Коэффициент корреляции Спирмена

Коэффициент корреляции Спирмена (r_s) вычисляют по формуле:

где: N – объем выборки,

R_x - R _y – разность между рангами по первому (x) и второму (y)

переменному каждого объекта

Последовательность шагов алгоритма вычислений:

1. Составляют ранжированный ряд по признаку «x», проводят преобразование баллов или чисел в ранги (R_x).

2. В исходной не ранжированной выборке объектов заменяют баллы или числа на ранги (R_x).

3. Составляют ранжированный ряд по признаку «y», проводят преобразование баллов или чисел в ранги (R_y).

4. В исходной не ранжированной выборке объектов заменяют баллы или числа на ранги (R_y).

5. Строят дополнительную таблицу, в которой имеются ранги по обоим переменным каждого объекта, далее вычисляют разности рангов по каждому объекту (R_x - R_y), эти разности возводят в квадрат и суммируют: Σ (R_x - R_y)².

6. Вычисляют значение коэффициента корреляции Спирмена по выше указанной формуле.

Достоверность коэффициента корреляции Спирмена оценивают по величине критерия Стьюдента (t), используя следующую формулу:

Далее по таблице (приложение 2.3) определяют значение t ₀₅ при числе степеней свободы df = N -2. Нулевая гипотеза состоит в том, что связь между переменными отсутствует.

Если t > t_st, нулевая гипотеза отклоняется, то есть, связь между признаками достоверна. Если t < t_st, нулевая гипотеза принимается, то есть, связь между признаками недостоверна.

Пример 2. У 12 сеянцев черешни были получены следующие данные о высоте двухлетнего сеянца «х»,см, и длине листовой пластинки «у», в мм:

Вариация 12 двухлетних сеянцев черешни по сочетанию признаков «высота сеянца» (х, см)и «длина листовой пластинки» (у, мм)

признак «х»	172	175	163	165	161	174	159	154	163	172	164	172
признак «у»	81	90	74	78	70	86	80	70	79	81	77	81

Необходимо определить есть ли корреляция между высотой сеянца и длиной листовой пластинки у черешни, а также оценить достоверность вычисленных коэффициентов ранговой корреляции, степень и направление связи.

Решение: 1. Ранжируем исходные данные по признаку «х», переводим значение признака в ранги, заменяем в исходном ряду значения признаков на ранги:

Преобразование признака «высота сеянца» (х)в ранги

Порядковый номер	Ранжированный ряд по признаку «х»	Ri	Исходный ряд по признаку «х»	Исходный ряд в рангах
1	154	1	172	9
2	159	2	175	12
3	161	3	163	4,5
4	163	4,5	165	7
5	163	4,5	161	3
6	164	6	174	11
7	165	7	159	2
8	172	9	154	1
9	172	9	163	4,5
10	172	9	172	9
11	174	11	164	6
12	175	12	172	9
Σ=78		Σ=78		Σ=78

2. Ранжируем данные по признаку «у», переводим значение признака в ранги, заменяем в исходном ряду значение признака на ранги:

Преобразование признака «длина листовой пластинки» (y) в ранги

Порядковый номер	Ранжированный ряд по признаку «у»	Ранжиров. ряд в рангах	Исходный ряд по признаку «у»	Исходный ряд в рангах
1	70	1,5	81	9
2	70	1,5	90	12
3	74	3	74	3
4	77	4	78	5
5	78	5	70	1,5
6	79	6	86	11
7	80	7	80	7
8	81	9	70	1,5
9	81	9	79	6
10	81	9	81	9
11	86	11	77	4
12	90	12	81	9
Σ=78		Σ=78		Σ=78

3. Представим исходную выборку из 12 сеянцев черешни в рангах по обеим признакам «x» и «y»:

Исходная выборка из 12 сеянцев черешни в рангах по признакам «x» и «y»

№ сеянца	R х	R у
1	9	9
2	12	12
3	4,5	3
4	7	5
5	3	1,5
6	11	11
7	2	7
8	1	1,5
9	4,5	6
10	9	9
11	6	4
12	9	9
Σ=78	Σ=78	Σ=78

4. Вычислим коэффициент ранговой корреляции между признаками «х» и «у»:

Таблица 5.8. Вычисление разностей между рангами по признакам «x» и «y»

R х	R у	Rx-Ry	(Rx-Ry) ^2
9	9	0	0
12	12	0	0
4,5	3	1,5	2,25
7	5	2,0	4
3	1,5	1,5	2,25
11	11	0	0
2	7	-5,0	25,00
1	1,5	-0,5	0,25
4,5	6	-1,5	2,25
9	9	0	0
6	4	2,0	4,00
9	9	0	0
			Σd^2=40

5. Оценим достоверность коэффициента корреляции:

t_{05 (df=N-2)=10} = 2,23

t =2,60> t ₀₅

6. Статистический вывод: нулевая гипотеза отклоняется, корреляция между признаками «высота сеянца» и «длина листовой пластинки» у черешни - достоверная, прямая и сильная.

Практическое задание 6.2. У 10 сеянцев персика были измерены масса плода «х» (г) и диаметр плода «у» (мм):

х	91	86	94	95	104	92	98	84	96	99
у	42	23	40	53	67	45	59	32	45	48

Вычислите коэффициент корреляции Спирмена и оцените его достоверность.

Решение: