Умножение и Деление круглого числа на однозначное.

Практическое занятие

Тема: «Методика изучения приемов внетабличного умножения и деления.

Приемы деления с остатком».

1. Какие свойства арифметических действий лежат в основе устных приемов внетабличного умножения и деления. Найдите в различных учебниках математики страницы, на которых рассматриваются эти свойства, и сравните их между собой. Опишите методику работы с ними.

В основе вычислительных приемов внетабличного умножения и деления лежат правила (свойства) арифметических действий, а также знание табличного умножения и деления, знания нумерации (разрядный состав чисел).

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с тремя свойствами умножения. Один их них – распределительный закон умножения относительно сложения. Его изучают в виде двух правил:

1. Умножение суммы на число

2. Умножение числа на сумму.

Первое правило дети изучают в 3 классе, а второе правило, обычно, изучается в 4 классе.

Эти правила являются ТО различных вычислительных приемов.

Для вывода 1 правила используют эмпирическое обобщение. Например, рассмотрим ситуацию:

Перед нами лежат два ряда квадратов, в каждом из которых по 3 розового цвета и по 4 желтого. Нужно ответить на вопрос: сколько всего квадратов перед нами?

 

                               

 

                                                                                                                            

Решить эту задачу можно двумя способами:

1. Можно сначала узнать сколько всего кругов в первом ряду (3+4), а затем эту сумму умножить на 2, т. к. два одинаковых ряда.

Получим: (3+4)*2= 7*2=14

 

2. Можно сначала узнать, сколько всего красных кругов (3*2), затем узнать, сколько всего синих кругов (4*2), а затем общее количество, т.е. нужно сложить.

Получим: (3*2)+(4*2)=6+8=14

Сравним эти записи:

(3+4)*2=3*2+4*2

Вывод: при умножении суммы на число, можно сначала каждое слагаемое умножить на это число, а результаты сложить.

При рассмотрении второго правила – умножение числа на сумму, можно использовать для вывода эмпирическое обобщение или можно провести аналогию.

(6+3)*4 и 4*(6+3). Делаем вывод о том, что в первом случаем сумму умножали на число, мы это правило уже знаем. Делаем предположение о том, что наши выражения похожи и мы можем использовать аналогичное правило для нахождения второго выражения. Затем находим значение второго выражения двумя способами:

4*(6+3)=(4*6)+(4*3)

4*9=36

Мы получили одинаковые значения выражений.

Вывод: при умножении числа на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить.

Рассмотрим страницы учебников, где встречается данные правила.

М3М, ч.2, с.13.

Первое правило по программе М.И. Моро изучают в 3 классе.

Моро в своей программе не дает конкретного правила. На этой странице представлено задание, где дети узнают, как можно умножить сумму на число. Автор учебника дает два способа.

1. Можно вычислить сумму и умножить ее на число.

2. Можно умножить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Далее автор предлагает интересное задание, где нужно решить задачи разными способами. Благодаря этому упражнению дети лучше усваивают данное правило.

На странице 42 можно увидеть второе правило «Как умножить число на сумму».

С. 42.

Моро говорит о том, что умножить число на сумму можно разными способами:

1. Вычислить сумму и умножить на нее число

2. Умножить число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Также на странице 13 можно увидеть правило «Как можно разделить сумму на число».

С. 13.

На этой странице дети также узнают, как разделить сумму на число. Для этого им представлены два способа:

1. Можно вычислить сумму и разделить ее на число.

2. Можно разделить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Далее дети решают задания, которые помогают лучше разобраться в данной теме.

М3И, ч.2, с.11.

По программе Н.Б. Истоминой распределительное свойство умножения изучают в 3 классе.

Далее дети изучают правило «Умножение суммы на число».

М3И, ч.2, с. 12.

В отличие от программы Моро, в программе Истоминой дана конкретная формулировка этого правила, которая заключена в рамку.

Второе правило «Умножение числа на сумму» также заключено в рамку и представлено на странице 18.

М3И, ч.2, с.18.

Также на странице 26 дети изучают правило «Деление суммы на число».

М3И, ч.2, с.26.

М3А, ч.1, с. 104.

По программе Аргинской распределительное свойство первое правило «Умножение суммы на число» изучают в 3 классе.

Аргинская дает данное правило в рамке, но перед этим дает задание, где нужно сравнить выражения каждой пары. Затем учитель знакомит с распределительным свойством умножения. Также даны задания на усвоение данного правила.

Также на странице 32 идет новая тема «Умножение многозначных чисел».

М3А, ч.1, с.32.

В этой теме даны упражнения, с помощью которых дети должны самостоятельно вывести правило «Умножение числа на сумму».

На странице 122 дано правило «Деление суммы на число».

М3А, ч.1, с. 122.

Автор также дает задание сравнить выражения. Затем предлагаются интересные задания, которые помогают лучше усвоить данное правило.

М3Ч, ч. 1, с.77.

По программе Чекина распределительное свойство начинают изучать в 3 классе.

Первое правило «Умножение суммы на число» можно увидеть на странице 77.

Чекин приводит конкретную формулировку правила, которая заключена в рамку. Также предложены интересные задания на закрепление данной темы.

Второе правило «Умножение числа на сумму» дети изучают на странице 16.

М3Ч, ч.2, с. 16.

Данное правило также заключено в рамку. Даны задания на закрепление данной темы.

И последнее правило «Деление суммы на число» представлено на странице 14.

М3Ч, ч.2, с.14.

Правило также заключено в рамку. Даны задания на усвоение данного правила.

Можно сделать вывод:

1. В программе М.И. Моро представлены все 3 правила, но, к сожалению, автор не дает конкретной формулировки правила. Она дает задания, где представлены два способа решения. В учебнике представлено много интересных упражнений с цветными рисунками, которые способствуют более эффективному усвоению данной темы.

2. По программе Н.Б. Истоминой распределительное свойство начинают изучать в 3 классе, как и во всех остальных программах. Также в отличие от Моро, Н.Б. Истомина дает все правила в виде конкретной и понятной формулировки. Но перед этим автор дает задание: сравнить несколько выражений. В учебнике также представлено большое количество интересных заданий.

3. По программе И.И. Аргинской дети изучают все три правила, которые даны в рамке. Но в отличие от учебников Моро и Истоминой, в учебнике И.И. Аргинской не так много цветных картинок. Зато Аргинская использует большое количество заданий на усвоение материала.

По программе А.Л. Чекина распределительное свойство умножения дети изучают в 3 классе

С какими вычислительными приемами знакомятся учащиеся в теме «Внетабличное умножение и деление». Какова их теоретическая основа. Сравните различные методические подходы к изучению данной темы, предложенные в различных учебниках математики для начальных классов.

Кроме табличных случаев умножения и деления учащихся знакомят с внетабличными случаями, т. е. такими, которые не входят в таблицу умножения и деления. Рассмотрим каким образом их изучают по программе М.И. Моро и др.:

М3М, ч. 2 с.5.

80:20=                                

80 = 20 *4           1 способ: т.о это связь между множитель и произведение и          прием умножения круглого числа на однозначное

80:20=4                                                      

определяем на сколько надо умножить 20 чтобы получилось 80 (на 4) следовательно, если произведение разделить на один множитель получим другой

 

Способ: Т.О.

1) Связь между делимым, делителем и частным (если частное умножить на  делитель, получим делимое); подбираем частное
2) Приём умножения круглого числа на однозначное .  

 

М3М, ч. 2 с.8.

       4 ∙ 23 =        

       4 ∙ 23= 23 ∙ 4

       23 ∙ 4 = 92

 

Т.О. 1) Переместительное свойство умножения;

    2) Приём умножения двузначного числа на однозначное.

 

5.Деление двухзначного числа на однозначное. один из самых сложных приемов!

М3М, ч.2 с.15.

 - Рассматривают 3 случая:

  А) 69:3 =

(60+9):3= 60:3 +9:3 = 20+3=23

Т.О. 1) Разрядный состав числа;

    2) Правило деления суммы на число

    3) Случаи деления круглого числа на однозначное;

    4) Табличные случаи деления;

    5) Сложение в пределах 100.

Это самый простой случай в данном приеме, так как действуем также, как при умножении двузначного числа на однозначное.

Б) 36:2=

(20+16): 2= 20:2+16:2=10+8=18

Если 36 заменить суммой разрядных слагаемых (30+6), то на 2 разделить будет 3д:2 сложно т.к. 30:2 дети делить не умеют. Поэтому подбираем удобные слагаемые, такие, чтобы каждое из них было удобно делить на 2.

М3М, ч. 2 с.18.

Т.О.

1) Правило взаимосвязи между делимым, делителем и частным (если частное умножить на делитель, то получим делимое)

87:29 = подбираем частное (берем 2,3…)

29 ∙ 2= 58, 58 меньше,чем 87 значит  2 не подходит

29 ∙ 3= 87, 87=87, т.е. 3 подходит.

С каждым из этих вычислительных приемов работают по плану:

1- Повторение теоретической основы приема (Т.О.) (1 урок);

2- Ознакомление с приёмом (1урок);

3- Формирование вычислительного умения (отрабатывают правильность, осознанность действий), поэтому используют задания с подробным объяснением и записью (1 урок);

4- Формирование вычислительного навыка. В данном случае результаты наизусть не учат, но добиваются автоматизма, быстроты, свёрнутости действий (3-4 урока).

К концу темы все приёмы должны быть усвоены на уровне навыка, поэтому на каждом уроке проводим математические диктанты, игры и т.д. Добиваемся правильности и быстроты вычислений.

 

М3И ч.2 с.11.

М3И ч.2 с.12 – 13.

М3И ч.2 с. 13 – 14.

М3И ч.2 с.18 – 19.

Данный прием, рассматривается совместно с темой распределительное свойство умножения.

М2И ч.2 с.26.

М3И ч.2 с.28 – 29.

М3И ч.2 с.36.

3 прием: Деление двузначного числа на двузначное

М3И ч.2 с.38-39.

В учебниках Истоминой представлено всего 3 приема на умножение и деление. Не во всех приемах даны правила. Заданий на закрепление данных приемов достаточно много. Остальные приёмы учитель сам должен объяснить детям.

М3Д ч.1 с.32.

М3Д ч.1 с.34.

М3Д ч.1 с.38.

М3Д ч.1 с.40.

М3Д ч.1 с.41.

 

 

М3Д ч.1 с.44.

М3Д ч.1 с.48.

М3Д ч.1 с.54.

М3Д ч.1 с.88.

М3Д ч.2 с.27.

М3Д ч.2 с.28.

М3Д ч.2 с.38.

М3Д ч.2 с.39.

В учебниках Дорофеева всего 3 приема. В каждом приеме дано правило. Заданий практически нет. Учитель должен остальные приемы объяснить сам и давать свои задания на закрепление материала.

М3П ч.1 с.86.

М3П ч.1 с.92.

М3П ч.2 с.1.

М3П ч.2 с.10.

М3П ч.2 с. 11.

 

В учебниках Петерсона 4 приема. Не на все приемы даны правила. Заданий практически нет, учитель сам должен объяснить правила, и дать задания на закрепление темы.

М3Ч ч.1 с.74.

М3Ч ч.1 с.77.

М3Ч ч.1 с. 79.

М3Ч ч.1 с. 81.

М3Ч ч.1 с. 82.

М3Ч ч.1 с.90.

М3Ч ч.2 с.7.

М3Ч ч.2 с. 8 – 9.

М3Ч ч.2 с. 15.

М3Ч ч.2 с.17.

М3Ч ч.2 с.43.

М3Ч ч.2 с. 44 – 45.

М3Ч ч.2 с. 46 – 47.

Какую подготовительную работу надо провести с учащимися перед введением приема деления двузначного числа на однозначное? В чем заключается сложность использования данного приема? Какие частные случаи деления двузначного числа на однозначное представлены в учебниках математики? Приведите рассуждения учащихся при нахождении значений следующих выражений: 48:4; 36:2; 70:2; 96:4.

Особенностью деления двузначного числа на однозначное состоит в том, что не всегда удобно раскладывать делимое на разрядные слагаемые. Бывают случаи, когда целесообразно разложить делимое на другие слагаемые, по которым удобнее выполнить деление. Приступая к делению двузначного числа на однозначное, следует повторить с учащимися правило деления суммы на число: «Нужно разделить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить». Детям предлагается найти значения выражений с устным объяснением разными способами.

 

М3М, ч. 2 стр.14.

М3М, ч. 2 стр.15.

Первый случай деления учащиеся усваивают быстро. Повторив правило деления суммы на число, учащиеся самостоятельно могут разделить, например, 69 на 3 и пояснить, как они число 69 разложили на разрядные слагаемые и выполнили деление суммы на число: 69: 3 = (60 + 9): 3 = 60: 3 + 9: 3 = 20 + 3 = 23.

Другие случаи следует изучать в следующей последовательности:

1) сначала повторить деление круглых десятков, когда они делятся без остатка (60:3; 40:2);

2) затем переходить к решению таких выражений: 70: 2; 90: 5; 72: 6; 48: 3; 96: 8.

Второй случай:  36:2=

(20+16): 2= 20:2+16:2=10+8=18

Если 36 заменить суммой разрядных слагаемых (30+6), то на 2 разделить будет сложно т.к. 30:2 дети делить не умеют. Поэтому подбираем удобные слагаемые, такие, чтобы каждое из них было удобно делить на 2.

В данном случае это 20 и 16, можно подобрать и другие слагаемые,

(например: 18 и 18, 24 и 12), но мы выбираем такой вариант удобных слагаемых, чтобы первое слагаемое было круглым числом, которое удобно делить на делитель и при его делении должно получиться тоже круглое число. А второе слагаемое – это оставшиеся единицы делимого.

Чтобы облегчить детям поиск этих удобных слагаемых, предлагаем взять делитель и приписать к нему 0 (в данном случае получим 20). Это – 1-ое удобное слагаемое, второе слагаемое – это оставшиеся единицы делимого (36-20=16)

Получаем: 36:2 = (20+16): 2= 20:2+16:2=10+8=18

3 случай: 72:2=                                       или                    90:5=

(60+12): 2= 60:2 +12:2=30+6=36;                            (80+10):2=50:5+40:5=10+8=18

В решении подобных выражений учащиеся раскладывают делимое на два слагаемых: первое слагаемое представляет собой круглые десятки (наибольшее число десятков делимого, которое делиться без остатка на делитель), а другое слагаемое определяется как остаток от делимого. Данный случай самый сложный, поэтому на него отводится несколько уроков.

М3М, ч. 2 стр.16.

Заданий на закрепление изученной темы в учебнике недостаточно → дает сам учитель.

 

М3И, ч.2 с.26-27.УМК «Гармония».

Вводится новая тема: «Деления суммы на число. Деление двузначного числа на однозначное число». Рассматриваются аналогичные как в Моро случаи деления, но в учебнике Н.Б. Истоминой больше творческих заданий.

С.28.

С.30.

С.31.

С.32.

С.33.

С.34.

М3Д, ч.1 стр.48.УМК «Школа 2100».

В данном учебнике на изучение темы: «Деление двузначного числа на однозначное» дается 1 урок. Учащимся предлагается найти значения выражений, подводящих к теме урока: 15: 5, 25: 5 и т.д. Найти значение выражения: 75: 5 учащиеся затрудняются. Приводятся рассуждения Дениса и Мишки, затем формулируется правило. Ниже приводятся задания на закрепление изученной темы, но их недостаточно → дает сам учитель.

С.28.

С.29.

С.30.

С.31.

С.32.

С.33.

С.34.

С.35.

С.36.

С.37.

С.38.

 

Рассуждения детей:

48: 4 = (40 + 8): 2 = 40: 4 + 8: 4 = 10 + 2 = 12

70: 2 = (60 + 10): 2 = 60: 2 + 10: 2 = 30 + 5 = 35

96: 4 = (80 + 16): 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

 

Практическое занятие

Тема: «Методика изучения приемов внетабличного умножения и деления.

Приемы деления с остатком».

1. Какие свойства арифметических действий лежат в основе устных приемов внетабличного умножения и деления. Найдите в различных учебниках математики страницы, на которых рассматриваются эти свойства, и сравните их между собой. Опишите методику работы с ними.

В основе вычислительных приемов внетабличного умножения и деления лежат правила (свойства) арифметических действий, а также знание табличного умножения и деления, знания нумерации (разрядный состав чисел).

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с тремя свойствами умножения. Один их них – распределительный закон умножения относительно сложения. Его изучают в виде двух правил:

1. Умножение суммы на число

2. Умножение числа на сумму.

Первое правило дети изучают в 3 классе, а второе правило, обычно, изучается в 4 классе.

Эти правила являются ТО различных вычислительных приемов.

Для вывода 1 правила используют эмпирическое обобщение. Например, рассмотрим ситуацию:

Перед нами лежат два ряда квадратов, в каждом из которых по 3 розового цвета и по 4 желтого. Нужно ответить на вопрос: сколько всего квадратов перед нами?

 

                               

 

                                                                                                                            

Решить эту задачу можно двумя способами:

1. Можно сначала узнать сколько всего кругов в первом ряду (3+4), а затем эту сумму умножить на 2, т. к. два одинаковых ряда.

Получим: (3+4)*2= 7*2=14

 

2. Можно сначала узнать, сколько всего красных кругов (3*2), затем узнать, сколько всего синих кругов (4*2), а затем общее количество, т.е. нужно сложить.

Получим: (3*2)+(4*2)=6+8=14

Сравним эти записи:

(3+4)*2=3*2+4*2

Вывод: при умножении суммы на число, можно сначала каждое слагаемое умножить на это число, а результаты сложить.

При рассмотрении второго правила – умножение числа на сумму, можно использовать для вывода эмпирическое обобщение или можно провести аналогию.

(6+3)*4 и 4*(6+3). Делаем вывод о том, что в первом случаем сумму умножали на число, мы это правило уже знаем. Делаем предположение о том, что наши выражения похожи и мы можем использовать аналогичное правило для нахождения второго выражения. Затем находим значение второго выражения двумя способами:

4*(6+3)=(4*6)+(4*3)

4*9=36

Мы получили одинаковые значения выражений.

Вывод: при умножении числа на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить.

Рассмотрим страницы учебников, где встречается данные правила.

М3М, ч.2, с.13.

Первое правило по программе М.И. Моро изучают в 3 классе.

Моро в своей программе не дает конкретного правила. На этой странице представлено задание, где дети узнают, как можно умножить сумму на число. Автор учебника дает два способа.

1. Можно вычислить сумму и умножить ее на число.

2. Можно умножить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Далее автор предлагает интересное задание, где нужно решить задачи разными способами. Благодаря этому упражнению дети лучше усваивают данное правило.

На странице 42 можно увидеть второе правило «Как умножить число на сумму».

С. 42.

Моро говорит о том, что умножить число на сумму можно разными способами:

1. Вычислить сумму и умножить на нее число

2. Умножить число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Также на странице 13 можно увидеть правило «Как можно разделить сумму на число».

С. 13.

На этой странице дети также узнают, как разделить сумму на число. Для этого им представлены два способа:

1. Можно вычислить сумму и разделить ее на число.

2. Можно разделить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Далее дети решают задания, которые помогают лучше разобраться в данной теме.

М3И, ч.2, с.11.

По программе Н.Б. Истоминой распределительное свойство умножения изучают в 3 классе.

Далее дети изучают правило «Умножение суммы на число».

М3И, ч.2, с. 12.

В отличие от программы Моро, в программе Истоминой дана конкретная формулировка этого правила, которая заключена в рамку.

Второе правило «Умножение числа на сумму» также заключено в рамку и представлено на странице 18.

М3И, ч.2, с.18.

Также на странице 26 дети изучают правило «Деление суммы на число».

М3И, ч.2, с.26.

М3А, ч.1, с. 104.

По программе Аргинской распределительное свойство первое правило «Умножение суммы на число» изучают в 3 классе.

Аргинская дает данное правило в рамке, но перед этим дает задание, где нужно сравнить выражения каждой пары. Затем учитель знакомит с распределительным свойством умножения. Также даны задания на усвоение данного правила.

Также на странице 32 идет новая тема «Умножение многозначных чисел».

М3А, ч.1, с.32.

В этой теме даны упражнения, с помощью которых дети должны самостоятельно вывести правило «Умножение числа на сумму».

На странице 122 дано правило «Деление суммы на число».

М3А, ч.1, с. 122.

Автор также дает задание сравнить выражения. Затем предлагаются интересные задания, которые помогают лучше усвоить данное правило.

М3Ч, ч. 1, с.77.

По программе Чекина распределительное свойство начинают изучать в 3 классе.

Первое правило «Умножение суммы на число» можно увидеть на странице 77.

Чекин приводит конкретную формулировку правила, которая заключена в рамку. Также предложены интересные задания на закрепление данной темы.

Второе правило «Умножение числа на сумму» дети изучают на странице 16.

М3Ч, ч.2, с. 16.

Данное правило также заключено в рамку. Даны задания на закрепление данной темы.

И последнее правило «Деление суммы на число» представлено на странице 14.

М3Ч, ч.2, с.14.

Правило также заключено в рамку. Даны задания на усвоение данного правила.

Можно сделать вывод:

1. В программе М.И. Моро представлены все 3 правила, но, к сожалению, автор не дает конкретной формулировки правила. Она дает задания, где представлены два способа решения. В учебнике представлено много интересных упражнений с цветными рисунками, которые способствуют более эффективному усвоению данной темы.

2. По программе Н.Б. Истоминой распределительное свойство начинают изучать в 3 классе, как и во всех остальных программах. Также в отличие от Моро, Н.Б. Истомина дает все правила в виде конкретной и понятной формулировки. Но перед этим автор дает задание: сравнить несколько выражений. В учебнике также представлено большое количество интересных заданий.

3. По программе И.И. Аргинской дети изучают все три правила, которые даны в рамке. Но в отличие от учебников Моро и Истоминой, в учебнике И.И. Аргинской не так много цветных картинок. Зато Аргинская использует большое количество заданий на усвоение материала.

По программе А.Л. Чекина распределительное свойство умножения дети изучают в 3 классе

С какими вычислительными приемами знакомятся учащиеся в теме «Внетабличное умножение и деление». Какова их теоретическая основа. Сравните различные методические подходы к изучению данной темы, предложенные в различных учебниках математики для начальных классов.

Кроме табличных случаев умножения и деления учащихся знакомят с внетабличными случаями, т. е. такими, которые не входят в таблицу умножения и деления. Рассмотрим каким образом их изучают по программе М.И. Моро и др.:

Умножение и деление круглого числа на однозначное.