Квантовый гармонический осциллятор

В одномерном случае:

(51.17)

  Поэтому стационарное уравнение Шрёдингера для квантового гармонического осциллятора принимает вид:

, (51.18)

где Е – полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (51.17) имеет конечные однозначные и непрерывные решения при значениях параметра Е, равных:

ħ ω, (n= 0,1,2,….)

(51.19)

 Однако следует помнить, что в квантовой механике полная энергия не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий E_k и U.

Уровни энергии квантового гармонического осциллятора являются эквидистантными, т.е. отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние, а имен­но расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ћ w _0.

Из (51.19) видно, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т.е. квантуется.

Наименьшее возможное значение энергии равно:

ħ ω/2, (n= 1)

(15.20)

 Значение энергии, рассчитанное по формуле (15.20) называется нулевой энергией.

Существование нулевой энергии вытекает из принципа неопределенности.

Классическое выражение для полной энергии гармонического осциллятора имеет вид:

(15.21)

У квантового осциллятора одновременно не могут обращаться в нуль p и   x, т. е. энергия такого осциллятора не может принимать нулевого значения.

На рисунке 51.3 дана схема энергетических уровней   квантового гармонического осциллятора. Для наглядности они вписаны в кривую потенциальной энергии, т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Рис. 51. 3. Схема энергетических уровней квантового гармонического осциллятора

 

Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы.

В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».

 

Вопросы для повторения

1. Что определяет квадрат модуля волновой функции?
2. Почему квантовая физика является статистической теорией?
3. В чем отличие понимания принципа причинности в классической и квантовой механике?
4. Какова наименьшая энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»?
5. Во сколько раз больше энергия частицы, находящейся в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» в состоянии с n=2 по сравнению с состоянием n=1?
6. Какими свойствами микрочастиц обусловлен туннельный эффект?
7. В чем отличие поведения классической и квантовой частиц с энергией Е<U при их падении на прямоугольный потенциальный барьер прямоугольной формы конечной ширины?