Лекция 4. Задача фламана. Закономерности распределения давлений. Изобары, распоры, сдвиги. Контактные напряжения. Напряжения от собственного веса грунта.

1. Задача Фламана решена для плоского напряженного состояния при условии отсутствия поперечной деформации (плоская деформация) и методологически подобна задаче Буссинеска для полупространства. По этой причине рассмотрим лишь конечные результаты решения этой задачи. Пусть на поверхности полупространства (рис. 4.1) действует бесконечно протяженная полосовая нагрузка q (кН/м) вдоль координатной оси x единичной ширины.

 

Тогда в сечениях полупространства плоскостями, нормальными к оси x, будем иметь полуплоскости, напряженно-деформированное состояние которых подобно, а деформация по направлению оси x равна нулю. Как уже отмечалось, такое напряженное состояние называется плоской деформацией. Напряжения в точке М полуплоскости с радиусом-вектором R и координатами y, z в соответствии с решением Фламана определяются формулами:

Практический интерес представляет распределение напряжений в полуплоскости от действия бесконечно протяженной полосовой нагрузки (рис. 4.2) конечной ширины В. Подобное напряженное состояние возникает в поперечных сечениях основания протяженного ленточного фундамента.

 

Пусть интенсивность нагрузки в пределах полосы постоянна и равна р (кН/м²). Соединим точку М с концами полосовой нагрузки в сечении полуплоскостью. Угол между проведенными таким образом лучами из точки М назовем углом видимости α. Интенсивность полосовой нагрузки dq шириной dy будет равна: dq = p ⋅ dy = p ⋅ R ⋅ d β / cos β _i, где β _i – угол между вертикалью и лучом, проведенным из точки М к площадке dy; d β – угол видимости площадки dy. Граничными значениями угла β _i будут углы β ₁ и β ₂, составляемые с вертикалью лучами угла видимости α. Положительное направление указанных углов отсчитывается от вертикали при повороте ее в сторону луча по ходу часовой стрелки. Подставляя в уравнения (4.1) вместо q dq и производя их интегрирование по β, получим выражения для определения напряжений в грунтовом массиве от полосовой нагрузки:

 

 

         .                                                                                  (4.2)

Можно показать, что β ₀ = β ₁ + α/ 2. При β ₀ = 0 β ₁ = −α/2, а β ₂ = α/2. Отсюда следует, что нормальные напряжения σ _z по оси симметрии полосовой нагрузки являются главными напряжениями, так как касательные напряжения τ _zy на площадках действия указанных напряжений равны нулю. Напряженному состоянию с компонентами тензора напряжений (4.2) соответствуют главные напряжения:

Угол наклона площадки большего главного напряжения к площадке напряжения σ _z будет равен:

          .                 (4.4)

Из уравнения (4.4) следует, что нормалью к площадке больших главных напряжений является биссектриса угла видимости α. Говорят также, что большая главная ось эллипса напряжений в точке М совпадает по направлению с биссектрисой угла видимости в этой точке (рис. 4.3). Можно доказать (рис. 4.4), что геометрическим местом точек с одинаковыми значениями главных напряжений являются окружности, проведенные через крайние точки полосовой нагрузки.

0

Рис. 4.3. Эллипсы главных напряжений при действии полосовой нагрузки.

 

Рис. 4.4. Изолинии равных главных напряжений при действии полосовой нагрузки.