Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

 

При работе бруса на кручение в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_z (иногда обозначаемый также М_к).

  С помощью метода сечений величина М_z выражается через внешние силы (скручивающие моменты): крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме скручивающих (внешних) моментов, приложенных к оставлено части:

М_z = Σ m_z.ост.ч

  Для расчета на прочность и определения перемещений поперечных сечений бруса надо знать закон изменения крутящих моментов по его длине (т.е. построить эпюру крутящих моментов). 

  Наибольшие касательные напряжения возникают в точках внешнего контура поперечного сечения и определяются по формуле:

τ_max = M_z / W_p,

где W_p = J_p /(d/2) – полярный момент сопротивления поперечного сечения.

  Для круга

W_p = πd³/16 ≈0,2d³,

  Для кольца

W_p = (πd³/16) (1 −а⁴) ≈ 0,2d³ (1 −а⁴).

       Условие прочности имеет вид:

τ_max = M_z / W_p ≤ [τ_к],

 

где [τ_к] – допускаемое напряжение при кручении.

 

Пример по выполнению практической работы

Для заданного бруса подобрать размеры сечения на каждом из его участков в двух вариантах: а) круг; б) кольцо с заданным отношением ά = d₀/d = 0,8 внутреннего и наружного диаметров. Сравнить массы брусьев по обоим расчетным вариантам. Для материала бруса (сталь Ст3) принять допускаемое напряжение при кручении [τ] = 90 Н/мм².

 

 Решение: в заданном брусе два участка: 1 и 2. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скручивающие) моменты. Так как моменты, нагружающие брус, действуют в плоскостях, перпендикулярных его продольной оси, то в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_к, т.е. имеет место кручение бруса. 

  При определении крутящего момента применяем метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, будем отбрасывать правую закрепленную часть бруса и оставлять для рассмотрения левую часть. На участке 1 крутящий момент постоянен и равен М_к1 = М₁= 900 Н ∙ м. На участке 2 крутящий момент также постоянен и равен М_к1 = М₁ – М₂ = 900 – 1500 = - 600 Н ∙ м. (знак крутящего момента физического смысла не имеет). Построенная эпюра крутящих моментов М_к показана на рис.1 (построение эпюры крутящих моментов принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил).

   Определим размеры поперечного сечения бруса для каждого участка в отдельности. Для этого используем условие прочности при кручении τ = М_к/W_p ≤ [τ], где полярный момент сопротивления W_p является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения и для круга диаметра d выражается формулой W_p = πd³/16 ≈0,2d³,

а для кольца – формулой W_p = 0,2d³ (1 −а⁴).

Для участка 1:

                М_к1                             900 ∙ 10³

       τ₁ = ──── ≤ [τ]; τ₁ = ────── ≤ 90,

                 W_p1                                  W _p1                      

 

отсюда требуемый W _p1 = 10 ∙ 10³ мм³.

1. Для круглого сечения приравниваем 0,2d³ = 10 ∙ 10³ мм³ и находим d₁ = 36,5 мм. Принимаем d₁ = 37 мм.

2. Для кольцевого сечения (ά = 0,8) приравниваем 0,2d³ (1 – 0,8⁴) = 10 ∙ 10³ мм³ и находим d₁ = 44 мм. Тогда d₀ = ά ∙ d₁ = 0,8 ∙ 44 = 35 мм.

Для участка 2:

                  М_к2                              600 ∙ 10³

          τ₂ = ──── ≤ [τ]; τ₂ = ────── ≤ 90,

                  W_p2                                    W _p2

           отсюда требуемый W _p2 = 6,67 ∙ 10³ мм³.

 

1. Для круглого сечения приравниваем 0,2d³ = 6,67 ∙ 10³ мм³;d₂ = 32 мм.

2. Для кольцевого сечения 0,2d³ (1 – 0,8⁴) = 6,67 ∙ 10³ мм³; d₂ = 38,5 мм, принимаем d₂ = 39мм; d₀ = ά ∙ d₂ = 0,8 ∙ 39 = 31 мм.

Здесь взятые по абсолютной величине крутящие моменты М_к1 = 900 Н ∙ м = 900 ∙ 10³ Н ∙ мм и М_к2 = 600 Н ∙ м = 600 ∙ 10³ Н ∙ мм.

Теперь сравним затраты материала по обоим расчетным вариантам к примеру для участка 1. Отношение масс брусьев одинаковой длины равно отношению площадей их сечений. Площадь круглого сечения А_кр = πd²/4 = 0,785 ∙ 37² = 1075 мм². Площадь кольцевого сечения А_кол = 0.785 (d² – d²) = 0,785 ∙ (44² - 35²) = 558 мм². Тогда А_кр /А_кол = 1075/558 = 1,93. Следовательно, брус круглого сечения тяжелее кольцевого примерно в 2 раза.             

М,=№НИ М_г'№ВНм

 

Задания для практического занятия:

Для материала бруса (сталь Ст3) принять [τ] = 100 Н/мм². и построить эпюру крутящих моментов.

1. Для заданного бруса построить эпюры крутящих моментов.

2. Определить размеры поперечного сечения бруса для каждого участка в       отдельности.

3. Подобрать размеры поперечного сечения для круглого сечения и

кольцевого сечения.

4. Определить площадь круглого сечения.

5. Сделать сравнительную характеристику.

 

) 2)

 

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

 

 

№ задачи	вариант
	М1	М2	М3
	Н * м
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	100 300 500 250 150 700 900 300 150 1300	300 700 300 350 700 500 300 1100 300 350	900 1100 500 300 350 300 500 500 750 150

 

 

Контрольные вопросы

1. Какая разница между крутящим и скручивающим или вращающим моментами?

2. Чему должна быть равна алгебраическая сумма вращающих моментов для  равномерно вращающего вала?

3. Как распределяются напряжения по поперечному сечению при кручении?

 

Практическая работа № 7

 «Расчет балки на прочность при изгибе»

Учебная цель: Уметь определять равнодействующую системы сил, решать задачи на равновесие геометрическим и аналитическим способом, рационально выбирая координатные оси.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

знать:

- порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.