Тема: «Выпуклость графика функции»

Производную  дифференцируемой на интервале  функции  называют также первой производной или производной первого порядка функции . Если функция  имеет на интервале  производную, то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции  и обозначают , т.е.

Функция , дифференцируемая на интервале , называется выпуклой вниз на этом интервале, если ее производная  возрастает на , и поэтому  на этом интервале. Функция , дифференцируемая на интервале , называется выпуклой вверх на этом интервале, если ее производная  убывает на , и поэтому  на этом интервале.

Интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, называют интервалами выпуклости этой функции. Точка х₀ дифференцируемой функции  называется точкой перегиба этой функции, если х₀ является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз для . Иными словами, в точке х₀ дифференцируемая функция меняет направление выпуклости.

Пример 1: Найти производную второго порядка функции

Пример 2: Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба функции

При  функция выпукла вниз, а при  функция выпукла вверх. Точка  - точка перегиба.

Самостоятельная работа

1. Найти производные второго порядка функций:

2.Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба функций:

Тема: «Правила нахождения первообразных функций»

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если  — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции  отличается от  на некоторое постоянное слагаемое, т. е.  где .

Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл:  где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

Таблица основных интегралов

1.                            2.

3.             

5.                                        6.

7.                                         8.

9.                              10.

11.                           12.

13.                          

Пример 1: Показать, что функция F(x) является первообразной функции f(x)

Решение:

Пример 2: Вычислить интеграл

Самостоятельная работа

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить интегралы: