Тренажер 2. Задачи к разделу «Вектора и метод координат на плоскости»

1. Задайте произвольные неколлинеарные три вектора Найти результирующий вектор

2. Задайте произвольные коллинеарные три вектора  Найти результирующий вектор

3. Дан параллелограмм АВСD. Вектор  обозначим за , а вектор  за  На стороне ВС взята точка К, так что ВК: КС = 2: 1, точка М – середина С. Выразить вектора  и .

4. Дан параллелограмм АВСD. Вектор  обозначим за , а вектор  за , точка N – середина  Точки K, P и M делят сторону ВС на четыре равные части. Выразить вектора  и .

5. Упростить выражение и найти результирующий вектор   

   а)

    б)

     в)

     г)

 

6. В параллелограмме АВСD найти результирующий вектор    

7.   В параллелограмме АВСD точка M – середина DC, точки T и P делят сторону AD на три  равные части. Выразить вектора , ,  и  через вектора

8.   Даны координаты точек А (3, 8) и В (1, -2). Найти координаты точки М - середины отрезка АВ и длину отрезка АМ.

9. Дан отрезок АВ. Заданы координаты точек А (2, 9) и М (1, 3). М - середина АВ. Найти координаты точки В.

10.  Даны координаты вершин треугольника АВС: А (8, 2), В (2, 6) и С (-4,4). Найти длину медианы СМ.

11.  Определить вид треугольника АВС (равносторонний, равнобедренный, разносторонний или прямоугольный), если заданы координаты вершин треугольника А (1, 1), В (5, 6) и С (9, 1).

12.  Даны точки А (4, 1), В (3,5) и С (- 1,4). Доказать, что треугольник прямоугольный.

13.  Даны точки А (4, -6) и В (1, 2). Найти координаты вектора , длину вектора и разложение его по единичным векторам.

14.  Заданы вектора с координатами и . Найти координаты и длину результирующего вектора  

15.    Даны четыре вектора  Выяснить какие из этих векторов перпендикулярные, какие - сонаправленные, какие – противоположенные.

16.  Найти косинус угла между векторами  и

17.   Даны два вектора  и . Определить вид угла между векторами (тупой, острый или прямой)

18. Найти скалярное произведение двух векторов, если  между векторами равен 60 .

19.  Вектора перпендикулярны. Длина вектора  равна 1, а длины векторов и  равны 2. Угол между векторами и  равен 60 Найти величину скалярного произведения +

20.  В квадрате АВСD сторона равна 4. Найти скалярные произведения векторов  .

21.  В ромбе АВСD сторона равна 5, острый угол В равен 60 . Найти скалярные произведения векторов  .

22.  При каких  вектора  и  коллинеарны?

23.   При каких  вектора  и  будут перпендикулярны?

24.  При каких длина вектор будет равна 5?

25.  Даны четыре точки А (-1, 2), В (2, 5), С (0, -4) и (3, 2). Составить уравнения прямых АВ и С  и найти координаты их точки пересечения.

26.  Дана прямая Найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат.

27.   Окружность с центром в точке О (3,4) проходит через точку А (6,5). Составить уравнение окружности.

28.  В окружности АВ – диаметр. А (2, -2) и В (-8, 6). Составить уравнение окружности.

29.  Дано уравнение прямой . Составить уравнение любой прямой, параллельной данной прямой и прямой, перпендикулярной к ней.

30.  Выяснить сколько общих точек имеют окружность  и прямая .

31. Найти точки пересечения окружности .

 

Часть 2. Стереометрия

            Раздел 1. Геометрические тела

Тема 1.1. Призма

1). Классификаци я

Призма

                                                   

Прямая призма Боковое ребро перпендикулярно к основанию. Боковые грани – прямоугольники.

Наклонная призма Боковое ребро наклонено к основанию. Боковые грани - параллелограммы

Прямоугольный параллелепипед В основании – прямоугольник.

Правильная призма В основании – правильный многоугольник

Прямой параллелепипед В основании – параллелограмм.

Куб Все грани - равные квадраты

Правильная треугольная призма В основании – равносторонний треугольник  треугольник

Правильная четырехугольная призма В основании – квадрат

Правильная шестиугольная призма В основании – правильный шестиугольник

 

 

2). Основные элементы призмы, понятия и обозначения

                                                             

                                                

                                                    

                                                                      

                                                                      

                            B                            C    

    A                                                           

               E                   D                     

                                                                           

1.  высота призмы (в прямой призме совпадает с боковым ребром) -

2.  диагональное сечение призмы (сечение, проходящее через боковое ребро и диагональ призмы). Площадь диагонального сечения -

3. Угол наклона диагонали призмы к основанию (угол между диагональю призмы и диагональю основания) -

4. Площадь боковой грани призмы -

5. Площадь боковой поверхности призмы (сумма всех площадей боковых граней -

                                или    

6. Площадь основания призмы (площадь нижней грани призмы) -

7. Площадь полной поверхности призмы (площадь всех граней призмы) -

                             =

8. Объем призмы -           

                                     

                             Куб

 Состоит из шести одинаковых квадратов со стороной

 Все четыре диагонали куба равны

 

                                                          

                                                                            

                                                            

                                           

      B                                C                

                                                                     

A                                           D                              

                                                                            

 

Прямоугольный параллелепипед

В основании лежит прямоугольник.

Измерения параллелепипеда: длина (), ширина () и высота (c)

Состоит из шести попарно равных прямоугольника

Диагонали и диагональные сечения равны

                                                                          

                                                                                          

                                                                         

                   B                                             C              

                                                                               C

  A                                              D                         

                                                                                     

Прямой параллелепипед

В основании лежит параллелограмм или ромб

Два разных диагональных сечения и четыре попарно равных диагонали

                                                                        

                                                                                                 

                                                               

c                                                                                             

                                    B                         C               

A                                                                                                                           

           b             D                                                        

 

Правильная треугольная призма

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной

 Боковая поверхность состоит из трех равных прямоугольников

                                                                                    

                                                                           

                                                                                   

                                                                                     

     A                                                     B                     

                                                             

                      

                                             C

 

 

Правильная четырехугольная призма

В основании лежит квадрат со стороной

Боковая поверхность состоит из четырех равных прямоугольников

                           

                                                                                     

                                                              

                                                                                     

                                                                   

                                                                                          

                                                                              

                B                           C                      

                                          

A                            D                                         

Правильная шестиугольная призма

В основании лежит правильный шестиугольник со стороной

Боковая поверхность состоит из шести равных прямоугольников

                                                                    

                                                         

                                                        

                                                        

                                                                      

                  B                C                                            

        A                                    D                     

                                                                           

                     F       E                                       

Замечание: что бы найти площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем призмы, надо найти сторону основания (  ) и высоту (  ) призмы

  

                Наклонная призма

                                             

                                                                                      

                                                  

                                                                                

                                    B                      C        

                                                    H

                A                                    D

Сечение призмы, перпендикулярное боковым ребрам, называется перпендикулярным сечение призмы

                     

      Тренажер 1.1.1Призма

1. В основании прямой призмы ромб с диагоналями 24 и 10. Большая диагональ призмы образует с основанием угол 45 . Найти площадь полной поверхности призмы.

2. В прямоугольном параллелепипеде площадь диагонального сечения равна 120, высота параллелепипеда 12, одна из сторон основания 6. Найти площадь боковой поверхности.

3. В правильной шестиугольной призме наибольшая диагональ 13, а боковое ребро 5. Найти площадь диагонального сечения и площадь полной поверхности призмы.

4. Площадь диагонального сечения куба 16 . Найти площадь полной поверхности и объем куба.

5. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 6 и 8, высота параллелепипеда равна 12. Найти объем параллелепипеда и площадь диагонального сечения.

6. В правильной четырехугольной призме высота равна 5. Площадь диагонального сечения 20 . Найти площадь боковой поверхности призмы.

7. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями 8 и 6. Высота призмы равна стороне основания. Найти объем призмы.

8. В прямой призме в основании лежит прямоугольник со стороной 4 и диагональю 5. Диагональ призмы наклонена к основанию под углом 45 . Найти площадь полной поверхности призмы.

9. В прямом параллелепипеде в основании прямоугольник со сторонами 6 и 8. Диагональ параллелепипеда образует с основанием угол 45 . Найти объем параллелепипеда.

10. В правильной шестиугольной призме высота равна 10, а площадь диагонального сечения 60. Найти площадь полной поверхности призмы.

11. В правильной четырехугольной призме диагональ основания равна 12, а диагональ призмы 13. Найти объем призмы и площадь диагонального сечения.

12. В правильной треугольной призме площадь боковой грани 12 , высота равна 6. Найти площадь полной поверхности призмы.

13. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 4. Диагональ призмы наклонена к основанию под углом 60 . Найти площадь полной поверхности призмы.

14.  В правильной четырехугольной призме диагональ основания 3 , а высота призмы равна 5. Найти площадь боковой поверхности призмы.

15. В основании прямого параллелепипеда лежит квадрат. Диагональ боковой грани равна 8 и она образует с основанием угол 45 . Найти объем призмы.

16.  В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 3, a диагональ призмы 10. Найти площадь боковой поверхности призмы.

17.  Диагональ боковой грани куба равна 4 . Найти площадь полной поверхности и площадь диагонального сечения куба.

18. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна136, стороны основания равны 4 и 6. Найти объем параллелепипеда.

19.  Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетом 6 и острым углом 45 . Объем призмы равен 108. Найти площадь полной поверхности призмы.

20.  Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 4 и составляет с боковым ребром угол 30 . Найти объем призмы.

21.  Найти длину бокового ребра правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 7  и составляет с боковой гранью угол в 30 .

22.  Основание прямой призмы  треугольник АВС, в котором АВ = АС = 4, а ВС равно 3. Боковое ребро призмы равно 3. Найти периметр сечения, проходящего через вершины

23.  Дан прямоугольный параллелепипед  ребра =

Найти расстояние от вершины до диагонали .

 

Тема 1.2. Пирамида

Классификация

Пирамида

Правильная пирамида В основании правильный многоугольник и высота опускается в центр основания

Пирамида, у которой высота опускается в вершину основания

Пирамида с равными апофемами

Пирамида с равными боковыми ребрами

 

 

Правильная шестиугольная пирамида В основании –правильный шестиугольник

Правильная четырехугольная пирамида В основании –квадрат

Правильная треугольная пирамида В основании –равносторонний треугольник

                                                          

 

 

           

          Правильная пирамида

Высота опускается в центр правильного многоугольника, который является центром вписанной (радиус - ) и описанной окружностей (радиус - )

В правильной пирамиде равны следующие элементы: стороны основания, боковые ребра, апофемы, боковые грани (равнобедренные треугольники), углы наклона боковых ребер к основанию, углы наклона боковых граней к основанию (двухгранные углы)

  Основные элементы пирамиды, понятия и обозначения

 – вершина пирамиды             основание пирамиды – правильный многоугольник                      

AB – сторона основания -                   AC - диагональ основания –

боковое ребро пирамиды -          

 – боковая грань пирамиды                апофема или высота боковой грани – f

 – большой радиус многоугольника             – маленький радиус многоугольника  

1.  диагональное сечение пирамиды (сечение, проходящее через боковые ребра и высоту пирамиды). Площадь диагонального сечения -

2. Угол - угол наклона бокового ребра к основанию (угол между боковым ребром и основанием) -

3. Угол - угол наклона боковой грани к основанию или двугранный угол пирамиды (угол между апофемой и основанием) -

4. Площадь боковой грани пирамиды -

5. Площадь боковой поверхности пирамиды (сумма всех площадей боковых граней) -

                            или    

6. Площадь основания пирамиды -

7. Площадь полной поверхности пирамиды (площадь всех граней пирамиды) -

                             =

8. Объем пирамиды -           

Правильная треугольная пирамида    Правильная четырехугольная пирамида

                               S                                                                              S      

                                                                                                               

                     

                                                                                                

       A                                          B                               B                              C

                         O                                                     O  H

                                               H                     A                            D

                                        C                                                                                                        равносторонний треугольник                      квадрат

                                                     

                                                                                                

(или по Пифагору)                       (или по Пифагору)                      

                                                                         

                                                                       

                                                   

                                                                                                                                    

                       

                                    

=                                           =

                                                       

 

                                    Правильная шестиугольная пирамида

                                   S                                              

                                                                                   

                                                  

                                                                     

                       B                         C                       

          A O                D                                

           H               

                           F                 E                           

                                                                                        

                                                              =

                                                                

В правильной пирамиде решают три прямоугольных треугол