Равновесие плоской системы сил. Уравнения равновесия и их различные формы

При равновесии главный вектор системы равен нулю (Fгл = 0).

Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

 

 

где Fk_x и Fk_y — проекции векторов на оси координат.

 

 Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

где А и В — разные точки приведения.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и доста­точно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю.

Получим основную форму уравнения равновесия:

 

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически доказано, что на плоскости можно соста­вить только три независимых уравнения моментов и при этом три точки (центры моментов) не должны лежать на одной линии.

Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.

Практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений рав­новесия.

Первая форма уравнений равновесия:

 

Вопрос 11

Способы задания движения точки

Положение точки в каждый момент времени можно опреде­лить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от некоторой неподвижной точки, рассматрива­емой как начало отсчета. Такой способ задания движения называется естественным.

Таким образом, уравнение движения можно представить в виде S = f (t). Положение точки можно также определить, если известны ее координаты в зависимости от времени.

Тогда в случае движения на плоскости должны быть заданы два уравнения:

В случае пространственного движе­ния добавляется и третья координата z = f з (t)

Такой способ задания движения называют координатным.

Вопрос 12

Скорость

Векторная величина, характеризующая в данный момент быст­роту и направление движения по траектории, называется скоростью.

Скорость — вектор, в любой момент времени направленный по касатель­ной к траектории в сторону направления движения.

Если точка за равные проме­жутки времени проходит равные расстояния, то движение называют равномерным.

Средняя скорость на пути AS определяется как

где ΔS — пройденный путь за время Δt; Δt — промежуток времени.

 

 

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным.

В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v = f (t).

При рассмотрении малых промежутков времени (Δt → 0) сред­няя скорость становится равной истинной скорости движения в дан­ный момент. Поэтому скорость в данный момент определяют как

производную пути по времени:

 

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеря­ют в км/ч, 1км/ч = 0,278м/с.

Вопрос 13

Ускорение

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.

Скорость точки при перемещении из точки М₁ в точку М₂ ме­няется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени

При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный мо­мент:

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпен­дикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательное.

Нормальное ускорение а_п характеризует изменение скорости по направлению и определяется как

где г — радиус кривизны траектории в данный момент времени.

 

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно ско­рости к центру дуги.

Касательное ускорение a_t характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению век­тора скорости.

Формула для определения касательного ускорения имеет вид:

Значение полного ускорения определяется как а _t = d V / dt = v ¹ = S ’’ .

Вопрос 14

Виды движения точки

Равномерное движение. Э то движение с постоянной скоростью: v — const.

 

Для прямолинейного равномерного движения     Полное ускорение движения точ­ки равно нулю: а = 0.

При криволинейном равномерном движении     Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = ап.

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении - уравнение прямой:

S = So + vt,

                   , где So — путь, пройденный до начала отсчета.

 

Равнопеременное движение. Э то движение с постоянным каса­тельным ускорением: a_t  = const.

 

Для прямолинейного равнопеременного движения   Полное ускорение равно касательному ускорению.

При криволинейном равнопеременном движении

Значение скорости при равнопеременном движении

 

 

Закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:

где v ₀ — начальная скорость движения;

So — путь, пройденный до начала отсчета;

a_t — постоянное касательное ускорение.

Вопрос 15