Тема: «Производная степенной функции»

Тема: «Производная степенной функции»

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

                                          (1)

Обозначения производной в точке х ₀:

 и другие.

Если функция в точке х ₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Пример: Найти производную функции, используя ее определение

Решение: 

Основные формулы:

Пример: Вычислить производные функций:

Решение:

 

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

Пример. Найти производные функций:

а)  

Решение.

а) Используя правила и формулы, получим:

 

Самостоятельная работа

1.Найти производные функций

2.Найти производные функций

3)

 

«Правила дифференцирования: производные произведения и частного»

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

            

Правила дифференцирования

№ пп	U = u (x), V = V (x) - дифференцируемые функции
I
II
III
IV
V

 

Пример. Найти производные функций:

а)   б)

Решение.

а) Используя правила дифференцирования произведения функций, разности, формулы и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t =1, получим:

б)  Используя правила дифференцирования частного, суммы
и формулы, учитывая, что t =1, получим:

Самостоятельная работа

Найти производные функций:

 

Тема: «Производная сложной функции»

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

            

 

Производная сложной функции .

Производной n -го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка  или

Производная третьего порядка  или  и т. д.

Пример.  Найти производную функции

Решение: Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v =1; используя формулу, получим:

Самостоятельная работа

1) Найти производные функций:

2) Найти производные второго порядка:

3) Найти производные третьего порядка:

 

Самостоятельная работа

1.Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀

2.Составить уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х₀

Самостоятельная работа

1) Найти промежутки возрастания и убывания функции

2) Найти стационарные точки функции

3) Найти точки экстремума функции и значения функции в этих точках

 

Самостоятельная работа

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Самостоятельная работа

1. Найти производные второго порядка функций:

2.Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба функций:

Самостоятельная работа

1. Вычислить интегралы:

2. Вычислить интегралы:

 

Самостоятельная работа

1) Вычислить определенные интегралы

2) Вычислить определенные интегралы

3) Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками х=а, х=b, осью Ох и графиком функции у=f(х), если

 

Самостоятельная работа

1) Найти площадь фигуры, ограниченной

2) Найти площадь фигуры, ограниченной

 

Тема: «Производная степенной функции»

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

                                          (1)

Обозначения производной в точке х ₀:

 и другие.

Если функция в точке х ₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Пример: Найти производную функции, используя ее определение

Решение: 

Основные формулы:

Пример: Вычислить производные функций:

Решение:

 

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

Пример. Найти производные функций:

а)  

Решение.

а) Используя правила и формулы, получим:

 

Самостоятельная работа

1.Найти производные функций

2.Найти производные функций

3)

 

«Правила дифференцирования: производные произведения и частного»

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

            

Правила дифференцирования

№ пп	U = u (x), V = V (x) - дифференцируемые функции
I
II
III
IV
V

 

Пример. Найти производные функций:

а)   б)

Решение.

а) Используя правила дифференцирования произведения функций, разности, формулы и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t =1, получим:

б)  Используя правила дифференцирования частного, суммы
и формулы, учитывая, что t =1, получим:

Самостоятельная работа

Найти производные функций: