Глава 5. Дифференциальные уравнения

 

5.1 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися

переменными

 

Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

1) Выразить производную функции через дифференциалы   и  

2) Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку.

3) Разделить переменные.

4) Проинтегрировать обе части равенства и найти общее решение.

5) Если заданы начальные условия, то найти частное решение.

В зависимости от вида уравнения некоторые пункты алгоритма решения могут быть опущены.       

Пример 40

Решите уравнение:.

Решение:

1) Заменим  на, получим:

.

2) Умножим обе части равенства на выражение:

.

3) Интегрируя обе части равенства, имеем:

;

.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

 

Пример 41

Найти частное решение уравнения:.

Решение:

1) Разделим обе части равенства на выражение:

.

2) Интегрируя обе части равенства, имеем:

,

откуда

, или.

3) Так как произвольная постоянная  может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо  напишем:

.

 

Тогда общее решение уравнения можно записать в виде:

.

4) Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения подставим начальные значения,  в общее решение и найдем значение:

.

Следовательно, частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

5) Ответ:

Литература:

[1] стр. 431-439, [2] стр. 311-321, [3] стр. 446-452, [4] стр. 369-381, [5] стр. 416-422

 

5.2 Дифференциальные уравнения второго порядка:

случаи понижения порядка

При решении дифференциальных уравнений второго порядка вида: (т. е. правая часть дифференциального уравнения явно не содержит у) порядок дифференциального уравнения понижается с помощью подстановки:

 

Пример 42

Решите уравнение:.

Решение:

 

Решим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

 

Вернёмся к переменной у и решим ещё одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

 

Ответ:

 

Пример 43

 

Найти частное решение уравнения:  

.

Решение:

6)

Сделаем подстановку:

 

 

2) Решим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

 

3) Вернёмся к переменной у и вычислим С₁.

 

4) Решим ещё одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

 

5) Вычислим С₂.

 

6) Ответ:

Литература:

[1] стр. 454-457, [2] стр. 335-339, [3] стр. 467-474, [4] стр. 394-398, [5] стр. 431-435

 

5.3 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами

 

Для решения таких уравнений удобно пользоваться таблицей:

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	D>0	D=0	D<0
Корни характеристического уравнения	k1≠k2	k1=k2=k	k1=a+bi k2=a-bi
Общее решение дифференциального уравнения

 

Пример 44

Решите уравнение:  

.

Решение:

1) Запишем характеристическое уравнение

 

2) Найдём его корни

 

    

3) Запишем общее решение:

 

4) Ответ:

Пример 45

Решите уравнение:  

 

Решение:

1) Запишем характеристическое уравнение

 

2) Найдём его корни

 

    

3) Запишем общее решение:

 

4) Найдём частное решение, для этого найдём

 

Подставим начальные условия

 

 

Запишем полученные условия в виде системы и решим её

 

5) Запишем частное решение:

Ответ:

 

Пример 46

Решите уравнение:  

 

Решение:

1) Запишем характеристическое уравнение

 

2) Найдём его корни

 

    

3) Запишем общее решение:

 

4) Найдём частное решение, для этого найдём

 

Подставим начальные условия

 

 

5) Запишем полученные условия в виде системы и решим её

 

5) Запишем частное решение:

Ответ:

 

Литература:

[1] стр. 459-461, [2] стр. 339-345, [3] стр. 478-482, [4] стр. 398-406 [5] стр. 433-440

 

5.4 Решение некоторых задач, приводящих к дифференциальным уравнениям

 

Пример 47

Найти уравнение кривой, проходящей через точку, если угловой коэффициент касательной в любой точке этой кривой равен х²

Решение:

По условию. Решим это уравнение

 

Найдём С, используя начальные условия

 

Запишем искомое уравнение кривой

 

 

Пример 48

Тело движется прямолинейно с ускорением а=6t-4.При t=0 начальный путь S₀=0, 

начальная скорость v₀=4. Найти скорость и пройденный путь как функции времени.

Решение:

1) Согласно условию имеем. Известно, что

 

2) Используя начальные условия, найдём С₁

 

Закон изменения скорости:

3) Найдём закон движения тела

 

4) Ответ: закон изменения скорости:,

              закон движения тела:

 

Литература:

[1] стр. 431-433, [2] стр. 329-330, [4] стр. 373-375, 381- 382, 397 – 398, [5] стр. 420-421

Глава 6. Линейная алгебра

 

6.1 Определение матрицы. Действия над матрицами

 

Матрицей А   называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

 

Для любого элементаа_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца.

Суммой матриц А и В называют матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

При умножении матрицы А на матрицу В для получения элемента, стоящего на пересечении i –й строки и j –го столбца матрицы- произведения, нужно все соответствующие элементы i –й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Пример 49.

Для матриц А= и В=. Найти 1) 3А-В, 2) АВ.

Решение:

1) Найдём 3А, для этого умножим каждый элемент матрицы А на 3:

3А=

Найдём 3А-В, вычитая из каждого элемента матрицы 3А соответствующий элемент матрицы В:

3А-В=

2) Найдём АВ:

 

Литература:

[1] стр. 59-63, [4] стр. 63-70, [5] стр. 260-263

 

6.2  Метод Гаусса, решения систем линейных уравнений

 

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса записывают расширенную матрицу системы и приводят её к треугольному виду. При этом используются следующие преобразования: умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число, сложение и вычитание уравнений, перестановка уравнений, исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

Пример 50.

Решите систему уравнений методом Гаусса:

 

Решение:

1) Запишем расширенную матрицу системы (выпишем коэффициенты при неизвестных и свободные члены)

 

2) Умножим первую строку на а₂₁=2, а вторую на –а₁₁= - 3, чтобы при их сложении элемент а₂₁ стал равным нулю.

 

3) Выполним сложение и снова запишем первую строку в первоначальном виде:

 

4) Теперь аналогичные преобразования выполним с третьей строкой. Умножим первую строку на а₃₁=5, а третью на –а₁₁= -3 и сложим их.

 

5) Умножим вторую строку на а₃₂= -14, а третью на – а₂₂= 5, чтобы при их сложении элемент а₃₂ стал равным нулю

 

6) Запишем снова систему уравнений:

 

Из третьего уравнения можно найти z=3. Если подставить это значение во второе уравнении, то можно найти у.

 

Если подставить, найденные значения в первое уравнение, то найдём х.

 

7) Ответ: (2;-1;3)

 

Литература:

 [4] стр. 89-90

6.3 Определитель матрицы. Вычисление определителей

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:. Определителем (или детерминантом)  второго порядка, соответствующим данной матрице называется число а₁₁а₂₂-а₁₂а_21. Таким образом, определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Пример 51.

Вычислите определитель:.

Решение:

.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:. Определителем (или детерминантом)  третьего порядка, соответствующим данной матрице называется число а₁₁а₂₂а₃₃+ а₂₁а₃₂а₁₃+ а₁₂а₂₃а₃₁- а₁₃а₂₂а₃₁- а₁₂а₂₁а₃₃- а₁₁а₂₃а₃₂.

 

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило проиллюстрировано на схеме:

 

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а₁₁а₂₂а₃₃) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а₂₁а₃₂а₁₃, а₁₂а₂₃а₃₁). Три отрицательных члена есть произведения элементов побочной диагонали (а₁₃а₂₂а₃₁) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а₁₂а₂₁а₃₃, а₁₁а₂₃а₃₂).

Пример 52.

Вычислите определитель:.

Решение:

 

Литература:

[1] стр. 68-70,[3] стр. 307, 311, [4] стр. 71-73, [5] стр. 263-264

6.4 Метод Крамера, решения систем линейных уравнений

Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z имеет вид

 

Определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Дополнительными определителями системы называются определители третьего порядка, получаемые из определителя, заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами b₁, b₂, b₃.

,  ,