Методика расчета электрической цепи постоянного тока на основе законов Кирхгофа

 

                 

Дано: Е₁= 40 В, Е₂ = 60 В, R₁ = 18 Ом,

           R₂ = 36 Ом, R₃ = 16 Ом, R₄ = 24 Ом,

           R₅ = 40 Ом, R₆ = 34 Ом, r₀₁ = 2 Ом, r₀₂ = 4 Ом.

 

Для данной электрической цепи выполнить следующее:

 1) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод узловых и контурных уравнений;

 2) составить баланс мощностей для заданной схемы.

 

1) Составляем систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

При расчете данным методом произвольно задаем в ветвях направление токов I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅.

 

Составляем систему уравнений, применяя законы Кирхгофа. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов).

 

В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (m = 5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с n узлами можно составить (n – 1) независимых уравнений. В расчетной цепи три узла (А, В, С), значит число уравнений: n – 1 = 3 – 1 = 2. Составляем два уравнения для любых двух узлов, например, для узлов В и С:

 

узел В: I ₁ + I ₂ = I ₄,

узел С: I ₃ +I ₅ = I ₂.

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уравнения уже представлены. Три недостающих составляем для линейно-независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

 

Контур АДСВА – обход по часовой стрелке:

Е2 – Е1 = I2(R2 + r02) – I1(R1 + r01) + I3(R3 + R6).

 

Контур АВА'А – обход по часовой стрелке:

E1 = I1(R1 + r01) + I4R5.

Контур А'СВА' – обход против часовой стрелки:

Е2 = I2(R2 + r02) + I4 ∙R4 + I5∙R5.

 

ЭДС в контуре берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает, то со знаком «–». Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком «+», если направление тока в нем совпадает с обходом контура, если не совпадает, то со знаком «–».

 

Получили систему из пяти уравнений с пятью неизвестными:

I₄ = I₁ + I₂

I₂ = I₃ + I₅

E₂ – E₁ = I₂(R₂ +r₀₂) + I₃(R₃ + R₆) – I₁(R₁ + r₀₁),

E₁ = I₁(R₁ + r₀₁) + I₄R₄,

E₂ = I₂(R₂ + r₀₂) + I₄R₄ + I₅R₅

 

Решив систему уравнений, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

 

Подставив значения, получим систему уравнений:

I₁ + I₂ – I₄= 0

I₃ + I₅ – I₂ = 0

20 = 40I₂ + 50I₃ – 20I₁,

40 = 20I₁ + 24I₄,

60 = 40I₂ + 24I₄ + 40I₅

 

На основе данной системы уравнений составляем матрицу:

x 1				x 2			x 3		x 4		x 5	b
1				1			0		–1		0	0
0				–1			1		0		1	0
–20				40			50		0		0	20
20				0			0		24		0	40
0				40			0		24		40	60

 

Данную матрицу можно решить различными способами – методом Крамера или методом Гаусса.

В результате решения матрицы получаются следующие решения:

при x1 = 0,6243 = I₁, при x2 = 0,5221 = I₂, при x3 = 0,2320 = I₃, при x4 = 1,1464 = I₄, при x5 = 0,2901 = I₅.

 

Если при решении системы ток получается со знаком «–», значит его действительное направление обратно тому направлению, которым изначально задались.

2) Составляем баланс мощностей для заданной схемы. Источники E₁ и Е₂ вырабатывают электрическую энергию (работают в режиме генератора), так как направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

E₁∙I₁ + E₂∙I₂ = I₁²(R₁ + r₀₁) + I₂²(R₂ + r₀₂) + I₃²(R₃ + R₆) + I₄²∙R₄ + I₅²∙R₅.

Подставляем числовые значения и вычисляем:

40∙0,624 + 60∙0,522 = 0,624²∙(18 + 2) + 0,522²∙(36 + 4) + 0,232²(16 + 34) + + 1,146²∙24 + 0,290²∙40;

56,280 Вт = 56,262 Вт.

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей сошелся.

 

Приложение 3