому закону Кирхгофа составляется у -1 независимых уравнений, то на основании второго закона Кирхгофа должно быть составлено в - (у- 1) уравнений.      

Например, для цепи по рисунку сверху можно было бы составить два уравнения на основании первого закона Кирхгофа для двух узлов (выбранные положительные направления токов показаны стрел­ками).

Для узла 1:

  (1)                                                            

для узла 2:

(2)                                                           

На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома можно было бы составить три уравнения для трех контуров.

Для контура 1:

  (3)                                                        

для контура 2:

  (4)                                                      

для контура 3:

   (5)                                             

Но схема цепи по рисунку содержит только три ветви, т. е. для ее расчета необходимы три независимых уравнения.

Для этой схемы число узлов у = 2, т. е. по первому закону Кирх­гофа должно быть составлено только одно независимое уравнение: 1 или 2. Действительно, одно из этих уравнений получается из другого умножением на —1.

Из трех контуров на рисунке независимыми можно, например, считать 1-й и 2-й (во 2-й входит ветвь 2, которую не содержит 1-й контур). Действительно, уравнение 5 можно получить, составив соответственно разности правых и левых частей уравнений 3 и 4. В качестве независимых для схемы цепи по рисунку можно взять и любую другую пару контуров.

Для планарных схем, т. е. тех, которые можно изобразить на черте­же без пересекающихся ветвей, независимая система уравнений по второму закону Кирхгофа получается, в частности, если для за­писи уравнений выбрать ячейки — контуры, не охватывающие вет­вей, которые не входят в эти контуры. Так, схема цепи на рисунке планарная, 1-й и 2-й контуры - ячейки, а 3-й контур охватывает ветвь 3, которая не входит в этот контур.

После совместного решения системы независимых уравнений опре­деляются токи в ветвях цепи. Если для какого-либо тока будет полу­чено отрицательное значение, то из этого следует, что его действи­тельное направление противоположно выбранному положительному направлению.

 

МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ

Часто исследуемая электрическая цепь содержит только два узла или легко может быть преобразована в подобную цепь. Наиболее простым методом расчета в этом случае является метод двух узлов (узлового напряжения).

На рис. 2 показана схема цепи с двумя узлами а и b, состоящая из п ветвей.

Так как ветви между узлами а и b соединены параллельно, то разность потенциалов или напряжение между этими узлами можно выразить через ЭДС Е_к, ток 1_к и сопротивление резистивного элемента r _к любой из ветвей. По обобщенному закону Ома:

Откуда:

где U_ab — узловое напряжение цепи.

На основании этих соотношений ток

  (6)

В схеме цепи (рис.2) было принято, что все ЭДС направлены к одному из узлов цепи (к узлу а) и положительное направление каждого тока совпадает с направлением ЭДС в ветви, т. е. все токи направлены к тому же узлу. В действительности, конечно, некоторые ЭДС могут быть направлены к узлу b. В этом случае при расчете токов в ветвях с теми же положительными направлениями (к узлу а) по (6) значения ЭДС, действующих к узлу b, должны быть записаны со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле цепи равна нулю, т. е.

и, следовательно,

                                                                        Рис. 2.

откуда узловое напряжение определяет­ся через параметры элементов цепи:

здесь со знаком плюс записываются ЭДС, действующие к узлу а.

Зная напряжение между узлами, по (6) легко определить ток в любой ветви.

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Этот метод может быть применен для расчета любой линейной цепи. Его применение позволяет уменьшить число совместно решае­мых уравнений по сравнению с числом уравнений, составляемых по законам Кирхгофа.

Для расчета методом контурных токов в сложной электрической цепи (рис. 3, а) независимые контуры выбираются так же как и при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, например кон­туры-ячейки (рис. 3, б). Затем в каждом из контуров произвольно выбирается положительное направление контурного тока (один и тот же ток во всех ветвях соответствующего контура). Расчетную величину — контурный ток обозначим по номеру контура с двойным индексом, например I_kk. Токи в общих для двух или более контуров ветвях определяются на основании первого закона Кирхгофа как ал­гебраические суммы соответствующих контурных токов.

Алгебраическая сумма ЭДС всех ветвей, входящих в каждый из выбранных независимых контуров, называется контурной ЭДС E_kk (с двойным индексом номера контура), т. е. для любого k -гoконтура

  (7)

В выражении (7) все ЭДС ветвей, направление которых совпа­дает (не совпадает) с направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус).

Арифметическая сумма сопротивлений всех резистивных элемен­тов, входящих в каждый из выбранных контуров, называется собст­венным контурным сопротивлением r_kk (с двойным индексом номера контура), т. е.

Арифметическая сумма сопро­тивлений резистивных элементов, находящихся в общих ветвях двух контуров m и /, называется общим сопротивлением этих контуров, причем, очевидно,

     Рис. 3

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Е1, В	Е2, В	U1, В	U2, В	I1, А	I2, А	I3, А
58	105	55	98	0,28	0,86	0,58

 

Найдем внутренние сопротивления источников: