Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод проектирования на одну координатную плоскость. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Если поверхность S задана уравнением , где (x, y), (x, y)- непрерывны в замкнутой области, Dxy - проекция поверхности S на плоскость XOY и функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)- непрерывны на S, то имеет место формула:
Данная формула выражает поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость XOY. Пример: найти поток векторного поля через внешнюю часть поверхности Поверхность представляет собой параболоид, обрезанный на высоте , поверхность не замкнутая, проектируется на плоскость XOY в круг радиуса
Рис. 3.9 Рис. 3.8
Т.к. проекция на плоскость XOY – круг, то при вычислении двойного интеграла переходим к полярной системе координат. Пример: вычислить поверхностный интеграл второго рода по внешней части конуса , , если , - уравнение верхней части кругового конуса при .
Для вычисления поверхностного интеграла воспользуемся формулой (3.5)
Т.к. конус проектируется на плоскость Х OY кругом радиуса , , запишем двойной интеграл в полярной системе координат . Учитывая, что нормаль к нижней стороне поверхности составляет тупой угол по отношению к оси OZ, в окончательном ответе должен быть поставлен знак минус, т.е.
3.1.4. Вычисление поверхностных интегралов второго рода с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью. Теорема. Если функции - непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной замкнутой области V, то имеет место формула: (3.6) где - заданное векторное поле. - дивергенция векторного поля S - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Как уже указывалось выше, дивергенция может быть вычислена через скалярное произведение символического вектора (набла - оператор Гамильтона) и вектора поля. Понятие дивергенции (или расходимости векторного поля) дает некоторую количественную характеристику векторному полю в каждой его точке.
Это формула трактует дивергенцию векторного поля в точке M, как объемную плотность потока вектора в данной точке. Пример: найти поток векторного поля через поверхность S: , Поверхность представляет собой замкнутый при z = 0 и z = 1 цилиндр рис. 3.10 Т.к. поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
(при вычислении тройного интеграла используем цилиндрическую систему координат):
Пример: найти поток векторного поля через внешнюю часть конуса , , ограниченного сверху плоскостью . Поверхность замкнутая. Вычислим дивергенцию векторного поля:
рис. 3.11 Следовательно, , а т.к. по свойствам тройного интеграла, если подынтегральная функция равна единице, то тройной интеграл равен объему заданного тела V, а объем конуса
Следовательно, поток векторного поля Если в векторном поле дивергенция равна нулю, то такое поле называется соленоидальным. В соленоидальном векторном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если в точке М(x, y, z) векторного поля (М) (M)> 0, то такая точка называется источником векторного поля, если (M)< 0, то точка называется стоком векторного поля. Пример: вычислить поток векторного поля , где S - замкнутая поверхность: Нормаль внешняя. Поверхность S представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ; в сечении окружность с центром в начале координат, радиуса R = 1. Цилиндрическая поверхность ограничена плоскостью Z = 0 и наклонной плоскостью .
рис. 3.12 рис. 3.13 Вычислим дивергенцию
Тогда, Вычислим тройной интеграл в цилиндрической системе координат:
Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если S: Поверхность является замкнутой сферой радиуса R = 2, с центром в точке (1;0;0), т.к. Дивергенция векторного поля (М):
Тогда, поверхностный интеграл второго рода, вычисленный по формуле Остроградского-Гаусса примет вид: т.к. по свойствам тройного интеграла - объему тела, а тело представляет собой сферу, объем которой равен . Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, нормаль внешняя, если Поверхность S представляет собой пересечение параболоида с конусом: - параболоид, - конус () Строим проекции поверхности на вертикальную и горизонтальную плоскости. - верхняя часть конуса.
рис. 3.14 рис. 3.15 Находим радиус окружности, по которой пересекаются две поверхности вращения: , но , т.е. или , т.к. то , следовательно . Тогда и
Вычисляем тройной интеграл в цилиндрической системе координат. (Уравнение конуса в цилиндрической системе координат ; уравнение параболоида , т.к. в цилиндрической системе координат). Формула Стокса Формула Стокса связывает криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Пусть в некоторой области пространства задано поле непрерывно дифференцируемого вектора = P(x,y,z) +Q(x,y,z) +R(x,y,z) Выше мы уже определили понятие ротора вектора как векторного произведения символического вектора набла = + + и вектора поля = P + Q + R
Тогда по формуле Стокса: (4.1) Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность G, натянутую на контур L. Предполагается, что ориентация нормали к поверхности G согласована с ориентацией контура L таким образом, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки. Формулу Стокса можно трактовать как обобщение формулы Грина для пространственного случая. В координатной форме формула Стокса имеет вид:
Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы второго рода по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов второго рода. Пример: вычислить циркуляцию вектора y + x 2 – z по контуру L: x 2 + y 2 =4 при z =3; вычисления провести двумя способами: а) непосредственно; б) по формуле Стокса. x 2 + y 2 =4 – круговой цилиндр, радиуса R =2 с образующей, параллельной оси OZ. Контур L - окружность, лежащая в плоскости z =3. Выберем ориентацию дуги L как указано на рис.4.1. а) Параметрические уравнения линии L: x= 2cos t; y=2sint; z=3; 0 ≤ t ≤ 2π dx= -2sint dt; dy= 2cost dt; dz=0
Вычисляем криволинейный интеграл второго рода. Тогда: б) Вычисления по формуле Стокса начнем с определения ротора векторного поля: Вектор нормали к плоскости z =3 (0;0;1) Тогда, по формуле Стокса: При вычислении интеграла воспользовались полярными координатами (x =ρ cos , y =ρ sin якобиан равен ρ).
Пример: найти циркуляцию векторного поля y + z + x по окружности, получающейся при пересечении сферы x 2 + y 2 + z 2 =1, наклонной плоскостью x + y + z =0, нормаль направлена в сторону положительной оси ОХ. Плоскость x + y + z =0 полностью определяется своей нормалью , длина нормали = , тогда единичная нормаль, сонаправленная с данной имеет координаты . Вычислим ротор векторного поля в соответствии с формулой (2.7):
Вычислим скалярное произведение ротора вектора поля и единичной нормали:
Следовательно, по формуле Стокса (4.1):
Приложения. Варианты индивидуальных заданий. Вариант № 1. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: ломаная ABCD, AC // OX, CD // OX, DB // OY. A (0, 1, 2), B (1, -1, 3) 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:
Поверхность замкнутая, нормаль внешняя.
Вариант № 2. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
От точки M (2, 0) до точки N (0, 0).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали. Вариант № 3.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур, полученный пересечением поверхности координатными плоскостями.
3) Вычислить поток векторного поля через заданную замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.
Вариант № 4.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.
Вариант № 5. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , вырезаемая плоскостями , нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.
Вариант № 6. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: от точки M (3, 0) до точки N (-3, 0).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:
S: часть поверхности , вырезаемая плоскостью
P: , нормаль внешняя. Вариант № 7.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: контур треугольника ABC, где вершины треугольника имеют следующие координаты A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть плоскости , расположенная в 1 октанте, нормаль положительная.
Вариант № 8.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: , от точки M , до точки N
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:
Вариант № 9. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , вырезанная плоскостями: нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.
Вариант № 10. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении. S: часть поверхности , отсекается плоскостями , нормаль внешняя. Вариант № 11.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью , нормаль внешняя.
Вариант № 12.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: отрезок AB, соединяющий точки A (1, 2, -2) и B (-2, 1, 4).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью , нормаль внешняя. Вариант № 13. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: замкнутый контур x2+(y-1)2=1, обход в положительном направлении. 3) Вычислить поток векторного поля через часть плоскости S: x /3 + y +2 z =1 расположенную в первом октанте, в направлении внешней нормали. Вариант № 14. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L. L: x2+y2+z2=4, z = 1, (y≥0) от точки M(√3;0;1) до точки N (-√3;0;1).
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали. S:
Вариант № 15. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L. L: замкнутый контур 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S S: нормаль внешняя. Вариант № 16. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L. L: контур треугольника, ограниченного осями координат и прямой 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S S: , нормаль внешняя Вариант № 17. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: замкнутый контур (обход из точки 0(0,0,0) виден совершающимся против часовой стрелки). 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S: Вариант № 18. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: контур треугольника OAB, где O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,2). 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S:
Вариант № 19. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: x2+y2=1, (y≥0) от точки M(1;0) до точки N (-1;0). 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S: Вариант № 20. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: , 0≤t≤2 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S:
Вариант № 21. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый): L: 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали: S: Вариант № 22. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый): L: 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность (первый октант) в направлении внешней нормали: S:
Вариант № 23. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (замкнутый контур): L: 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали S: Вариант № 24. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: , 0≤t≤2 3) Вычислить поток векторного поля через поверхность S в направлении внешней нормали: S: часть плоскости , находящаяся в I октанте. Эллипсоид
Гиперболоид двуполостный Конус второго порядка Параболоид эллиптический Параболоид гиперболический Эллиптический цилиндр второго порядка
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 249; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.12.240 (0.408 с.) |