Математическое описание объекта управления

 

Данные кривой разгона приведены в таблице 3.1.

 

Таблица 3.1 - Исходные данные при А = 0,2 мА ХРО

t, c	0,0	67,5	135,0	180,0	270,0	360,0	405,0	450,0	495,0	540,0
∆T,°C	0,0	0,0	1,0	2,0	4,0	5,5	6,0	6,4	6,7	6,8

 

Построим график возмущающего воздействия (рисунок 3.1) и кривой разгона объекта (рисунок 3.2).

Находим единичную ∆T° (t) и нормированную ∆T^н (t) переходные функции

 

∆T° (t) = ∆T (t) /А, (3.1)

∆T^н (t) = ∆T° (t) /∆T° (T_у), (3.2)

 

где А - скачкообразное возмущающее воздействие, при котором снята переходная характеристика;

∆T° (T_у) - установившееся значение переходной характеристики.

Результаты расчетов сводим в таблицу 3.2.

 

Таблица 3.2 - Ординаты переходных функций

t, c	0	67,5	135,00	180,00	270,00	360,00	405,00	450,00	495,00	540,00
DТ (t),°C	0	0,0	1,00	2,00	4,00	5,50	6,00	6,40	6,70	6,80
DТ° (t),°C	0	0,0	5,00	10,00	20,00	27,50	30,00	32,00	33,50	34,25
DТ^н (t)	0	0,0	0,15	0,29	0,58	0,80	0,88	0,93	0,98	1,00

 

По данным таблицы 3.2 построены единичная и нормированная переходные характеристики (рисунок 3.3).

Определяем динамические характеристики объекта при аппроксимации его последовательным соединением апериодического звена и звена запаздывания.

 

. (3.3)

 

Находим величину коэффициента усиления объекта К_об

 

К_об =∆T° (t_y), (3.4)

К_об = 34,25°С/мА. (3.5)

 

По нормированной переходной характеристике (рисунок 3.3) определим время t_A и t_Б для DТ^н (t) = 0,1 и DТ^н (t) = 0,7 соответственно

_A = 120 - 67,5 = 52,5 с, t_Б = 315 - 67,5 = 247,5 с.

 

Теперь определим дополнительное запаздывание по формуле

 

, (3.6)

 

Находим общее запаздывание по формуле

 

τ_об = τ+τ_д, (3.7)

τ_об = 67,5+33,79=101,29 с.

 

Постоянная времени находится по формуле

 

Т_об = , (3.8)

.

 

Таким образом, подставив значения в формулу 3.3 передаточная функция объекта будет иметь вид

 

.

 

Для определения точности аппроксимации экспериментальной переходной функции решением дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом рассчитываем ординаты аппроксимирующей кривой

 

 (3.9)

 

Для нахождения среднеквадратической ошибки аппроксимации вычислим отношение

_а1 = { [ΔT^н (t) - ΔТ^н_а1 (t)] /ΔT^н (T_y) }². (3.10)

 

Результаты расчетов приведены в таблице 3.3, а аппроксимирующая кривая показана на рисунке 3.5.

 

Таблица 3.3 - Ординаты переходной функции.

t,c	0	67,5	135,00	180,00	270,00	360,00	405,00	450,00	495,00	540,00
DТ^н (t)	0	0,0	0,15	0,29	0,58	0,80	0,88	0,93	0,98	1,00
DТ^нап1 (t)	0	0,0	0,17	0,36	0,61	0,77	0,82	0,86	0,89	0,92
da1·10^-3	0	0,0	0,07	4,23	0,78	1,37	3,36	5,63	7,71	7,23

 

Рассчитаем среднеквадратичную ошибку аппроксимации по формуле

 

, (3.11) δ = 5,5%

 

Так как ошибка аппроксимации больше допустимого значения 3 %, осуществляем аппроксимацию объекта последовательным соединением двух апериодических звеньев и звена запаздывания (решением дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом). Передаточная функция будет иметь вид

, (3.12)

 

где Т₁ и Т₂ - постоянные времени объекта.

Находим относительное время по формуле

 

, (3.13), .

 

По графику [10, рисунок 6.2] найдем значения T^*₁ и T^*₂ и определим действительные значения постоянных времени (T_1, T₂)

 

Т^*₁ = 0,32,Т^*₂ = 0,48.

 

Следовательно

 

Т₁ = Т^*₁·t₇, (3.14), Т₂ = Т^*₂·t₇. (3.15)

 

Подставив значения получаем

 

Т₁ = 0,32·247,5 = 79,2,Т₂ = 0,48·247,5 = 118,8.

 

Таким образом, передаточная функция объекта будет иметь вид

 

. (3.16)

 

Найдем координаты аппроксимирующей кривой по формуле

 

 (3.17)

 

Для нахождения среднеквадратической ошибки аппроксимации вычислим отношение

_а2 = { [ΔT^н (t) - ΔТ^н_а2 (t)] /ΔT^н (T_y) }². (3.18)

 

Результаты расчетов приведены в таблице 3.4, а аппроксимирующая кривая показана на рисунке 3.6.

 

Таблица 3.4 - Ординаты переходной функции

t,c	0	67,5	135,00	180,00	270,00	36,00	450,00	495,00	540,00
DТ^н (t)	0	0,0	0,15	0,29	0,58	0,80	0,93	0,98	1,00
DТ^нап2 (t)	0	0,0	0,15	0,32	0,61	0,79	0,89	0,93	0,95
da2·10^-3	0	0,0	0,05	0,73	0,63	0,08	1,44	2,60	2,60

 

Рассчитаем среднеквадратичную ошибку аппроксимации по формуле

 

. (3.19), δ = 2,94 %.

 

Так как погрешность аппроксимация меньше 3%, окончательно принимаем передаточную функцию объекта в виде

 

. (3.20)