Оцінки коефіцієнтів регресії за мнк  є неефективними.

Дисперсії оцінок коефіцієнтів регресії розраховуються із зміщенням.

Гіпотези, які перевіряються на основі Т та F статистик, а також інтервальні оцінки будуть ненадійними.

Тестування наявності гетероскедастичності залишків.

Графічний аналіз залишків

Рис.2.

Рис.2 а – модель з гомоскедастичними залишками;

Рис.2 б-д модель з гетероскедастичними залишками.

Тест рангової кореляції Спірмена.

Досліджується кореляційний зв’язок  між вв Х_і та U².

Для моделі множинної регресії цей тест проводять для кожного регресора окремо.

1. Впорядковуємо значення регресора Х_і та залишків  по зростанню.

2. Обчислюємо коефіцієнт рангової кореляції:

             (1)

 - розмір вибірки.

Наприклад

x	U		X впорядковане	Rg(x)	U впорядковане	Rg(u)
X1=10	U1=5		X4=2	1	U3=4	1
X2=4	U2=6		X2=4	2	U1=5	2
X3=5	U3=4		X3=5	3	U2=6	3
X4=2	U4=8		X1=10	4	U4=8	4

d₁= Rg(x₁)- Rg(u₁)=4-2=2

d₂= Rg(x₂)- Rg(u₂)=2-3=-1

d₃= Rg(x₃)- Rg(u₃)=3-1=2

d₄= Rg(x₄)- Rg(u₄)=1-4=-3

Перевіряємо гіпотезу

               (2)

 то  відхиляється і гетероскедаст. присутня

 то  приймається і гетероскедаст. відсутня.

Тест Парка

      (3)

(4)

Алгоритм тесту Парка

Будуємо модель регресії

2.  Знаходимо залишки моделі та логарифми від них:

3. Для кожного з х_k будуємо регресійну модель

    (5)

4. Перевіряємо гіпотезу про статистичну значимість коефіцієнта моделі (5) на основі t – статистики:

гетероскедастичність присутня

гетероскедастичність відсутня

Тест Глейзера

Будуємо модель регресії

2. Знаходимо залишки моделі та модулі від них:

3. Для кожного з х_k будуємо регресійну модель

       (6)

4. Перевіряємо гіпотезу про статистичну значимість коефіцієнта моделі (5) на основі t – статистики (див. тест Парка).

Тест Гольдфельда-Квандта

      (7)

1. Впорядковуємо вибірку по зростанню величини х_і.

Впорядкована вибірка розбивається на 3 частини розміром

k, m-2k, k відповідно.     k>n.

3. Для 1-ї та 3-ї підвиборок будуються регресійні моделі та знаходяться оцінки дисперсій залишків:

(8)

4.

        (9)

 ­ гіпотеза відкидається, тобто гетероскедастичність присутня;

 ­ гіпотеза прийма ється, тобто гетероскедастичність відсутня;

Парна регресія:

m=30, k=11; m =60, k =22     

Якщо

 То

Методи оцінювання параметрів моделі з гетероскедастичними залишками.

Метод зважених найменших квадратів при відомих

       (10)

          (11)

                    

         (1 2)

Етапи ЗМНК

1.  ділимо на наперед відому дисперсію .

2. Для значень  за МНК будується модель лінійної регресії (12) без коефіцієнта  (тобто без стовпчика одиниць в матриці ) з гарантованими якостями оцінок.

Модель з невідомими дисперсіями відхилень

1. Дисперсії  пропорційні , тобто .

       

або                                                                      

         (13)

Множинна регресія: замість   використовують  .

2.  Дисперсії  пропорційні , тобто .

   

або                                                              

     (1 4)

 

Лекція 5. Автокореляція залишків.

Моделі з порушенням передумов використання МНК: автокореляція залишків.

Суть та наслідки Автокореляції залишк s в.