Методика изучения таблицы умножения и соответствующих случаев деления в курсе математики начальных классов.

Тема: «Смысл умножения и деления. Свойства умножения. Связь компонентов и результатов действий умножения и деления. Таблица умножения и соответствующие случаи деления»

Методика изучения таблицы умножения и соответствующих случаев деления в курсе математики начальных классов.

Перед составлением таблицы умножения и деления рассматриваем теоретическую основу этой таблицы.

К теоретической основе табличного умножения и деления относят:

1) смысл умножения;

2) переместительное свойство умножения;

3) связь между компонентами и результатом действий умножения и деления.

Эти вопросы изучают на I этапе темы «Табличное умножение и деление».

По мере рассмотрения теоретических вопросов учащихся знакомят с табличными приемами умножения и деления. При изучение каждого теоретического вопроса, вводится прием.

1 ПРИЁМ умножения однозначных чисел 7 * 3 = 21

                                                                           7+7+7 = 21

7 умножить на 3, значит по 7 берем 3 раза.

Теоретическая основа – конкретный смысл действия умножения.

ПРИЁМ умножения однозначных чисел.

Знаем, что         7 * 7 = 49

 Найти               7 * 8 = (7+7+7+7+7+7+7) +7 = 7*7+7 = 56

Если мы знаем, что 7 * 7 = 49, то мы можем посчитать, сколько будет 7 * 8. По 7 взяли 8 раз – это значит, по 7 взять 7 раз и прибавить еще 7.

В соответствии с этим приёмом новый случай сводят к такому случаю, который детям известен.

7 * 8 = 7 * 4 + 7 * 4 =…

7*8 = 7 * 10 – 7 * 2=…

Таким образом, любой случай умножения можно подвести к тому случаю, который детям уже известен.

 

Теоретическая основа:

Конкретный смысл действия умножения;

Сочетательное свойство сложения;

Знание некоторых случаев умножения;

Сложение в пределах 100.

3 ПРИЁМ умножения однозначного числа используют для случаев, когда второй множитель больше первого              3 * 7 = 21

                                                                              3 * 7 = 7 * 3 = 21

                                                               7 + 7 + 7 =21 – так быстрее

Это приём перестановки множителей.

Теоретическая основа: переместительный закон умножения и знание некоторых случаев умножения.

ПРИЁМ деления двузначного или однозначного на однозначное число.

Чтобы разделить вспоминаем соответствующий случай умножения.

21 – это 7 умножить насколько? (на 3)

21: 7 =

21 = 7 * 3

21: 7 = 3

Если произведение разделить на один множитель получится другой.

Теоретическая основа:

Знание таблицы умножения;

Зависимость между множителями и произведением.

5 ПРИЁМ деления основан на способе подбора частного.

Опираемся на правило: если частное умножить на делитель, то получим делимое.

21: 7 = 3

7 * 2 = 14 14 < 21

7 * 3 = 21 21 = 21

Способ подбора основан на взаимосвязи между делимым, делителем и частным: если частное умножить на делитель, получим делимое. Подбор начинают с числа 2, т.к. при умножении 1, получают то же число.

Теоретическая основа: связь между делимым, делителем и частным, знание таблицы умножения.

Прием № 5 позволяет заучить таблицу.

Основываясь на эти приёмы, на II этапе, составляют таблицы умножения и деления.

С каждым числом составляют по 4 таблицы умножения и деления (по 4 столбика).

 

1 столбик: таблица умножения по постоянному первому множителю. Для его составления используют приёмы №1 и №2. 1-й, столбик начинают со случая одинаковых множителей:

2 *2 = 󠇔󠇔 4                                                      4:2=2                                     

2+2=4

2*3=6                                3*2=6              6:2=3            6:3=2

2+2+2=6                 

2*4=8                                4*2=8              8:2=4             8:4=2

2+2+2+2=8

2*5=10                              5*2=10            10:2=5          10:5=2

2+2+2+2+2=10

2*6=12                              6*2=12            12:2=6          12:6=2

2*6=2*5+2=12

2*7=14                              7*2=14            14:2=7          14:7=2

2*7=2*6+2=14

2*8=16                              8*2=16            16:2=8          16:8=2

2*8=2*7+2=16

2*9=18                              9*2=18            18:2=9          18:9=2

2*9=2*8+2=18

Теоретическая основа 1 таблицы – конкретный смысл действия умножения.

Случаи 2*1 и 2*10 в таблице не разбирают, т.к. это частные случаи, их разбирают потом.

2 столбик: столбик умножения по постоянному второму множителю. Для его составления используют приём №3.

Теоретическая основа 2 таблицы – переместительное свойство умножения. Учитель даёт задание: поменяйте множители в 1 столбике местами, изменится ли произведение? Составьте второй столбик самостоятельно. 2 столбик начинают со второй строки.

3 столбик: деление по постоянному делителю. Составляется на основе использования приема № 4 из 1 столбика. 1 столбик в таблице считается самым главным.

Сравните различные методические подходы к составлению и заучиванию таблиц умножения и деления, используемые в альтернативных учебниках математики для начальных классов.

М2М ч.2 с.82.                                            М2М ч.2 с.83.

На с.83 изучают третий теоретический вопрос – связь между множителями и произведением, составляют столбики на деление, заучивают их.

На страницах 90-94 с начала для чисел 2 и 3 используют 2 подход, т.е. по очереди изучают теоретические вопросы и сразу же составляют столбики с числами 2 и 3. Они оказываются разорванными.

              

                 М2М ч.2 с.90.                                              М2М ч.2 с.91.                                 

         

               М2М ч.2 с.92.                        

М2М ч.2 с.93.

М3М ч.1 с.34-35, 40-65.

           М3М ч.1 с.34.                                          М3М ч.1 с.35.

                     М3М ч.1 с.40.                                          М3М ч.1 с.44.

                     М3М ч.1 с.48.                                          М3М ч.1 с.62.

М3М ч.1 с.65.

М3М ч.1 с.68.

На с.68 составляют сводную таблицу умножения.

С.80-81.

Заучивание продолжают до с.81. Предлагают проверочную работу (тесты). Рассматриваются различные способы выполнения заданий, учащимся предлагаются задания на соотнесение изучаемого с ранее изученным материалом.

М3М ч.1 с.82-85.

Далее учащиеся знакомятся с особыми (частными) случаями умножения любого числа на 1 и 0.  На с.82 вводится правило умножения любого числа на 1: при умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

На с.83 вводится правило умножения любого числа на 0: при умножении любого числа на нуль получается нуль. Замечается, что на 0 делить нельзя!

С.84.

С.85.

На данной странице учащиеся знакомятся с делением нуля на число. Дается формулировка: если произведение 0 разделить на число, не равное 0, получим 0.

В учебнике М.И. Моро мало упражнений развивающих логическое мышление, внимательность. Практически отсутствуют задания с элементами занимательности. Упражнения однотипны. Поэтому просто необходимо дополнять данные в учебнике задания упражнениями, дополнительными заданиями развивающего характера.

М2И ч.2 с.64. УМК «Гармония».

Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления

учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй — с их усвоением, т. е. прочным запоминанием.

По программе Истоминой Н.Б. во втором классе учащиеся при ознакомлении с таблицами умножения и деления используют 2 подход, т.е. опираются на конкретный смысл умножения, начинают составлять первые столбики с разными числами, но в отличие от учебника Моро, начинают с числа 9, т.к. по мнению автора, эти случаи самые сложные. Изучают эти случаи не целым столбиком, а частями. Например, на первом уроке М2И ч.2 с.64 случаи: 9*5, 9*6, 9*7, на другом уроке: 9*2, 9*3, 9*4, на третьем уроке: 9*8, 9*9. Учитель дает установку на

запоминание, которая распределяется во времени: сначала дается установка на запоминание трех табличных случаев, затем еще трех и напоследок — двух табличных равенств.

М2И ч.2 с.64.

С.69.

С.71.

В учебнике достаточно много различных упражнений, которые способствуют усвоению случаев табличного умножения с числом 9.

С.60.

С.69.

С.70.

С.71.

С.73.

С.77.

Случаи табличного умножения числа 8 усваиваются учащимися в процессе изучения переместительного свойства умножения и понятия «увеличить в несколько раз». Заданий на закрепление изученных случаев также достаточно.

С.82.

В 3 классе изучают смысл деления и связь между множителями и произведением, и разбирают табличные случаи с делением.

М3И ч.1 с. 35. УМК «Гармония».

С.37.

С.41.

С.43.

С.49.

               М3И ч.1 с. 56.                                   М3И ч.1 с. 57.

М3И ч.1 с. 62.

Таблица деления не составляется, деление рассматривается, как действие обратное умножению.

С.54.

Составление таблицы умножения на 5.

С.64.

В данной теме вводится понятие «действие первой ступени» и «действие второй ступени». Дана формулировка правила порядка действий: если в выражение без скобок есть действия разных ступеней, то сначала выполняют по порядку все действия второй ступени (умножение и деление), а затем все действия первой ступени (сложение и вычитание).

С.63.

Составление таблицы умножения на 6.

С.66.

Составление таблицы умножения на 7.

С.68.

Составление таблицы умножения на 8.

С.70.

Составление таблицы умножения на 9.

 

С.74.

На данной странице представлена сводная таблица умножения. На основании переместительного закона умножения выполняется сокращение составленных столбиков таблицы. Дается установка на заучивание.

Таким образом, в системе Л.В. Занкова таблицы умножения и деления составляются по второму постоянному множителю до изучения необходимой теории, после чего происходит постепенное сокращение числа равенств, необходимых для заучивания. В данном учебнике представлены различные задания для закрепления табличных случаев умножения.

С.66.

На 27 уроке учащиеся составляют таблицу умножения на 2.

С.72.

Составляется таблица деления числа на 2.

 

С.80.

На 33 уроке проводится связь между умножением и делением.

С.88.

На 37 уроке учащиеся составляют таблицу умножения на 3. Таблица умножения и деления на 3 рассматривается аналогично таблице умножения и деления на 2, на нее отводится один урок.

С.98.

На 41 уроке учащиеся составляют таблицу умножения на 4.

С.14.

На 5 уроке учащиеся составляют таблицу умножения на 6.

С.23.

На 8 уроке учащиеся составляют таблицу умножения на 7.

С.31.

На 11 уроке учащиеся составляют таблицы умножения на 8 и 9.

Несмотря на то, что основное внимание уделяется на этих уроках новым таблицам, необходимо систематически включать изученные табличные случаи. На изучение и закрепление табличных случаев умножения по учебнику Л.Г. Петерсон отводится от 5 до 3 уроков.

В данном учебнике присутствуют задания разноуровнего характера, такие же задания присутствуют и в учебнике математике М.И. Моро, но в учебнике Л.Г. Петерсон имеются разнообразные дидактические игры, задания с блок-схемами, блиц – турниры, в этом учебнике в основном задания развивающего характера.

М2Д ч.2 с.58. УМК «Школа 2100».

Учащиеся составляют таблицы умножения на 3. Рассматривается и переместительное свойство умножения.

С.60.

С.63.

Проводится связь между умножением и делением. Вводится формулировка правила: если произведение разделить на один множитель, то получим другой множитель.

С.64.

Учащиеся предлагается найти значения выражений, пользуясь таблицей умножения. Таким образом, составляется таблица деления числа на 2.

С.65.

С.66.

При закреплении таблиц умножения и деления на 2 учащиеся знакомятся с понятиями чётные и нечётные числа. Дается формулировка: числа 4, 6, 8, 10 делятся на 2. Они называются чётными. Числа 3, 5, 7, 9 не делятся на 2. Они называются нечётными. Чётные и нечётные числа в ряду чередуются.

С.31.

Учащиеся составляют таблицы умножения и деления на 3. Дается установка на запоминание изученных случаев.

С.72.

Рассматривается новая тема: «Порядок действий в выражении». Дана формулировка правила порядка действий: в выражении без скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание по порядку слева направо.

С.74.

Продолжается изучение темы: «Порядок действий в выражении». Дана формулировка правила порядка действий: в выражении со скобками сначала выполняются действия в скобках, а далее по изученному выше правилу.

С.76.

Учащиеся составляют таблицы умножения и деления на 4. Дается установка на запоминание изученных случаев.

М2Д ч.3 с.4. УМК «Школа 2100».

Учащиеся составляют таблицы умножения и деления на 5. Дается установка на запоминание изученных случаев.

С.16.

Учащиеся составляют таблицы умножения и деления на 6. Дается установка на запоминание изученных случаев.

С.28.

Учащиеся составляют таблицы умножения и деления на 7. Дается установка на запоминание изученных случаев.

С.44.

Учащиеся составляют таблицы умножения и деления на 8 и 9. Дается установка на запоминание изученных случаев.

Заданий на закрепление табличных случаев умножения в учебнике достаточно.

 

 

С.84.

С.85.

На данной странице учащиеся знакомятся с делением нуля на число. Дается формулировка: если произведение 0 разделить на число, не равное 0, получим 0.

Заданий для закрепления частных случаев умножения и деления недостаточно → дает сам учитель.

 

С.78.

На данной странице предлагается задание, раскрывающее связь между умножением и делением. Сначала учащиеся находят значения произведений, затем с помощью получившихся равенств находят значения частных, с опорой на записи делают вывод. Формулировки правила «деление на 1» в учебнике нет󠇄 → дает сам учитель. При деление любого числа на 1, получается тоже самое число. Например, 5: 1 = 5. Если число разделить на самого себя, получим 1. Например, 5: 5 = 1.

С.82.

Учащимся предлагается сравнить выражения, вычислить их значения, заменив умножение сложением, затем сделать вывод и закончить правило: При умножение числа 0 на натуральное число получится …

В качестве подсказки дается общий вид правила: 0 * а = 0

Далее рассматривается другое равенство: а * 0 = 0, учащиеся пользуясь правилом находят значения выражений: 6 * 0, 27 * 0 и т.д.

С.83.

Учащимся предлагается порассуждать: можно ли по материалу задания №451 сделать вывод: Если хотя бы один множитель равен 0, то и значение произведения равно 0.

 

 

С.84.

Дается задание на закрепление пройденного материала, учащиеся заполняют таблицу. Затем предлагается найти значения частных, используя равенства, полученные в пункте 2, формулируется вывод. Учащиеся читают правило записанное в пункте 5: если 0 разделить на любое натуральное число, получится 0. Записывают правило в общем виде: 0: а = 0.

С.87.

Учащиеся рассуждают по теме вопроса: Можно ли найти значения этих частных?

После чего учитель сообщает, что на 0 делить нельзя! Потому что если делитель 0, то число не делится на части, а значит нет действия. Это правило необходимо запомнить.

Упражнений на закрепление частных случаев умножения и деления в учебнике не много → дает сам учитель.

М2Д ч.2 с.56. УМК «Школа 2100».

В учебнике Демидовой 2 класс на уроке 2.40 вводится новая тема: «Умножение с нулем и единицей». Учащиеся находят значения произведений, заменив умножение их суммами, затем предлагается найти значение выражения 1 * 20, не заменяя его суммой. Делают вывод и сравнивают его с правилом: при умножении единицы на любое число получается то число, на которое умножали, дается общий вид правила: 1 * а = а, например, 5 * 1 = 5. Аналогичное задание выполняют и с умножением на 0. Делают вывод и сравнивают его с правилом: при умножении 0 на любое число, получается 0. Дается общий вид правила: 0 * а = 0. Аналогично формулируются правила умножения любого числа на 1 и 0.

Упражнений на закрепление частных случаев умножения практически нет → дает сам учитель.

М2Д ч.3 с.10. УМК «Школа 2100».

На уроке 2.56 вводится новая тема: «Деление с нулем и единицей». Учащиеся находят значения произведений, отвечают на вопрос как деление связано с умножением?

Затем находят значения второго выражения в каждом столбце, опираются на связь умножения с делением. Делают вывод и сравнивают его с правилом: при делении любого числа на единицу получаем это же число, дается общий вид правила: а: 1 = а, например, 5: 1 = 5. Учащиеся рассуждают по теме вопроса: Существует ли значение выражения: 5: 0, 7: 0? Можно ли подобрать такое число, умножив которое на 0, получили бы 5 или 7? С опорой на уже имеющиеся знания, учащиеся приходят к выводу: на 0 делить нельзя. Учитель сообщает, что на 0 делить нельзя! Потому что если делитель 0, то число не делится на части, а значит нет действия. Это правило необходимо запомнить. Учащиеся находят значения второго выражения в каждом столбце, опираются на связь умножения с делением. Делают вывод и сравнивают его с правилом: при делении 0 на любое число, не равное 0, получим 0. Дается общий вид правила: 0: а = 0. Аналогично формулируется правило деления любого числа на 1: при делении любого числа, не равного 0, самого на себя получаем единицу. Дается общий вид правила: а: а = 1.

Упражнений на закрепление частных случаев умножения практически нет → дает сам учитель.

М2Д ч.1 с.59.

В данном учебнике на с.59 вводится новая тема: «Умножение чисел 0 и 1». Перед каждым правилом дано задание, которое подводит к правилу. Учащиеся выполняют задание, формулируют вывод и сравнивают его с правилом из учебника: при умножении числа 1 на любое число получается то же самое число.

С.60.

Учащиеся выполняют задание, формулируют вывод и сравнивают его с правилом из учебника: при умножении числа 0 на любое число получается 0.

М2Д ч.2 с.85.

На данной странице вводится новая тема: «умножение на 0 и на 1». Учащиеся выполняют задание, используя переместительное свойство умножения, формулируют выводы и сравнивают их с правилами из учебника: при умножении числа на 1 всегда получают то число, которое умножали. При умножении числа на 0 всегда получается 0.

Упражнений на закрепление частных случаев умножения в учебнике недостаточно → дает сам учитель.

М3Д ч.1 с.76.

Изучая таблицы умножения, составляются таблицы деления, в которые включается частный случай деления любого числа на 1.

С.83.

С.98.

Формулировки правил: на 0 делить нельзя; при делении 0 на любое число, не равное 0, получим 0, в данном учебнике нет → дает сам учитель. Упражнений на закрепление частных случаев деления недостаточно → дает сам учитель.

 

М2И ч.2 с. 57. УМК «Гармония».

В данном учебнике на с.57 учащимся предлагается найти значения выражений, заменив умножение сложением. Выполнив действия, учащиеся формулируют вывод, отвечают на вопрос: почему некоторые выражения находятся в рамках? Сверяют свои ответы с рассуждением Миши и Маши, выясняют кто из ребят прав. Затем читают правила представленные ниже.

М3И ч.1 с.78. УМК «Гармония».

В 3 классе так же дано задание и рассуждение Миши и Маши, но уже правило деление 1 и 0.

В данном учебнике на с.78 учащимся предлагается найти значения выражения, используя равенство. Таким образом проводится связь между умножением и делением. Выполнив действия, учащиеся формулируют вывод. Сверяют свои ответы с рассуждением Миши и Маши. Затем читают правила представленные ниже.

 

С.79.

Упражнений на закрепление частных случаев умножения и деления недостаточно → дает сам учитель.

 

С.78.

Аналогично проводится работа и на рассмотрение частных случаев деления.

Упражнений на закрепление частных случаев умножения и деления недостаточно → дает сам учитель.

 

 

Тема: «Смысл умножения и деления. Свойства умножения. Связь компонентов и результатов действий умножения и деления. Таблица умножения и соответствующие случаи деления»

Методика изучения таблицы умножения и соответствующих случаев деления в курсе математики начальных классов.

Перед составлением таблицы умножения и деления рассматриваем теоретическую основу этой таблицы.

К теоретической основе табличного умножения и деления относят:

1) смысл умножения;

2) переместительное свойство умножения;

3) связь между компонентами и результатом действий умножения и деления.

Эти вопросы изучают на I этапе темы «Табличное умножение и деление».

По мере рассмотрения теоретических вопросов учащихся знакомят с табличными приемами умножения и деления. При изучение каждого теоретического вопроса, вводится прием.

1 ПРИЁМ умножения однозначных чисел 7 * 3 = 21

                                                                           7+7+7 = 21

7 умножить на 3, значит по 7 берем 3 раза.

Теоретическая основа – конкретный смысл действия умножения.