Принципи побудови економетричних моделей. Парна та множинна лінійна регресія.

Мультиколінеарність.

 

3.1. Моделі з порушенням передумов використання МНК.

3.2. Мультиколінеарність, її суть та наслідки.

3.3. Тестування наявності мультиколінеарності в моделі. Алгоритм Фаррара-Глобера.

3.4. Методи усунення мультиколінеарності.

 

3.2. Мультиколінеарність, її суть та наслідки.

Суть мультиколінеарності

(1)

                (2)

       

 

Позначимо:

(3)

(4)

,

(5)

Наслідки мультиколінеарності

1) Великі дисперсії та стандартні похибки оцінок.

2) Малі t – статистики коефіцієнтів (t_ex ).

3) Велика чутливість оцінок коефіцієнтів регресії до зміни вихідних даних.

4) Затрудняється визначення вкладу кожного з регресорів в дисперсію регресанта.

5) Збільшується можливість отримання оцінок коефіцієнтів регресії невірним знаком.

 

3.3. Тестування наявності мультиколінеарності в моделі. Алгоритм Фаррара-Глобера.

(1)

Ознаки наявності мультиколінеарності

1) високий коефіцієнт детермінації , але деякі коефіцієнти регресії статистично незначимі.

2) .

(2)

3)  - присутня повна мультиколінеарність.

 - мультиколінеарність відсутня.

 - присутня мультиколінеарність

4)  високий, а оцінка  мала.

5) .

6) при введені нового регресора істотно змінюються параметри моделі.

 

 будується для моделі

 

Алгоритм Фаррара-Глобера

Нехай відомою є вибірка

№	Y	X1	X2	…	Xn
1	y1	x11	X21		xn1
2	y2	x12	X22		xn2
…	…	…	…		…
m	ym	x1m	X2m		xnm

1) для даної вибірки проводиться стандартизація

(3)

 - оцінка дисперсії змінної .

2) будується кореляційна матриця

, (4)

- матриця коефіцієнтів, визначених у п. 1.

 

3) Визначається критерій

  (5)

,

n - кількість регресорів (змінних x)

 - мультикорінеарність у моделі (1) має місце.

4) Обчислюється матриця

(6)

5) Обчислюється критерій Фішера

(7)

- елемент матриці .

.

 - то  мультиколінеарна з іншими змінними.

 

Част. Коеф. Детермінації   (8)

6) обчислюється частинний коефіцієнт кореляції

      (9)

7) обчислюється t – критерій Стьюдента для ,

     (10)

, то між ,  існує мультиколінеарність.

 

3.4. Методи усунення мультиколінеарності.

 

1) метод виключення змінних з моделі.

2) Метод отримання додаткових даних або нової вибірки.

3) Зміна специфікації моделі.

4) Використання попередньої інформації про деякі параметри моделі.

5) Метод перетворення змінних.

.

          (11)

6) метод гребеневої регресії

Замість оператора

Використовується 

де

Коваріаційна матриця

Лекція 4. Гетороскедастичність залишків.

Моделі з порушенням передумов використання МНК: гетероскедастичність залишків.

Гетороскедастичність, її суть та наслідки. Проблеми оцінювання моделей з гетероскедастичними залишками.

Тестування наявності гетероскедастичності залишків.

Методи оцінювання параметрів моделі з гетероскедастичними залишками.

Суть гетероскедастичності

Рис.1. Залежність споживання від доходу:

С – споживання, І – дохід.

Рис.1 а – модель з гомоскедастичними залишками

Рис.1 б – модель з гетероскедастичними залишками

Графічний аналіз залишків

Рис.2.

Рис.2 а – модель з гомоскедастичними залишками;

Рис.2 б-д модель з гетероскедастичними залишками.

Наприклад

x	U		X впорядковане	Rg(x)	U впорядковане	Rg(u)
X1=10	U1=5		X4=2	1	U3=4	1
X2=4	U2=6		X2=4	2	U1=5	2
X3=5	U3=4		X3=5	3	U2=6	3
X4=2	U4=8		X1=10	4	U4=8	4

d₁= Rg(x₁)- Rg(u₁)=4-2=2

d₂= Rg(x₂)- Rg(u₂)=2-3=-1

d₃= Rg(x₃)- Rg(u₃)=3-1=2

d₄= Rg(x₄)- Rg(u₄)=1-4=-3

Перевіряємо гіпотезу

               (2)

 то  відхиляється і гетероскедаст. присутня

 то  приймається і гетероскедаст. відсутня.

Тест Парка

      (3)

(4)

Алгоритм тесту Парка

Будуємо модель регресії

2.  Знаходимо залишки моделі та логарифми від них:

3. Для кожного з х_k будуємо регресійну модель

    (5)

4. Перевіряємо гіпотезу про статистичну значимість коефіцієнта моделі (5) на основі t – статистики:

гетероскедастичність присутня

гетероскедастичність відсутня

Тест Глейзера

Будуємо модель регресії

2. Знаходимо залишки моделі та модулі від них:

3. Для кожного з х_k будуємо регресійну модель

       (6)

4. Перевіряємо гіпотезу про статистичну значимість коефіцієнта моделі (5) на основі t – статистики (див. тест Парка).

Тест Гольдфельда-Квандта

      (7)

1. Впорядковуємо вибірку по зростанню величини х_і.

Парна регресія:

m=30, k=11; m =60, k =22     

Якщо

 То

Етапи ЗМНК

1.  ділимо на наперед відому дисперсію .

2. Для значень  за МНК будується модель лінійної регресії (12) без коефіцієнта  (тобто без стовпчика одиниць в матриці ) з гарантованими якостями оцінок.

Модель з невідомими дисперсіями відхилень

1. Дисперсії  пропорційні , тобто .

       

або                                                                      

         (13)

Множинна регресія: замість   використовують  .

2.  Дисперсії  пропорційні , тобто .

   

або                                                              

     (1 4)

 

Суть

, 

  (1)

         (2)

Автокореляція додатна:

Автокореляція від’ємна:

Автокореляція виникає коли:  

 але .

Наслідки автокореляції

1. оцінки коефіцієнтів регресії  незміщені, але й неефективні.

2. Дисперсії оцінок коефіцієнтів регресії  зміщені та занижені.

3. Оцінка дисперсії залишків  є зміщеною.

Метод Дарбіна-Уотсона

              (3)

, (4)

1.  тобто  і автокореляція відсутня.

2.  тобто  існує додатня автокореляція.

3.  то бто існує від’ємна автокореляція.

Алгоритм Дарбіна-Уотсона

Будуємо емпіричну модель

І визначаємо .

2. Обчислюємо за формулою (3) статистику .

3. За таблицею критичних точок Дарбіна-Уотсона визначаємо:

Нижня границя ,

Верхня границя ,

- розмір вибірки, - рівень статистичної значимості;

4. Висновки:

1) - існує додатня автокореляція;

2)  - висновок невідомий;

3)  - автокореляція відсутня;

4)  - висн. невідомий;

5)  - існує від’ємна автокореляція;

Критерій Фон-Неймана

Будуємо емпіричну модель

.

2. Визначаємо залишки .

Обчислюємо статистику

           (6)

Принципи побудови економетричних моделей. Парна та множинна лінійна регресія.

 

2.1. Передумови використання МНК для лінійних економічних систем.

2.2. Оператор оцінювання МНК.

2.3. Властивості оцінок параметрів, визначених МНК.

2.4. Побудова парної лінійної регресійної моделі.

2.5. Множинна лінійна регресія.

2.6. Перевірка достовірності моделі та оцінок її параметрів.

2.7. Економічний аналіз побудованої моделі: середня ефективність впливу чинників, гранична ефективність та коефіцієнти еластичності.

2.8. Прогнозування на основі лінійних економетричнох моделей: точковий та інтервальний прогноз.

 

2.5. Множинна лінійна регресія.

 

№	Y	X1	X2	…	Xn
1	y1	x11	X21		xn1
2	y2	x12	X22		xn2
…	…	…	…		…
m	ym	x1m	X2m		xnm

 

             (1)

 

(1’)

 

      (2)

 

             (3)

 

(4)

                                                                             (5)

2.6. Перевірка достовірності моделей парної і множинної регресії та оцінок її параметрів.

 

           (1)

 

             (2)

Аналіз моделі.

                         (3)

Дисперсія залишків моделі (оцінка дисперсії залишків моделі)

               (4)

 

Коефіцієнт детермінації

(5)

 

Скорегований коефіцієнт детермінації (з врахуванням степеня свободи)

 

Незміщена дисперсія (виправлена оцінка дисперсії)

 

Середньоквадратичні відхилення регресора та регресанта

Коефіцієнт кореляції

(6)

 

Стандартні помилки (похибки) коефіцієнтів регресії парної регресійної моделі

Стандартні помилки (похибки) коефіцієнтів регресії множинної регресійної моделі

Перевірка гіпотез

Гіпотеза про адекватність (статистичну значимість) моделі та коеф.

    Н₀ відкидається

 

Гіпотеза про статистичну значимість коефіцієнтів моделі

        Н₀ відкидається

 

Гіпотеза про значення коефіцієнтів моделі

        Н₀ відкидається

Гіпотези про статистичну значимість коефіцієнтів кореляції

        Н₀ відкидається

 

        Н₀ відкидається

 

Інтервали надійності для коефіцієнтів регресії

2.7. Економічний аналіз побудованої моделі: середня ефективність впливу чинників, гранична ефективність та коефіцієнти еластичності.

 

Коефіцієнт еластичності парної регресійної моделі

 

Коефіцієнт середньої ефективності впливу х на у   

 

Коефіцієнт граничної ефективності

 

Частинний коефіцієнт еластичності множинної регресійної моделі

 

Частинний коефіцієнт середньої еластичності

 

Сумарний коефіцієнт еластичності

 

Частинний коефіцієнт середньої ефективності впливу х_і на у   

 

Частинний коефіцієнт граничної ефективності

2.8. Прогнозування на основі лінійних економетричнох моделей: точковий та інтервальний прогноз.

 

Точкове прогнозне значення моделі в точці

 

Інтервальний прогноз

 

Дисперсія точкового прогнозного значення парної регресійної моделі

Дисперсія точкового прогнозного значення множинної регресійної моделі

 

Дисперсія середнього прогнозного значення парної регресійної моделі

Лекція 3.

Мультиколінеарність.

 

3.1. Моделі з порушенням передумов використання МНК.

3.2. Мультиколінеарність, її суть та наслідки.

3.3. Тестування наявності мультиколінеарності в моделі. Алгоритм Фаррара-Глобера.

3.4. Методи усунення мультиколінеарності.

 

3.2. Мультиколінеарність, її суть та наслідки.

Суть мультиколінеарності

(1)

                (2)

       

 

Позначимо:

(3)

(4)

,

(5)