Лекция 7. Модели грунтового основания. Методы расчета осадок.

1. Модели грунтового основания представляют собой теоретические обобщения экспериментальных данных о закономерностях деформирования оснований под нагрузкой. Классифицируются по следующим признакам: по учету распределительных свойств основания; по учету необратимых деформаций; по виду зависимости между напряжениями и деформациями

(рис. 7.1).

 

Рис. 7.1. Классификация моделей грунтового основания.

По признаку учета распределительных свойств различают модель общих деформаций (рис. 7.1.1 а) и модель местных деформаций (рис. 7.1.1 б). Модель общих деформаций предполагает, что осадки основания происходят не только на загруженной поверхности, но и за ее границами. Примером модели общих деформаций является модель линейно деформируемого полупространства. Модель местных деформаций предполагает, что осадки основания происходят только в пределах загруженной поверхности. Примерами модели местных деформаций являются модели Винклера и Фусса. По признаку учета необратимых деформаций различают упругие (рис. 7.1.2 а) и неупругие (рис. 7.1.2 б) модели. Для упругих моделей характерно совпадение графиков нагрузки и разгрузки, построенных в координатах «осадка – давление». Примерами упругих моделей являются модель линейно деформируемого полупространства и модель Винклера. В неупругих моделях графики нагрузки и разгрузки основания расходятся. При этом после полной разгрузки основания сохраняются необратимые (пластические) осадки (деформации). Примерами неупругих моделей являются модель Фусса и модель С.Н. Клепикова. По виду зависимости между напряжениями и деформациями (или давлениями и осадками) различают линейные (рис. 7.1.3 а) и нелинейные (рис. 7.1.3 б) модели. Примерами линейных моделей являются модель линейно деформируемого полупространства и модель Винклера. Нелинейные модели предложены С.Н. Клепиковым.

В соответствии с приведенной выше классификацией модель линейно деформируемого полупространства является линейной упругой моделью общих деформаций. Эта модель является основной в механике грунтов и именно на ее основе разработаны методы расчета осадок, содержащиеся в нормах на проектирование оснований. Осадка основания вычисляется интегрированием по загруженной поверхности формулы Буссинеска, устанавливающей зависимость вертикальных перемещений упругого полупространства от действующей на этой поверхности сосредоточенной силы

P:

      

где ν, Е – коэффициент Пуассона и модуль деформации грунта; x, y, z – координаты точки.

При подстановке в формулу (7.1) z = 0 получим уже известное выражение для осадки поверхности упругого полупространства от действия сосредоточенной силы (множитель перед скобкой). Поскольку при R = 0 значение осадки становится неопределенным, конечные значения осадок вычисляют для нагрузок, распределенных по площади (рис. 7.2). Подставляя в формулу (7.1) вместо силы Р элементарную силу р d ξ d η и производя интегрирование по загруженной площади размерами 2⋅ a ×2⋅ b, получим с учетом того, что z = 0 и R = [(x - ξ)²+(y - η)²]^1/2:

                                (7.2)

a

a

Рис. 7.2. Осадки основания по модели линейно деформируемого полупространства.

 

 

Практический интерес представляет средняя осадка загруженной поверхности, так как она совпадает с осадкой от той же нагрузки жесткого штампа. Известно решение Шлейхера для определения осадки круглого жесткого штампа, загруженного равномерно распределенной нагрузкой, и аналогичное решение Баркана для прямоугольного штампа:

где ω, ω _z – коэффициенты формы подошвы штампа, являющиеся функциями геометрических размеров штампа в плане (приводятся в таблицах); d, A – диаметр и площадь подошвы штампа; р – среднее давление по подошве штампа.

Известно решение Жемочкина для вычисления осадок упругого полупространства от действия вертикальной силы Р, распределенной по площади c × b (b – ширина), в функции от координаты x, кратной длине загруженной площади с (рис. 7.3):

 

 

Рис. 7.3. Расчет осадок по методу Б.Н. Жемочкина.

 

Значение функции f (x / c, b / c) приведено в таблице 7.1. Формулы (7.2) и (7.4) используются при расчете балок и плит на упругом полупространстве, например, для определения осадок основания в уравнениях неразрывности перемещений, в том числе от единичных значений неизвестных сил. В последнем случае p = 1/(4⋅ a ⋅ b) в формуле (7.2) или p = 1/(b ⋅ c) в формуле (7.4).

Модель Винклера является по вышеприведенной классификации упругой линейной моделью местных деформаций. Характеризуется коэффициентом постели C = p / s, где р – давление на основание; s – осадка основания. Используется для расчета балок на упругом основании. Значения коэффициента постели приводятся в справочниках в зависимости от вида грунта и его состояния.

Таблица 7.1.

x/c	f (x / c, b / c) при значениях b / c
	2/3	1	2	3	4	5
0	4,265	3,525	2,406	1,867	1,542	1,322
1	1,069	1,038	0,929	0,829	0,746	0,678
2	0,508	0,505	0,490	0,469	0,446	0,424
3	0,336	0,335	0,330	0,323	0,315	0,305
4	0,251	0,251	0,249	0,246	0,242	0,237
5	0,200	0,200	0,199	0,197	0,196	0,193
6	0,167	0,167	0,166	0,165	0,164	0,163
7	0,143	0,143	0,143	0,142	0,141	0,140
8	0,125	0,125	0,125	0,124	0,124	0,123
9	0,111	0,111	0,111	0,111	0,111	0,110
10	0,100	0,100	0,100	0,100	0,100	0,099
20	0,050	0,050	0,050	0,050	0,050	0,050

P.S. Обратите внимание на то, что при x ≠ 0 данные таблицы 1 примерно равны c /x.

Модель Фусса является по принятой классификации неупругой линейной моделью местных деформаций. Как и модель Винклера при нагрузке характеризуется коэффициентом постели. Отличие от модели Винклера заключается в том, что при разгрузке достигнутая на рассматриваемом уровне нагружения осадка является необратимой. Это соответствует бесконечному значению коэффициента постели при разгрузке. Модель используется для расчета конструкций на линейно деформируемом неупругом основании.

Модель коэффициента жесткости. Основывается на зависимости между давлением и осадкой, принятой в модели Винклера. Однако при этом с помощью коэффициента постели учитываются (полностью или частично) распределительные свойства основания, неупругие и нелинейные особенности его деформирования и т.п. Коэффициент постели в этом случае называется коэффициентом жесткости. Частичный учет распределительных свойств грунтового основания достигается применением модели коэффициента жесткости, основанной на решениях теории упругости (7.3). При этом используются не только зависимости средней осадки от среднего давления на загруженной поверхности (7.3), но также аналогичные зависимости среднего углового перемещения от распределенной моментной нагрузки и среднего горизонтального перемещения от распределенной касательной нагрузки

(рис. 7.4).

 

 

Рис. 7.4. Перемещения жесткого фундамента по модели коэффициента жесткости: