Метод проектирования на три координатные плоскости.

В соответствии с формулами (3.1), (3.2), (3.3) вычисление поверхностного интеграла второго рода может быть сведено к вычислению трех двойных интегралов по проекциям области S на соответствующие координатные плоскости. Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S: если нормаль к поверхности с соответствующей осью координат образует острый угол, то берется знак «плюс», а если тупой угол – знак «минус».

Пример: вычислить поверхностный интеграл второго рода

если S – верхняя сторона плоскости  2x – 3y + z = 6

рис. 3.2

Проектируем поверхность S на плоскость YOZ:

 Тогда

рис.3.3  где из уравнения плоскости , тогда получим двойной интеграл по проекции S на YOZ.

 

Так как нормаль с осью OX составляет острый угол, то в общей сумме этот интеграл возьмем со знаком «плюс», т.е. I ₁ = 6.

Проектируем поверхность S на плоскость XOZ. Проекция является также треугольником, ограниченным наклонной линией и отрезками координатных осей.

    рис. 3.4

Тогда, соответствующий поверхностный интеграл примет вид:

Но так как нормаль к поверхности S составляет с осью OY тупой угол, то в общей сумме этот интеграл возьмем со знаком «минус», т.е. I ₂ = -18.

Проектируем поверхность S на плоскость XOY:

                   рис. 3.5

Тогда

Так как нормаль к поверхности S составляет с осью OZ острый угол, то в общей сумме этот интеграл возьмем со знаком «плюс», т.е. I ₃ = 15.

Тогда, окончательный результат:

              3.1.2.Связь между поверхностными интегралами

                                  первого и второго рода.

Пусть S – поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), где функции f (x, y), f ' _x (x, y), f ' _y (x, y) - непрерывны в замкнутой области D_xy – проекции поверхности   S   на плоскость XOY, а функция R (x, y, z) – непрерывна на поверхности S. Выберем верхнюю сторону поверхности S.

Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких кривых на n частей ∆ S ₁, ∆ S ₂,… ∆ S_n. Проекциями этих линий область D_xy разобьется на части, обозначенные соответственно ∆σ₁, ∆σ₂,… ∆σ _n.

При этом

где     P_i  – некоторая точка области .

Обозначим через М _i    точку поверхности _, соответствующую точке P_i, а через  – острый угол, образованный нормалью к поверхности   S  в точке   М _i   с осью OZ.  Тогда

Составляя интегральную сумму для поверхностного интеграла второго рода по верхней стороне поверхности S, получим:

Сумма   является интегральной суммой для интеграла первого рода по поверхности S от функции R (x, y, z)  [  – угол, составленный с осью OZ нормалью в текущей точке M (x, y, z) к поверхности S в выбранную сторону поверхности]. При стремлении шага разбиения к нулю в пределе будем иметь:

    Аналогичные формулы при соответствующих условиях имеют место для двух других составляющих поверхностного интеграла. Суммируя, получаем формулу вычисления поверхностного интеграла второго рода через поверхностный интеграл первого рода:

                                                                         (3.4)

                                                                                             

Здесь , ,  – направляющие косинусы единичной нормали к поверхности   S в выбранную (для интеграла слева) сторону поверхности.

Пример: найти поток векторного поля =2 x  + y + z   через внешнюю часть плоскости   S, расположенную в первом октане   x + y + z =1.

 ,  ;   z=1-x-y