Построение матриц проведения эксперимента

№	Тип эксперимента	Фактор
		Х0	Х1	Х2	Х3	Х4
1	ПФЭ 2^2	+1	+1	+1	+1	+1
2		+1	-1	+1	+1	+1
3		+1	+1	-1	+1	+1
4		+1	-1	-1	+1	+1
5	ПФЭ 2^3	+1	+1	+1	-1	+1
6		+1	-1	+1	-1	+1
7		+1	+1	-1	-1	+1
8		+1	-1	-1	-1	+1
9	ПФЭ 2^4	+1	+1	+1	+1	-1
10		+1	-1	+1	+1	-1
11		+1	+1	-1	+1	-1
12		+1	-1	-1	+1	-1
13		+1	+1	+1	-1	-1
14		+1	-1	+1	-1	-1
15		+1	+1	-1	-1	-1
16		+1	-1	-1	-1	-1

 

Формально прием построения матрицы планирования сводится к методу чередования знаков уровней.

Проведение факторного эксперимента осуществляют по следующему алгоритму:

– строят матрицу планирования;

– ставят опыты в соответствии с планом матрицы;

– рассчитывают коэффициенты линейного полинома (уравнение регрессии);

– рассчитывают ошибку опыта;

– проверяют значимость коэффициентов регрессии;

– находят оптимальное решение процесса.

Коэффициенты уравнения регрессии в линейной форме рассчитывают по формуле:

 

(i=1,2,…,n),                   (3.4)

где  – среднее значение по параллельным опытам u -й  строки матрицы планирования;   х _i – уровень фактора (+1, -1).

,                                   (3.5)

где m – число параллельных опытов.

Формулы (3.4.) и (3.5) можно соединить:

.                                                    (3.6)

Расчет ошибки опыта оценивают по параллельным опытам:

       (3.7)

Построчные ошибки опыта S усредняют:

                                          (3.8)

Для оценки влияния факторов на переменную состояния проводят проверку значимости каждого коэффициента:

– находят дисперсию коэффициентов регрессии:

                                           (3.9)

т.е. дисперсии всех коэффициентов равны, т.к. зависят только от ошибки опыта и числа строк матрицы планирования N;

– определяют параметр t_ip

                                                                                    (3.10)

где - абсолютное значение i-го коэффициента регрессии, среднеквадратичное отклонение  

– из табл. 3.2  определяют критерий Стьюдента по числу степеней свободы  и уравнению значимости

                                                                     (3.11)

 

– сопоставляют t _ip и t_T (табл. 3.2).                  

Таблица 3.2

Процентные точки распределения Стьюдента при уровне
значимости q =0.05

Показатель	Значение
Число степеней Свободы, f 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	16	24
Процентные точки, tT	12,7	4,3	3,19	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26	2,23	2,1	2,0

 

Коэффициент значим при выполнении условия

t_{i p} > t_T                                            (3.12).

 

При выполнении условия значимости коэффициент принимают равным 0.

Пригодность линейного уравнения для решения задачи поиска области оптимума проверяют по критерию Фишера(табл. 3.3). Для этого сравнивают дисперсии средних опытных данных переменной состояния относительно тех значений переменной состояния , которые предсказаны полученным линейным уравнением регрессии. Эта дисперсия называется дисперсией адекватности и рассчитывается по формуле:

                           (3.13)

где N – число строк матрицы планирования; l – число членов в уравнении регрессии, оставшихся после оценки значимости коэффициента.

Согласно критерия Фишера уравнение адекватно описывает процесс при соблюдении следующего условия:

  F _p < F _T,                                         (3.14)

где F – критерий Фишера, найденный из таблиц для степеней свободы (табл. 3.3) f _ад = N - 1 и f _о = N (m - 1); F _р – расчетное значение критерия:  

Таблица 3.3

Критерий Фишера при уровне значимости q =0.05

f\fад	4	5	6
8	2,84	3,69	3,58
16	3,01	2,85	2,74
24	2,78	2,62	2,51

 

Поиск области оптимума осуществляют методом крутого восхождения. Алгоритм метода крутого восхождения заключается в проведении следующих операций.

1. Выбор базового фактора. Фактор, для которого произведение коэффициента регрессии на интервалах варьирования максимально, называют базовым: а = max (В∙Х).

2. Для базового фактора выбирают шаг крутого восхождения h, равный интервалу варьирования Х_а.

3. Пересчитывают составляющие градиента по выбранному шагу крутого восхождения:

,                            (3.15)

 

4. Округляют шаг крутого восхождения.

5. Организуют поиск оптимальной области путем последовательного прибавления составляющих градиента уравнения регрессии к нулевому уровню. Получают серию значений факторов крутого восхождения. Переводят факторы крутого восхождения в кодированную форму и получают расчетное значение переменной состояния Y. Через несколько шагов ставят эксперименты, проверяя соответствие расчета и эксперимента.

Стратегия проведения опытов состоит в том, чтобы найти такие шаги, которые увеличивают выходную переменную, а затем ее уменьшают.

 

Пример. Получено уравнение регрессии следующего вида:

Y = 23,28 + 1,78∙ X ₁ + 10,23∙ X ₂ + 9,36∙ X ₃

Требуется осуществить поиск максимальных значений параметра Y. Результаты крутого восхождения приведены в табл.3.4.

Таблица 3.4

Исходные данные и результаты крутого восхождения

 

Наименование	Фактор			Расчет
	Х 1	Х 2	Х 3
Нулевой уровень	0,7	135	30
Интервал варьирования Х	0,2	5	15
Коэффициенты	1,78	10,23	9,36
Произведение	0,356	51,4	140,4
Пересчет составляющих градиента при h = 15	0,038	5,49	15
Округление шага	0,04	5	15
Опыт	Крутое восхождение			Переменная состояния
9	0,74	140	45	43	–
10	0,78	145	60	70	–
11	0,82	150	75	89	67
12	0,86	155	90	109	-
13	0,90	160	105	–	73
14	0,94	165	120	–	68

 

В табл. 3.4 даны расчетные значения параметра и экспериментальной величины процесса (Y).

 

В качестве примера рассчитаем значение Y для опыта 9:

Х ₁ = 0,74: кодированное значение Х ₁ = (0,74 – 0,7)/0,2 = 0,2;

Х ₂ = 140: кодированное значение Х ₂ = (140 – 135)/5 = 1;

Х ₃ = 45: кодированное значение Х ₃ = (45 – 30)/15 = 1

Y = 23,28 + 1,78∙0,2 + 0,23 + 9,36 = 43

Крутое восхождение в данном примере эффективно: в опыте 13 достигнуто максимальное значение параметра.

 

Исходные данные для выполнения работы

 

В работе необходимо построить математическую модель извлечения ртути из раствора при производстве хлора и щелочи электролизом хлорида натрия на ртутном катоде.

В качестве переменной состояния выбирают показатель «содержание ртути на выходе процесса». Так как раствор электролита сбрасывают в водный бассейн, цель моделирования состоит в установлении таких параметров работы, при которых содержание ртути в растворе минимально. Технологическая схема получения хлора и щелочи изображена на рис.3.1.1.

Процесс очистки раствора осуществляет методом экстракции. Экстракция зависит от скорости вращения мешалки, температуры раствора, времени пребывания раствора в реакторе. Нулевые уровни факторов:

Х ₁₀ = 2500 об/мин;

Х ₂₀ = 100 °С;

Х ₃₀ = 45 мин.

Интервалы варьирования:

Х ₁ = 500 об/мин;

Х ₂ = 10 °С;

Х ₃ = 15 мин.

 

 

Рис. 3.1. Технологическая схема получения хлора и щелочи

электролизом хлорида натрия на ртутном катоде

 

Порядок выполнения работы

1. Получить вариант выполнения работы (табл. 3.5).

2. В соответствии с матрицей планирования провести расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии.

3. Оценить значимость коэффициентов регрессии.

4. Проверить адекватность уравнения.

5. Из уравнения регрессии найти условия процесса, которые обеспечивают минимальное содержание ртути в растворе.

Таблица 3.5

Матрица планирования эксперимента

Опыт		Фактор							Состояние системы
		Х 0		Х 1		Х 2	Х 3		Y 1		Y 2		Y 3		Y 4
1		2		3		4	5		6		7		8		9
Вариант №1
1		+1		+		+	+		1,1		0,9		0,9
2		+1		-		+	+		0,8		0,9		0,8
3		+1		+		-	+		2		2,5		2,2
4		+1		-		-	+		3		3,2		2,8
5		+1		+		+	-		3		3,2		3,1
6		+1		-		+	-		4		4,2		4,4
7		+1		+		-	-		4,6		4,8		4,7
8		+1		-		-	-		6,8		7		6,8
Вариант №2
1		+		+		+	+		0,3		0,31		0,36
2		+		-		+	+		0,4		0,42		0,44
3		+		+		-	+		0,6		0,61		0,61
4		+		-		-	+		0,62		0,64		0,66
5		+		+		+	-		0,7		0,72		0,76
6		+		-		+	-		0,8		0,82		0,84
7		+		+		-	-		2,2		2,2		2,4
8		+		-		-	-		3,2		3,3		3,5
Вариант №3
1		+		+		+	+		0,2		0,22		0,18
2		+		-		+	+		0,4		0,41		0,43
3		+		+		-	+		0,5		0,6		0,5
4		+		-		-	+		0,42		0,44		0,43
5		+		+		+	-		2		2,2		2,1
6		+		+		-	-		3		3,2		3,1
7		+		+		-	-		4		4,1		4,2
8		+		-		-	-		5		5,1		5,2
Вариант №4
1	+		+		+			+		0,1		0,11		0,12	0,13
2	+		-		+			+		0,2		0,22		0,24	0,2
3	+		+		-			+		0,32		0,34		0,36	0,32

Продолжение табл. 3.5

1				2			3			4	5				6			7		8		9
4		+				-			-					+			0,4		0,42		0,44	0,41
5		+				+			+					-			0,5		0,56		0,58	0,55
1				2			3			4	5				6			7		8		9
Вариант №4
1		2				3			4					5			6		7		8	9
6		+				-			+					-			0,6		0,62		0,64	0,61
7		+				+			-					-			0,7		0,74		0,78	0,73
8		+				-			-					-			0,8		0,81		0,88	0,85
Вариант №5
1	+				+			+					+			0,3			0,35		0,32
2	+				-			+					+			0,6			0,64		0,62
3	+				+			-					+			0,4			0,42		0,44
4	+				-			-					+			0,42			0,44		0,46
5	+				+			+					-			0,5			0,52		0,54
6	+				-			+					-			0,6			0,62		0,64
7	+				+			-					-			0,7			0,74		0,78
8	+				-			-					-			0,8			0,86		0,88
Вариант №6
1	+				+			+					+			0,2			0,24
2	+				-			+					+			0,3			0,32
3	+				+			-					+			0,4			0,42
4	+				-			-					+			0,48			0,46
5	+				+			+					-			0,5			0,52
6	+				-			+					-			0,6			0,62
7	+				+			-					-			0,7			0,74
8	+				-			-					-			0,84			0,86
Вариант №7
1	+				+			+					+			0,4			0,46
2	+				-			+					+			0,5			0,56
3	+				+			-					+			0,6			0,64
4	+				-			-					+			0,7			0,74
5	+				+			+					-			0,8			0,84
6	+				-			+					-			0,9			0,94
7	+				+			-					-			1,5			1,6
8	+				-			-					-			2,8			2,9
Вариант №8
1			+			+				+		+				1			1,2		1,1
2			+			-				+		+				2			2,2		2,4
3			+			+				-		+				3			3,4		3,6
4			+			-				-		+				4			4,4		4,6
5			+			+				+		-				5			5,2		5,4
6			+			-				+		-				5,2			5,4		5,6
7			+			+				-		-				8			8,2		8,6
8			+			-				-		-				10			12		14
Вариант №9
1			+			+				+		+				0,2			0,3		0,2
2			+			-				+		+				0,3			0,33		0,32

Окончание табл. 3.5

1		2		3	4	5		6		7		8		9
3	+		+		-		+		0,38		0,38		0,4
4	+		-		-		+		0,45		0,48		0,44
5	+		+		+		-		0,3		0,32		0,34
6	+		-		+		-		0,6		0,62		0,64
7	+		+		-		-		0,7		0,74		0,76
8	+		-		-		-		1,8		1,6		1,7
Вариант №10
1	2		3		4		5		6		7		8		9
1	+		+		+		+		0,1		0,12		0,14
2	+		-		+		+		0,2		0,18		0,22
3	+		+		-		+		0,3		0,28		0,32
4	+		-		-		+		0,4		0,42		0,44
5	+		+		+		-		0,5		0,52		0,54
6	+		-		+		-		0,6		0,62		0,64
7	+		+		-		-		0,7		0,72		0,74
8	+		-		-		-		0,8		0,82		0,84

Задания к выполнению графической части работы

 

Провести построение функции отклика Y от параметров X₁, X₂, X₃: Y= f (X₁, X₂, X₃).

 

Вопросы для подготовки теоретической части

 

1. Методы исследования поведения сложных систем.

2. Прогнозирование развития экологических систем.

3. Виды моделирования. Модели устойчивого развития экологических систем.

4. Основные положения планирования эксперимента.

 

Литература [1-4,19 -21, 24, 26, 29, 41].