Получение разностного уравнения ЛНЧ в векторно-матричной форме

 

Пусть ЛНЧ (линейная непрерывная часть) (рис. **) описывается дифференциальным уравнением в векторно-матричной форме

 

(*)

 

Общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

 

,

 

где  - фундаментальная (переходная) матрица состояния,

 - матрица, учитывающая влияние внешних возмущений,

 - вектор состояния ЛНЧ.

 

Рассмотрим четыре случая работы мостового преобразователя.

1. Транзисторы  открыты, а транзисторы  закрыты (рис. **). Интервал  на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **). Источник тока  учитывает резкие изменения тока на выходе, например, сброс или наброс нагрузки. Для схемы запишем систему уравнений по первому и второму закону Кирхгофа.

 

 

 

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

 

где .

 

Введем следующий вектор состояния ЛНЧ , где Т – знак транспонирования. Вектор внешних воздействий – . Тогда матрицы  и  запишутся:

 

        

 

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале  запишется в следующем виде:

 

,

где ,  - единичная матрица.

Значение вектора состояния в конце интервала открытого состояния транзисторов , т.е. при  определяется уравнением

 

,(**1)

 

где .

2. Транзисторы  закрыты, ток протекает через диоды . Интервал времени  на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **).

 

 

Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа

 

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

 

 

Матрицы  и  запишутся:

 

 

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале  запишется в следующем виде:

 

,

где .

Значение вектора состояния в момент времени  определяется уравнением

 

,(**2)

 

где .

3. Транзисторы  открыты, а транзисторы  закрыты (рис. **). Интервал  на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **). Для схемы запишем систему уравнений по первому и второму закону Кирхгофа.

 

 

 

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

 

 

Матрицы  и  запишутся:

 

        

 

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале  запишется в следующем виде:

 

,

где .

Значение вектора состояния в момент времени  определяется уравнением

 

,(**3)

 

где .

4. Транзисторы  закрыты, ток протекает через диоды . Интервал времени  на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **).

 

 

 

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

 

Матрицы  и  запишутся:

 

 

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале  запишется в следующем виде:

 

,

 

где .

Значение вектора состояния в момент времени  определяется уравнением

 

,(**4)

 

где .

Для упрощения расчетов будем считать что напряжение питания  не меняется с течением времени, а изменение дополнительного тока нагрузки  происходит в начале каждого интервала дискретизации. Тогда можно положить, что  на интервале .

Используя уравнения (**1) – (**4) получим разностное уравнение ЛНЧ на интервале дискретизации. При преобразовании уравнения учтем, что . В результате преобразования имеем:

 

 

Чтобы найти решение этого уравнения необходимо найти длительности  и . При сигнале задания