Три плоскости упругой симметрии – ортотропия

Если материал обладает двумя ортогональными плоскостями упругой симметрии, то третья плоскость, ортогональная этим плоскостям, также будет являться плоскостью упругой симметрии. Материал, обладающий тремя взаимно ортогональными плоскостями упругой симметрии, называется ортотропным, и для него определяющее соотношение (2.1.11) имеет девять независимых констант, сводящихся к трем модулям Юнга, трем коэффициентам Пуассона и трем модулям сдвига. Пример: железобетон или стеклопластики, армированные в двух или в трех ортогональных направлениях. Если координатные плоскости декартовой системы координат совместить с плоскостями упругой симметрии, то матрица податливости примет следующий вид:

,          (2.1.14)

и её можно переписать через технические константы:

            (2.1.15)

В плоском случае число констант сокращается до четырёх: это – два модуля Юнга , один коэффициент Пуассона  и модуль сдвига G ₁₂ – именно его определение для ортотропных материалов представляет наибольшие методические трудности: его не удаётся определить в стандартном опыте на растяжение.

Технические константы – это модули Юнга  вдоль направлений симметрии (определяются в стандартном опыте на одноосное растяжение плоских образцов, когда только продольное напряжение отлично от нуля. Например, модуль Юнга E ₁ определяется при растяжении вдоль оси 1, когда  а ); коэффициенты Пуассона (первый индекс - направление действующего напряжения, второй индекс - направление возникающей поперечной деформации; порядок индексов важен); модули сдвига G ₁₂, G ₂₃, G ₁₃ (характеризующие изменение прямых углов между главными направлениями 1-2, 2-3 и 1-3, соответственно; порядок индексов не имеет значения). Из симметрии тензоров модулей и податливостей следуют тождественные соотношения между модулями Юнга и коэффициентами Пуассона:

                    (2.1.16)

По сути, ортотропия означает, что нормальные напряжения вдоль главных осей не вызывают сдвигов. Иначе крыло самолета при изгибе меняло бы угол атаки, а баллон для сжатого газа под действием внутреннего давления закручивался бы и изгибался. Поэтому в реальных деталях редко используют неортотропные (несимметрично армированные) композиты.

Необходимо подчеркнуть, что число упругих констант, фигурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда за координатные приняты плоскости симметрии. В других системах координат, например, при нагружении под углом к волокнам, матрица (2.1.11) по-прежнему будет содержать 21 константу, которые, однако, выражаются через те же девять независимых констант.