Основные физико-механические свойства жидкости.

Рассмотрим основные физико-механические свойства жидкости: плотность, удельный вес и удельный объем.

Плотность – это масса единицы объема .

Если тело однородно, то удельный вес – это вес единицы объема ; так как , то  или , т.е. удельный вес прямо пропорционален плотности.

Единица измерения удельного веса в системе СИ - Н/м³= кг/(м²×с²). Единица измерения плотности в СИ - н×с²/м⁴ = кг/м³.

Удельный объем - объем единицы массы  - есть величина, обратная плотности . Опыт показывает, что плотности капельных жидкостей с ростом давления изменяются очень мало. Например, при увеличении давления от 1 до 100 атм первоначальный объем воды уменьшается на 0,5% и, следовательно, плотность увеличивается на 0,5%. Плотность газов с ростом давления значительно растет. Плотность капельных жидкостей с ростом температуры изменяется, как правило, незначительно.

Для нефти и нефтепродуктов по формуле Менделеева имеем

,

где r₁₅ - плотность при t = 15 ⁰С; b - коэффициент объемного расширения.

При увеличении t от 15 ⁰C до 100 ⁰С плотность нефти уменьшается примерно на 7%. Плотность газов значительно меняется с температурой. Так, для идеальных газов имеет место уравнение Клапейрона  или , откуда , т.е. плотность газов находится в обратно пропорциональной зависимости от температуры.

Вязкость. Закон Ньютона для внутреннего трения в жидкости.

Вязкостью называется способность жидкости оказывать сопротивление сдвигающим усилиям. Это свойство жидкости проявляется лишь при ее движении. Допустим, что некоторое количество жидкости заключено между двумя плоскими неограниченными параллельными пластинами (рис. 1.1). Расстояние между ними обозначим через n. Пусть верхняя пластина движется относительно нижней с некоторой скоростью u. Чтобы перемещать одну пластину относительно другой, необходимо приложить к движущейся пластине некоторую силу T, равную силе сопротивления жидкости в результате внутреннего трения. Ньютон установил, что эта сила пропорциональна относительной скорости u, поверхности соприкосновения S и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами n, т.е.

,

где m - коэффициент пропорциональности.

Для большего уточнения этой зависимости ее следует отнести к бесконечно малому расстоянию между слоями жидкости, тогда

,

где D u - относительная скорость движения соседних слоев; D n - расстояние между ними.

Или в пределе

.

Последнее выражение носит название закона Ньютона для внутреннего трения. Знак плюс или минус принимается в зависимости от знака градиента скорости .

Так как  - есть касательное напряжение сдвига, то закону Ньютона можно придать более удобный вид

.

Касательное напряжение, возникающее в жидкости, пропорционально градиенту скорости в направлении, перпендикулярном вектору скорости, и к площадке, по которой оно действует.

Коэффициент пропорциональности m характеризует физические свойства жидкости и называется динамическим коэффициентом вязкости. Из формулы Ньютона следует

.

Из этого выражения вытекает физический смысл коэффициента μ: если , то .

В гидродинамике вводят в рассмотрение величину

 [м²/с],

называемую кинематическим коэффициентом вязкости.

Динамический коэффициент вязкости m с ростом температуры уменьшается, а с увеличением давления увеличивается. Однако влияние давления для капельных жидкостей незначительно. Динамический коэффициент вязкости газов с увеличением температуры возрастает, а от давления изменяется незначительно.

Жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона, называются ньютоновскими жидкостями. Однако существуют жидкости, которые не подчиняются этому закону (аномальные жидкости). К их числу относятся различного вида эмульсии, коллоидные растворы, представляющие собой неоднородные тела, состоящие из двух фаз (твердой и жидкой).

Вискозиметры.

Рис. 1.2. График зависимости вязкости жидкости от температуры

Вязкость капельной жидкости в значительной степени зависит от температуры и в меньшей степени – от давления жидкости. Зависимостью вязкости от давления в большинстве случаев пренебрегают. При атмосферном давлении вязкость воды в зависимости от температуры определяется по формуле Пуазейля.

где  - кинематический коэффициент вязкости;

     - динамический коэффициент вязкости;

     - плотность воды при данной температуре;

      - температура воды.

Вязкость жидкости определяют при помощи приборов, называемых вискозиметрами. Для жидкостей, более вязких, чем вода, применяют вискозиметр Энглера. Этот прибор состоит из емкости с отверстием, через которое при температуре 20 °С определяют время слива дистиллированной воды Т ₀ и жидкости Т, вязкость которой требуется определить. Отношение величин Т и Т ₀ составляет число условных градусов Энглера

.

После определения вязкости жидкости в условных градусах Энглера кинематический коэффициент вязкости находится по следующей эмпирической формуле

, см²/с.

Полученные по этой формуле значения  хорошо согласуются с опытными данными.

2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ.

При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый метод, развитый Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц.

Второй метод, развитый Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость.

В гидродинамике применяются оба эти метода. Однако более распространен метод Эйлера, благодаря его простоте. По методу Лагранжа в начальный момент времени t ₀ отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени t ₀ определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т.е. тремя уравнениями

                                                        (2.1)

где х, у, z - координаты частицы; t - время.

Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т.е. начальные координаты частиц.

Например, точка М (рис. 2.1) в момент времени t = 0 имеет координаты а, b, с. Соотношения (2.1) с учетом а, b, с примут вид

                                                 (2.2)

В соотношениях (2.2) начальные координаты а, b, с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты x, y, z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а, b, с, t, которые называются переменными Лагранжа.

При известных соотношениях (2.2) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени)

                 ;

;                                                (2.3)

                  .

Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (соотношения 2.5).

Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (2.1) путем нахождения координат x, y, z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени.

По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит: а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства; б) в исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой.

Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины.

Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями

                                  (2.4)

т.е. скорость

является функцией координат и времени.

Переменные x, y, z, t называются переменными Эйлера.

Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т.е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (2.4).

Метод Эйлера и метод Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt, в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (2.3).

Из (2.2) следует, что координаты x, y, z являются функциями времени. Тогда  будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

;

;                         (2.5)

,

где  – проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси.

Так как для движущейся частицы

, , ,

то

;

;

.

Частные производные

, ,

называются проекциями локального (местного) ускорения.

Суммы вида

 

называется проекциями конвективного ускорения.

Полные производные

, ,

называются еще субстанциональными или индивидуальными производными.

Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую.

ГИДРОСТАТИКА.