Глава 1. Вычисление геометрических величин

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

 

Составители: Масыгина И. А.,

Корчуганова И.Б.

преподаватели колледжа

 

 

Череповец

 

2016

Математика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников. /Составители: Масыгина И. А., Корчуганова И.Б./ Череповец: Череповецкий металлургический колледж, 2016, 77с.

 

 

Рецензенты

 

Данные методические рекомендации рассмотрены и одобрены цикловой комиссией математических и естественно-научныных дисциплин

 

Председатель                                                             /Масыгина И. А./

СОДЕРЖАНИЕ

 

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольной работы	4
Глава 1. Вычисление геометрических величин………………………………... 1.1 Основные формулы планиметрии………………………………………….. 1.2 Объёмы и площади поверхностей многогранников и круглых тел……... 1.3 Прямоугольная система координат на плоскости и её применение для        решения простейших задач………………………………………………… 1.4  Линейные действия над векторами в координатной форме…………….. 1.5  Линейные действия над векторами в геометрической форме 1.6 Уравнение прямой на плоскости	5 7   10 11 12 14
Глава 2. Основы теории комплексных чисел…………………………………..   2.1 Действия над комплексными числами в алгебраической форме……….   2.2 Три формы записи комплексных чисел…………………………………..   2.3 Действия с комплексными числами в показательной и         тригонометрической формах………………………………………………	16 16   18
Глава 3. Основы дифференциального исчисления …………………………… 3.1Общие правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Техника дифференцирования…………………………………. 3.2 Производные высших порядков. Физический смысл производной……. 3.3 Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой………………………………………………... 3.4 Исследование функции с помощью производной. Построение графика функции…………………………………………………………………….. 3.5 Асимптоты графика функции…………………………………………….. 3.6 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке……………….	20   22 23   24   26 30
Глава 4. Основы интегрального исчисления ………………………………….. 4.1 Первообразная функции. Неопределённый интеграл………………….. 4.2 Интегрирование подстановкой в неопределённом интеграле…………. 4.3 Понятие определённого интеграла. Интегрирование подстановкой в   определённом интеграле …………………………………………………. 4.4 Физические приложения определённого интеграла……………………. 4.5 Геометрические приложения определённого интеграла	31 32   35 37 39
Глава 5. Дифференциальные уравнения ………………………………………. 5.1 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися        переменными ………………………………………………………………. 5.2Дифференциальные уравнения второго порядка: случаи понижения порядка …………………………………………………………………….. 5.3 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………. 5.4 Решение некоторых задач, приводящих к дифференциальным        уравнениям …………………………………………………………………	44   45   46   49
Глава 6. Линейная алгебра ……………………………………………………… 6.1 Определение матрицы. Действия над матрицами……………………….. 6.2 Метод Гаусса, решения систем линейных уравнений ………………….. 6.3 Определитель матрицы. Вычисление определителей…………………… 6.4 Метод Крамера, решения систем линейных уравнений…………………	51 52 53 54
Глава 7. Элементы теории вероятностей и статистики 7.1 Основные правила и определения комбинаторики……………………….. 7.2 Основные понятия теории вероятности……………………………………. 7.3 Случайные величины ………………………………………………………. 7.4 Математическая статистика …………………………………………………	56 57 58 60
Задачи для контрольной работы	66

 

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольной работы

 

 

Цель преподавания математики в колледже – познакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач, привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике, развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры.

 

Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по темам, изучаемым в рамках дисциплины «Математика».

 

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям, рекомендуемым в данной книге. В настоящем пособии указаны учебники, имеющиеся в библиотеке колледжа, или недавно вышедшие и поэтому имеющиеся в книжных магазинах, естественно студент вправе использовать и другую литературу: учебники для техникумов, колледжей, ВУЗов, лекции, справочники, возможно также использование Интернет-ресурсов – главное правильность выполнения заданий. В настоящем пособии даются некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.

 

Каждый студент выполняет тот вариант контрольной работы, который соответствует его порядковому номеру в алфавитном списке. Решение задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в условиях задач. Перед этим условие задачи должно быть полностью переписано перед её решением.

 

В прорецензированной контрольной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы.

 

 

ЖЕЛАЕМ УСПЕХА!

Пример 3

 

Дан треугольник АВС А(-3;4), В(1;6), С(5;-6). Найдите а) длину медианы АК, б) длину средней линии КМ║АВ, в) координаты точки N пересечения медиан, г) периметр, д) площадь, е)высоту СД.

 

Решение:

1) Выполним рисунок. На рисунке отметим координаты данных точек.

 

1) Длина медианы АК:

По определению медианы: К – середина стороны ВС

Длина отрезка АК:

2) Длина средней линии КМ║АВ

По свойству средней линии, её длина равна половине той стороны, которой она параллельна.

Найдём длину стороны АВ

Найдём длину КМ

3) Координата точки N пересечения медиан

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Значит точка N делит медиану АК в отношении 2:1, т.е.

4) Периметр – это сумма длин всех сторон треугольника.

6) Площадь можно найти по формуле Герона

S= , где , a,b,c – длины сторон треугольника

5) Высота СД опущена на сторону АВ. , значит

Литература:

[1] стр. 4-9, [2] стр. 71-73, [3] стр. 4-5, 8-13, [4] стр. 125-406 [5] стр. 34-43

 

1.4 Линейные действия над векторами в координатной форме

Если началом вектора является точка А(х_а;у_а;z_a), а концом точка В(х_b;у_b;z_b), то координаты этого вектора вычисляются по формуле;

Длина вектора  вычисляется по формуле

Координаты суммы двух и более векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т. е. если , , то

Координаты разности двух и более векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов, т. е. если , , то

Координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на это число, т. е. если , то

 

  Пример 4

 

Даны точки А(5,6,-9), В(-7,4,-2), С(-6,11,0). Найти координаты векторов  и длину вектора

Решение:

 

Литература:

[1] стр. 50-51, [2] стр. 67-68, [3] стр. 478-482, [4] стр. 141-152 [5] стр. 222-231

 

1.5  Линейные действия над векторами в геометрической форме

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

● нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление

● от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление

● дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора - это его стороны

● результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

● нарисовать первый вектор, используя данные о его длине (числовой величине) и направлении

● от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление

● результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом второго

                                                  .

Эти правила используются в механике для нахождения равнодействующей силы.

Тело равноускоренно движется по клину, наклон которого альфа. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения.

Велосипедист наклоняется в сторону поворота. Сила тяжести и сила реакции опоры со стороны земли дают равнодействующую силу, сообщающую центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности

Любой вектор  может быть разложен по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называют проекциями вектора на ось и вычисляют по формулам

 

 

                                                                                       

 

                 

                                                                                        

α

 

 

Пример 5.

Найти длины проекций вектора , модуль которого равен 14 на оси ОХ и ОУ, если вектор образует с осью ОХ угол 30⁰.

Решение:

	30° (π /6)	45° (π /4)	60° (π /3)

 

1.6 Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой на плоскости Ах+Ву+С=0

 

Направляющий вектор                      Нормальный вектор

Чтобы написать уравнение прямой надо:

1) Найти координаты направляющего или нормального вектора прямой.

2) Используя их, определить А и В ().

3) Найти С=-(А∙х+В∙у), где х, и у –координаты точки через которую проходит прямая.

    

Пример 6

Дан треугольник АВС А(-3;4), В(1;6), С(5;-6). Найдите а) уравнение стороны ВС, б) уравнение медианы АК, в) уравнение средней линии КМ║АВ,, д) уравнение высоты СД.

Решение:

1) Выполним рисунок. На рисунке отметим координаты данных точек.

2) Уравнение стороны ВС: направляющим вектором стороны ВС является вектор , значит –В=4, В= - 4, А=-12. Прямая ВС проходит через точку В, Значит С= - (-12∙1+(-4)∙6)= - (-36)=36.

  Уравнение стороны ВС: -12х - 4у+36=0

3) Уравнение медианы АК: направляющим вектором медианы АК является вектор  , точка К – середина стороны ВС , значит

, отсюда –В=6, В= - 6, А= - 4. Прямая АК проходит через

точку А, Значит С= - (- 4∙(-3)+(-6)∙4)= - (-12)=12.

  Уравнение медианы АК: - 4х - 6у+12=0, или – 2х - 3у+6=0

4) Уравнение средней линии КМ║АВ: направляющим вектором средней линии КМ║АВ является вектор

  , значит –В= 4, В= - 4, А = 2. Прямая КМ проходит через

   точку К, Значит С= - (2∙3+(-4)∙0)= - 6.

    Уравнение средней линии КМ║АВ: 2х - 4у – 6=0

5) Уравнение высоты СД: нормальным вектором высоты СД является вектор

  , значит А = 4, В= 2,. Прямая СД проходит через

   точку С, Значит С= - (4∙5+2∙(-6))= - 8.

Уравнение высоты СД: 4х +2у -8=0.

 

Литература:

[1] стр. 9-20, [2] стр. 122-132, [3] стр.333-334, [4] стр. 125-133 [5] стр. 43-69

Пример 8.

Для комплексных чисел z₁=5-8i, z₂=3+4i вычислить а) z₁+ z₂, б) z₁- z₂, в) z₁∙ z₂

Решение:

а) z₁+ z₂=(5-8i)+(3+4i)= 5-8i +3+4i=(5+3)+(-8i+4i)=8+(-8+4)∙i=8-4i;

б) z₁- z₂=(5-8i)- (3+4i)= 5-8i- 3-4i=(5-3)+(-8i -4i)=2+(-8-4)∙i=2-12i;

в) z₁∙ z₂=(5-8i)∙(3+4i)=15+20i-24i-32i²=15-4i+32=47-4i.

Чтобы выполнить деление комплексных чисел производят дополнительное действие: умножают делимое и делитель на число сопряжённое делителю.

 

Пример 9.

Для комплексных чисел z₁=5-8i, z₂=3+4i вычислить

Решение:

 

Литература:

[1] стр. 144-145, [2] стр. 83-93, [3] стр. 299-300, 283-288, 291-293, [4] стр. 107-111,

[5] стр. 402-403

 

2.2 Три формы записи комплексных чисел

 

Для перехода от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и показательной используют следующее правило:

1) Находят модуль комплексного числа по формуле .

2) Определяют геометрически в какой четверти находится точка z.

3) Находят аргумент комплексного числа по формуле , если z находится в первой или четвёртой четвертях, или по формуле , если z находится во второй или третьей четвертях. При этом следует помнить, что

а	0			1
arctg a	0

 

4) Записывают комплексное число z в тригонометрической форме:  или в показательной форме:

 

Пример 10.

Комплексное число z=2-2i запишите в тригонометрической форме

Решение:

1) z=2-2i, значит а=2, b=-2

2) Точка z(2;-2) находится в четвёртой четверти

3) Значит

4)

Пример 11.

Комплексное число z= - +i запишите в показательной форме

Решение:

1) z= - +i, значит а= - , b=1.

2) Точка z(- ;1) находится во второй четверти

3) Значит

4)

Для перевода комплексного числа из показательной формы в алгебраическую необходимо записать число в тригонометрической форме и выполнить вычисления.

Пример 12.

Комплексное число запишите в алгебраической форме

Решение:

=

Литература:

[1] стр. 145-146, 148,[2] стр. 96-103, 111-114, [3] стр. 300-302, [4] стр. 112-116,

[5] стр. 404-405

2.3 Действия с комплексными числами в показательной и

  тригонометрической формах

 

Справедливы следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Пример 13.

Для комплексных чисел z₁= , z₂= вычислить

а) z₁∙ z₂, б) z₁: z₂, в) z₁³

Решение:

а) ∙ =

б) : =

в)

Пример 14.

Для комплексных чисел ,  вычислить

а) z₁∙ z₂, б) z₁: z₂, в) z₁⁴

Решение:

а)

б)

в)

Литература:

[1] стр. 146-148, [2] стр. 103-107, 111-114, [3] стр. 302-303, [4] стр. 117-121

 

Пример 15.

Найдите производные функций:

1) ;

2)

3) ;

4) .

Решение:

1) Сначала преобразуем функцию, используя определения степени с рациональным показателем.

.

Теперь для вычисления производной используем формулы (1), (3), (7)

2) Воспользуемся формулами (1), (5), (6), (14)

3) Функция f(x) представляет из себя произведение двух функций u(x)=  и

v(x)=  , поэтому надо воспользоваться формулой (2)

далее необходимо применить формулы (1), (3),(8), (13), (16)

4) Функция f(x) представляет из себя частное двух функций u(x)= и

v(x)= , поэтому надо воспользоваться формулой (4)

Далее необходимо применить формулы (1), (5), (6), (9)

Литература:

[1] стр. 154-168, [2] стр. 148-151, 155-167,170-176, 178 [3] стр. 205-207, 210-213, 215,

[4] стр. 204-231, [5] стр. 87-91

3.2Производные высших порядков. Физический смысл производной

 

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), тогда

1) Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от пути по времени.

2) Ускорение прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени

Пример 16.

Тело движется прямолинейно по закону , где S – путь (м ), t- время (с). Найти скорость и ускорение тела в момент времени t=1с.

 

Решение:

1)

(м/с)

2)

(м/с²)

Ответ: в момент времени t=1 скорость тела равна 5 м/с, а ускорение равно 3 м/с².

 

Литература:

[1] стр. 173-175, [2] стр. 179-180, [3] стр. 209, 218 -219, [4] стр. 237-242, [5] стр. 120-121

 

3.3 Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой

 

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту  касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х₀ имеет вид:

 

Уравнение нормали к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой х₀ имеет вид:

 

Пример 17.

Составьте уравнение касательной к графику функции f(х)=х²+6х+5 в точке с абсциссой

х₀ = -2.

Решение.

13) х₀=-2

14) f(х₀)=(-2)²+6(-2)+5= -3

15) =2х+6

  = =2(-2)+6=2

16) касательная: у= -3+2(х-(-2))

                   у= -3+2(х+2)

                   у= -3+2х+2

                   у=2х+1

5. нормаль:

                        

                   

                         

Ответ: у=2х+1 – уравнение касательной,  - уравнение нормали

 

Литература:

[1] стр. 139-144, [2] стр. 199-201, [3] стр. 207-209, [4] стр. 231-236, [5] стр. 87-91

 

3.4 Исследование функции с помощью производной. Построение графика функции.

Справочный материал

 

Достаточные условия монотонности (возрастания, убывания) функции:

1. Если производная дифференцируемой функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает.

2. Если производная дифференцированной функции отрицательна на промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

 

Необходимое и достаточные условия экстремума функции:

1. Если функция имеет экстремум в точке, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует

2. Если в стационарной точке х=а производная функции меняет свой знак с плюса на минус (с возрастания на убывание), то функция в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс, то функция имеет минимум.

 

Алгоритм определения промежутков монотонности и экстремумов функции

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите производную функции.

3. Найдите стационарные и критические точки, т. е точки в которых производная функции равна нулю или не существует.

4. Отметьте стационарные и критические точки на числовой прямой и определите знаки производной на получившихся промежутках.

5. Сделайте выводы (стрелками) о монотонности функции.

6. Сделайте выводы о точках экстремума функции.

 

Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции:

1. Если для дважды дифференцируемой функции вторая её производная отрицательна внутри промежутка, то график функции является выпуклым на данном промежутке.

2. Если же вторая производная положительна внутри промежутка, то график функции является вогнутым на данном промежутке.

 

Алгоритм определения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции

1. Найдите вторую производную функции.

2. Найдите стационарные и критические точки второго рода, т. е. точки в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Отметьте стационарные и критические точки второго рода на числовой прямой и определите знаки второй производной на получившихся промежутках.

4. Сделайте выводы о промежутках выпуклости, вогнутости и точках перегиба графика функции.

 

Схема исследования функции

1. Найдите область определения функции.

2. Определите четность, нечетность функции.

3. Найдите производную функции.

4. Определите стационарные и критические точки производной.

5. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Найдите значения функции в стационарных и критических точках.

7. Найдите вторую производную и исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость.

8. Для построения графика найдите необходимые дополнительные точки.

 

Пример 18.

Исследуйте функцию и постройте график f(x)=3х²-х³

1) .

2) f(-x)=3(-х)²-(-х)³=3х²+х³ – функция общего вида, т.к. f(-x)≠ f(x) f(-x)≠ f(-x)

3) =(3х²-х³)=6х-3х²=3х(2-х)

4) =0, 3х(2-х)=0

х=0; х=2 – стационарные точки, критических точек нет

5)

+

 

 

6) х=0 точка минимума, х=2 точка максимума

f(0)=0;                    f (2)==4

7)

=0, 6-6х=0

                6(1-х)=0

                х=1

 

‹ 0

› 0

х=1 – точка перегиба

f(1)==2

 

8) Дополнительные точки

f(-1)=

f(3)=

 

9) Построим график функции. Для этого сначала на координатной плоскости отметим точки максимума и минимума, дополнительные точки, точки перегиба, а затем построим график.

                        

Литература:

[1] стр. 183-187, 191-192,196-198, [2] стр. 182-187, [3] стр. 220-236, [4] стр. 255-268, [5] стр. 87-91

3.5 Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты:

 

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва второго рода функции или на границе области допустимых значений аргумента.

Если  или  или, то х=а - вертикальная асимптота.

 

Горизонтальные асимптоты:

 

Если, то y=b - горизонтальная асимптота (b – конечное число).

 

 

Наклонные асимптоты:

 

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой, если

 

                           

                           

Схема исследования функции

1. Найдите область определения функции.
2. Исследуйте функцию на непрерывность, найдите точки разрыва и вертикальные асимптоты.
3. Определите четность, нечетность функции.
4. Найдите производную функции.
5. Определите стационарные и критические точки производной.
6. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Найдите значения функции в стационарных и критических точках.
8. Найдите вторую производную и исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость.
9. Исследуйте поведение функции при. Найдите наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.
10. Для построения графика найдите необходимые дополнительные точки.

 

Пример 19.

Исследуйте функцию и постройте график f(x)=

1) т.к. при х=0 знаменатель обращается в ноль.

2) Точка разрыва х=0 – точка разрыва второго рода, т. к.

,  

х=0 – вертикальная асимптота

3) f(-x)=  – функция общего вида, т.к. f(-x)≠ f(x) 

  f(-x)≠ f(-x)

4) =

5) =0, х³-8=0

х=2 – стационарная точка,

 не существует при х=0,

х=0 - критическая точка.

 

6)

7)

 

8) х=2 точка минимума

f(0)=;                    f (2)=  

9)

=0 не может быть,

 - не существует при х=0

                             

 

> 0

› 0

 

10) Наклонные асимптоты:

 

у=х – наклонная асимптота

11)  Горизонтальные асимптоты:

 

горизонтальных асимптот нет

12) Дополнительные точки

f(-1)=

f(1)=

f(3)=

12) Построим график функции. Для этого сначала на координатной плоскости отметим точку минимума, дополнительные точки, проведём асимптоты, а затем построим график.

 

 

Литература:

[1] стр. 194-198, [3] стр. 231-236, [5] стр. 146-151

3.6 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1. Найти производную функции.

2. Определить стационарные точки функции.

3. Вычислить значения функции на концах отрезка  и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку.

4. Выбрать наибольшее и наименьшее значения и записать ответ.

Пример 20

Найдите наименьшее и наибольшие значения функции у=х³-3х²-45х+1 на отрезке.

Решение

Воспользуемся алгоритмом:

1. Имеем.

2. Производная существует при всех х, значит, стационарные точки находим из условия

    

1. отрезку принадлежит лишь одна стационарная точка, х₂=5, поэтому:

у(0)=1

у(6)= -161

у(5)= -174

1. таким образом, на отрезке у_наиб=у(0)=1, y_наим=у(5)= -174.

Ответ: на отрезке у_наиб=у(0)=1, y_наим=у(5)= -174.                    

Литература:

[1] стр. 187-188, [2] стр. 195-205, 209-211, [3] стр. 236-267, [4] стр. 268-270, 274 -286, [5] стр. 140-146

 

Глава 4. Основы интегрального исчисления

4.1 Первообразная функции. Неопределённый интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F’(x) = f(x).
    Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
                                               F₁(x) = F₂(x) + C.

   Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают:

Таблица интегралов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

Пример 21.

 

 

Решение:

Сначала выполним преобразования, а затем воспользуемся формулой (1)

 

Литература:

[1] стр. 213-216, [2] стр. 229-235, 239-240, [3] стр. 247-255, [4] стр. 290-306, 274 -286,

[5] стр. 159-163

4.2 Интегрирование подстановкой в неопределённом интеграле

 

 

формула замены переменной в неопределённом интеграле

 

План интегрирования способом подстановки.

 

1. Определяют к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате производят обратную замену, т. е. переходят к старой переменной. Результат можно проверить дифференцированием.

 

Пример 22.

 

 

Решение:

Определяем к какому табличному интегралу приводится данный интеграл
Определяем, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной и записываем эту замену.
Находим дифференциалы обеих частей записи и выражаем дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной.
Производим замену под интегралом.
Находим полученный интеграл.
В результате производим обратную замену.

Правило 1: Если подынтегральная функция имеет вид f(ax+b), то может оказаться полезной подстановка t=ax+b.

Пример 23.

 

Иногда перед тем как сделать подстановку подынтегральное выражение надо преобразовать.

 

Пример 24.

 

Пример 25

 

 

Правило 2: Пусть подынтегральное выражение разбито на два сомножителя и в одном