Производственная функция и её виды

Производство определяется как процесс преобразования факторов производства в продукцию. Способ соединения факторов производства в рамках этого процесса, в свою очередь, называется технологией, критерием выбора которой является эффективность: стоимостная зависимость между доходами и расходами. Техническую эффективность можно описать в виде зависимости между количеством используемых ресурсов и объёмом выпуска продукции в натуральном выражении.

    Эффективные технологии отбираются посредством определения доступных способов производства, выбора эффективных технологий из доступных и, наконец, выбора из них одного наиболее экономически эффективного способа производства.

Модель производства в самом общем виде можно представить в качестве некой системы, которая перерабатывает разные виды ресурсов в конечную продукцию (Рис. 1.1.1.).

Рис. 1.1.1. Упрощённая модель производства[2]

    В качестве ресурсов могут выступать как затраты труда, технологические ресурсы, сырьё, так и транспортные ресурсы, затраты энергии, научно-исследовательские ресурсы и так далее. В самом процессе производства представляется возможным установить зависимость выпуска продукции oт затраченных ресурсов. Покупка ресурсов осуществляется в рамках рынков факторов производства, в то время как объёмы использования ресурсов находятся в зависимости от ежедневно колеблющихся цен. Математическую модель зависимости выпуска продукции, или дохода, от затраченных или же использованных ресурсов, или затрат, в производстве называют производственной функцией[3].

    Появление производственной функции как инструмента для исследований исторически связано с процессом математизации экономической науки. Работа К. Кобба и П. Дугласа «К теории производства», которая была опубликована в 1928 г., стала базой для развития концепции производственной функции и изучения её свойств и характеристик. Начиная с 1950-х гг., аппарат производственной функции в экономических исследованиях стал носить прикладной характер.

В литературе нет единого понятия «производственной функции», поэтому, выделим несколько определений:

· производственная функция представляет собой техническую зависимость между объёмом затраченных ресурсов и количеством выпускаемой продукции за единицу времени;

· также под производственной функции можно понимать «экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей – факторов»[4];

· производственная функция является функцией, «независимая переменная которой может принимать значения объёмов используемого или затрачиваемого ресурса (фактора производства), в то время как зависимая переменная – значения объёмов выпускаемой продукции»[5].

В общем виде сам факт зависимости выпуска продукции (y) от факторов производства (x) может быть представлен в виде формулы:

                                         y=f(x),                                                            (1.1.1)

    где x=col{x₁, …. x_n}, x_i – объём или стоимость используемых ресурсов производства i-го вида, a i=1,2,3,… n, n – число ресурсов.

    На практике в целях упрощения модели используют двухфакторную производственную функцию, в состав которой входят два вида ресурсов, a именно:

· трудовые;

· материальные (энергия, транспортные, сырьё и другие).

Для того чтобы представить производственную функцию в графическом виде используют группу линий равного выпуска. Линия равного выпуска (изокванта) представляет собой кривую, отражающую все сочетания ресурсов (труда и капитала), при которых возможно достичь одного и того же объёма выпуска продукции (Рис. 1.1.2.).

Рис. 1.1.2. Изокванта[6]

    Говоря o свойствах изоквант, отметим, во-первых, что они имеют всегда отрицательный наклон (так как два ресурсы могут быть заменены друг на друга в процессе производства, но не абсолютно), a их расположение относительно осей координат определяется соотношением эластичности выпуска продукции по факторам производства. Во-вторых, изокванты показывают эффект масштаба. Изокванты с постоянным эффектом масштаба будут расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, с растущим эффектом масштаба – будут приближаться друг к другу по мере роста объёмов выпуска, a с уменьшающим эффектом масштаба – отдаляться друг от друга[7].

    Также выделяют и трёхфакторные модели производственной функции. В данном случае выпуск зависит от затрат капитала (K), труда (L), природных ресурсов (M), и производственная функция принимает следующий вид:

                                          y=f(L, K, M)                                                (1.1.2.)

    В зависимости от поставленных целей и задач факторы могут быть разбиты на дополнительные группы. Например, фактор труда может быть разбит на профессиональные категории или степени сложности, капитал можно классифицировать по видам оборудования, производительности или же мощности, a природные ресурсы по их видам.

    Производственные функции могут отдельно учитывать фактор времени, тогда их можно разделить на динамические и статические[8]. Существует деление производственных функций на краткосрочные и долгосрочные. Так, краткосрочная производственная функция показывает максимальное количество товаров, которое может быть произведено при использовании данного набора затрат, причём объём одного типа ресурсов остаётся неизменным. Долгосрочная же производственная функция предполагает, что фирма может изменить объёмы используемых ресурсов[9].

    Предприятия также могут осуществлять выпуск некоторого набора видов продукции. Тем не менее, производственная функция отражает в целом зависимость от факторов производства, обычно, по укрупнённым группам. В качестве ещё одного вида рассмотрим двухфакторную производственную функцию Кобба-Дугласа (P.H. Douglas, C.W. Cobb, 1928)[10].

    Такой вид производственной функции показывает зависимость производства чистого дохода (продукции) от объёма применяемых ресурсов капитала и труда (затрат) и принимает мультипликативную форму. Формула Кобба-Дугласа имеет вид:

                                  y = а K a Lb                                                               (1.1.3.)

где a – коэффициент, который отражает уровень технологической производительности (показывает эффективность факторов K и L в производственном процессе), причем, a>0;

a, b – постоянные коэффициенты, характеризующие эффективность каждого ресурса в отдельности, причём (a, b > 0, a + b = 1).

    Отметим, что для функции Кобба-Дугласа ресурсы могут заменять друг друга, однако, в соответствующей пропорции. Как правило, производственная функция такого типа подходит для описания эффективности как экономики в целом (на макроуровне), так и для оценки производительности оборудования или же персонала.

    Показатели степеней в производственной функции отражают, на какое количество процентов увеличится выпуск при росте фактора производства на 1%. Когда a+b>1, то эффект от масштаба будет положительный, то есть выпуск растёт быстрее затраченных ресурсов (экономика растёт). Если a+b<1, то отрицательный эффект масштаба и потребление ресурсов можно считать неэффективным. Если a+b=1, то будет наблюдаться постоянный эффект масштаба, и можно говорить o мультипликативной функции Кобба-Дугласа, которая принимает следующий вид (Рис. 1.1.3.)

Рис. 1.1.3. Мультипликативная производственная функция Кобба-Дугласа[11]

    Ещё одной разновидностью производственных функций является функция Леонтьева, которая предполагает жёсткую дополняемость факторов производства, то есть труд и капитал используются в фиксированной пропорции, с технологической точки зрения нарушение заданной пропорции не представляется возможным. Формула имеет следующий вид:

Q=min {aL, bK}                                                  (1.1.4.)

a, b - постоянные коэффициенты, которые отражают производительность труда и капитала соответственно. Min указывает на то, что из всех доступных ресурсов нужно выбрать необходимую пропорцию. Если фактор имеется в избытке, то дополнительные объёмы будут лишними.[12]

    Соотношение этих коэффициентов определяет ту пропорцию, в которой используются труд и капитал. На графике это означает переход на более высокую изокванту (Рис. 1.1.4.). Примеры производств, которые можно описать функцией Леонтьева сводятся к следующему: самолёт и экипаж, швея и швейная машина, станок и рабочий.

Рис. 1.1.4. Графическое представление производственной функции Леонтьева[13]

    Одной из разновидностей производственной функции является линейная функция, которая применяется при моделировании таких производственных процессов, где выпуск однородной продукции представляет собой результат одновременного функционирования ряда технологий. В данном случае выпуск находится в линейной зависимости от затрат, a ресурсы являются полностью взаимозаменяемыми, то есть для выпуска нужно наличие хотя бы одного ресурса. Формула линейной производительности имеет следующий вид:

y=f(x_1, x₂)= a₁ x₁+ a₂ x₂                                         (1.1.5.)

    Изоквантами для двухфакторной модели являются параллельные прямые (Рис. 1.1.5.) Ключевым недостатком подобных функций является то, что любой выпуск продукции может быть обеспечен даже в случае нулевых затрат одного из факторов производства (наличие «рога изобилия»), что нереально в условиях функционирования экономической системы.

Рис. 1.1.5. Изокванта линейной производственной функции[14]

     Наиболее общей из рассмотренных выше функций является CES-функция (constant elasticity of substitution – функция с постоянной эластичностью замещения), которая представляет собой обобщение функции Кобба-Дугласа. Эластичность замещения между ресурсами не ограничивается единицей. Функция CES применяется в том случае, когда нет достоверной информации об уровне взаимозаменяемости производственных факторов, но можно предположить, что при изменении объёмов используемых ресурсов этот уровень не сильно изменится. То есть экономическая технология обладает устойчивостью по отношению к пропорциям факторов[15].

    Таким образом, были рассмотрены основные виды производственных функций, выделены их свойства и характеристики. К основным производственным функциям можно отнести линейную, CES-функцию, функцию Кобба-Дугласа и функцию Леонтьева. Тем не менее, до сих пор в научной литературе учёные и исследователи не могут найти функциональную форму производственной функции, которая была бы лишена недостатков.