Институт математики, физики и информационных технологий

Институт математики, физики и информационных технологий

Кафедра «Общая и теоретическая физика»

 

Потемкина С.Н.

 

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

3^й семестр

Модуль 6

 

 

Лекция 10

Уравнение Шредингера. Движение частицы в потенциальной яме

 

 

2021

 Вопросы

Волновая функция. Уравнение Шрёдингера

Прохождение частиц через потенциальный барьер

Квантование энергии.

Движение частицы в одномерной потенциальной яме.

Квантовые числа.

Квантовый гармонический осциллятор

7.

Волновая функция

 

С 1900 по 1920 г - создание квантовой механики.

Её создание связано с:

 1) формулировкой М. Планком квантовой гипотезы в 1900 г;

 2) работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

На этом этапе возникли новые принципиальные проблемы, например, проблема физической природы волн де Бройля.

Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц.

Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны.

А согласно фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины.

Т.е. число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

Дифракционная картина для микрочастиц также характеризуется неодинаковым распределением потока микрочастиц по разным направлениям.

Наличие max в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля.

А интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц.

Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статической (вероятностной) закономерности.

Но волны де Бройля нельзя истолковывать как волны вероятности, т.к. тогда вероятность обнаружения частиц в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну.

Реальная плоская волна, распространяющаяся в положительном направлении оси X, описывается уравнением:

.

(48.1)

Но , а ,

Тогда:

,

(48.2)

или в комплексной форме:

,

(48.3)

(48.3) -уравнение волны де Бройля для свободной частицы,

 где ψ – волновая или пси-функция.

Уравнение Шрёдингера

 

В 1926 г. развивая идеи де Бройля о волновых свойствах вещества, Шрёдингер получил свое уравнение.

Оно позволяет найти волновые функции частиц, движущихся в различных силовых полях.

,

(49.1)

где m - масса частицы,

i - мнимая единица,

U - потенциальная энергия,

 Δ - оператор Лапласа.

Результат действия оператора Лапласа на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по соответствующим координатам:

.

(49.2)

 

Из (49.1) следует, что вид волновой функции Ψ(x, y, z, t) определяется функцией U, т.е. характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шредингера является основным уравнением релятивистской механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Шредингер установил свое соотношение, исходя из оптико-механической аналогии.

Для одномерного случая уравнение Шредингера имеет вид:

.

(49.3)

Это уравнение (49.3) совпадает c уравнением (48.1), если U =0.

Если же частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то энергия и импульс связаны соотношением:

(49.4)

 Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид:

.

(49.5)

Для стационарного силового поля (постоянного во времени)  не зависит от t, тогда:

,

(49.6)

где E – полная энергия частицы.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

.

(49.7)

Сократив на общий множитель exp[-i(E/ħ)t], придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию φ:

.

(49.8)

Уравнение (49.8) называется – уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Это уравнение часто записывают в виде (49.9):

.

(49.9)

В случае стационарного силового поля волновая функция имеет вид (49.6), и тогда:

,

(49.10)

плотность вероятности равна  и, следовательно, от времени не зависит.

Квантование энергии

 

1. Уравнение Шредингера позволяет найти волновую функцию данного состояния и определить вероятность нахождения частицы в различных точках данного пространства.

Квантовые числа

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шрёдингера:

(51.14)

 где U - потенциальная энергия, удовлетворяют три квантовых числа.

1) Главное квантовое число n определяет номер энергетического уровни электрона в атоме и может принимать значения: n = 1, 2, 3,...

2) Из уравнения Шредингера следует - момент импульса электрона квантуется:

,

(51.15)

где l - орбитальное квантовое число, принимающее при заданном n значения:

  l = 0,1,2,..., (n -1), т.е. всего n значений.

Вопросы для повторения

1. Что определяет квадрат модуля волновой функции?
2. Почему квантовая физика является статистической теорией?
3. В чем отличие понимания принципа причинности в классической и квантовой механике?
4. Какова наименьшая энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»?
5. Во сколько раз больше энергия частицы, находящейся в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» в состоянии с n=2 по сравнению с состоянием n=1?
6. Какими свойствами микрочастиц обусловлен туннельный эффект?
7. В чем отличие поведения классической и квантовой частиц с энергией Е<U при их падении на прямоугольный потенциальный барьер прямоугольной формы конечной ширины?

 

Институт математики, физики и информационных технологий