Аналоговые регуляторы с отставанием и с опережением по фазе

    Регуляторы этого типа находят применение в локальных системах с астатизмом первого порядка. Их передаточная функция имеет вид:

                                        ,                                       (4.9)

где  и  – постоянные времени.

При  имеем передаточную функцию регулятора с отставанием по фазе, а при  – с опережением по фазе.

    На рисунках 4.5 и 4.6 показаны асимптотические частотные логарифмические амплитудные характеристики  и фазовые характеристики регуляторов при  и  соответственно.

 

                      

Рисунок 4.5

Рисунок 4.6

    На рисунке 4.5 видно, что регулятор с запаздыванием ведет себя в области частот  приблизительно так, как ведет себя ПИ-регулятор. Однако вносимый им отрицательный фазовый сигнал будет влиять на фазовую характеристику системы с астатизмом и при неправильном выборе постоянной времени  может существенно снизить необходимый запас устойчивости.

    Регулятор с опережением по фазе, частотные характеристики которого показаны на рисунке 4.6, приблизительно соответствует пропорционально-дифференциальному регулятору (ПД). Регулятор вносит положительный фазовый сдвиг  что является благоприятным с точки зрения сохранения необходимого запаса устойчивости по фазе локальной системы. Недостатком регулятора является усиление на высоких частотах, что может приводить к увеличению интенсивности высокочастотных помех и наводок.

 

4.4 Передаточные функции и структурные схемы цифровых
регуляторов

   

Регуляторы современных локальных систем реализуют на основе микроконтроллеров, контроллеров и микроЭВМ. В этих случаях пропорциональное управление реализуется по-прежнему коэффициента  а интегрирование и дифференцирование выполняют в цифровой форме.

    Существуют различные методы цифровой аппроксимации интегралов и производных их дискретными аналогами. Один из них основан на использовании Z -форм. Например операция интегрирования  заменяется функцией цифрового интегрирования , операция дифференцирования s – функцией цифрового дифференцирования , где   T – период квантования. Используя эти замены в уравнении (4.5), получим цифровую форму передаточной функции ПИД-регулятора:

 

 

          .        (4.10)    

 

    Структурная схема цифрового ПИД-регулятора представлена на рисунке 4.7.

 

 

 

Рисунок 4.7

 

    Цифровой регулятор изображают в виде структурной схемы (рисунок 4.8).

 

 

Рисунок 4.8

 

    Входной сигнал регулятора  является последовательностью чисел , представляющих собой выборку значений сигнала  Цифровой регулятор выполняет определенные линейные преобразования последовательности  и вырабатывает выходную последовательность  в виде квантового сигнала

    При применении микропроцессорных устройств в качестве регуляторов существуют определенные ограничения, связанные с конечной длинной слова (ошибкой квантования) и с задержкой на время вычисления и дискретизации при выполнении команд в процессоре. Эти факторы оказывают существенное влияние на качество регулирования и устойчивость системы. При высокой частоте дискретизации нет достоверной информации о сигнале  из-за ограниченной разрешающей способности измерительных устройств. Это увеличивает ошибку квантования, и возникает угроза нарушения устойчивости.

При низкой частоте дискретизации процессор получает точную информацию о сигнале  и достаточное время для его обработки. Однако появляется временная задержка, что ведет к снижению запасов устойчивости системы. Оценить период дискретизации крайне сложно. Поэтому рекомендуется определять его наилучшее значение путем моделирования системы, например, в вычислительной среде MATLAB.

 

4.5 Расчет параметров регуляторов непрерывного действия
в одноконтурных системах по критерию качества во временной области

   

Многие промышленные объекты управления одноконтурных систем описываются передаточной функцией первого порядка с запаздыванием

 

                              (4.11)

 

где  – коэффициент передачи в установившемся режиме;

 – постоянная времени;

    – запаздывание (задержка реакции объекта на единичное ступенчатое
           воздействие).

Исполнительные устройства систем содержат жесткую обратную связь по скорости исполнительного двигателя и обратную связь по углу поворота выходного вала редуктора, снижая влияние исполнительного устройства на динамику управляемых процессов. Причем, при постоянной времени двигателя  передаточную функцию исполнительного устройства заменяют передаточной функцией безынерционного звена .

Располагая значениями параметров объекта управления и практически безынерционным исполнительным устройством, рассчитывают параметры регулятора по формулам, приведенным в таблицах 4.1, 4.2 и 4.3. Таблицу выбирают на основании требований в форме ограничений на время регулирования, величину перерегулирования, степень затухания переходного процесса, чувствительность переходной функции к изменению отношения  и др.

 

Таблица 4.1 – Параметры регуляторов для системы с минимальным временем

                  регулирования при отсутствии перерегулирования

 

Тип регулятора	K p	T i	T d
П
ПИ
ПИД

 

Таблица 4.2 – Параметры регуляторов для системы с минимальным временем
                   первого полупериода затухающих колебаний при 20%-ном

                   перерегулировании

 

Тип регулятора	k p	T i	T d
П
ПИ
ПИД

 

Таблица 4.3 – Параметры регуляторов по минимуму чувствительности

                  переходной функции системы к изменению отношения  

                  при (10…20)%-ном перерегулировании

 

Тип регулятора	k p	T i	T d
П
ПИ
ПИД

 

Тип регулятора из таблицы выбирают ориентируясь на величину отношения запаздывания  к постоянной времени объекта Т _об. При ( / Т _об) < 0,2 рекомендуется выбирать пропорциональный П-регулятор, при 0,2 ≤ ( / Т _об) < 1 – ПИ– или ПИД-регулятор, а при ( / Т _об) ≥ 1 – специальный ПИД-регулятор с блоками для предсказания будущего поведения объекта управления.

Значения параметров регулятора, полученные по приведенным в таблицах формулам, следует рассматривать как отправные. Используя simulink, их необходимо уточнить с учетом особенностей реализации локальной системы.

Пример. Объект с запаздыванием описывается передаточной функцией (4.11). Параметры передаточной функции имеют следующие значения: Т _об = 300 с; k _об = 0,32; = 125 с. Определите желаемую передаточную функцию регулятора, обеспечивающего минимальное время первого полупериода затухающих колебаний при 20 %-м перерегулировании.

Расчет.

Для отношения ( / Т _об) = (129/300) = 0,43 и условия 0,2 < / Т _об < 1 выбираем ПИ-регулятор. Параметры регулятора находим по формулам таблицы 4.2:

– коэффициент передачи

– постоянная интегрирования

При расчете параметров регулятора предполагалось, что передаточная функция объекта с запаздыванием точно известна. Однако в лучшем случае она известна с точностью до параметров, которые могут отличаться от реальных значений. В частности представляет интерес исследовать реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие для постоянных (расчетных) значений параметров регулятора и различных отношений / Т _об из диапазона значений [0,2…0,8] для объекта.

Для удобства определения реакции системы с помощью simulink введем безразмерное время t *= t, т. е. сжимаем время решения задачи. При этом в передаточных функциях регулятора и объекта осуществляем подстановку:  В этом случае передаточная функция разомкнутой системы

 

                           (4.12)

принимает вид

                         (4.13)

 

Подставим в выражение (4.13) значение параметра

Кроме того, воспользуемся разложением

                             (4.14)

В результате получим передаточную функцию модели разомкнутой системы

                   (4.15)

 

которую удобно использовать при компьютерном исследовании системы замкнутой единичной отрицательной обратной связью.

4.6 Расчет регуляторов одноконтурных системах по критериям
качества в частотной области

 

Расчет связан с решением следующих задач: синтезом желаемой передаточной функции разомкнутой системы на основе свойств системы в частотной области; определением передаточной функции регулятора; реализацией регулятора с учетом реальных условий его применения; проверкой показателей качества переходного процесса.

Решение задач получим для систем, которые в разомкнутом состоянии без регулятора (W _р(s) = 1) имеют передаточную функцию

                                  (4.16)

 

где К – общий коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии.

Хотя передаточная функция имеет простой вид, тем не менее, она часто встречается в системах, осуществляющих механическое движение рабочих органов объектов необходимое для выполнения рабочего процесса. Выходной координатой этих систем является угол поворота выходного вала системы, а входной, определяющей требуемое значение угла выходного вала, может быть угол поворота задатчика, напряжение, управляющая программа и т. д.

Характерной особенностью систем является их подверженность возмущениям, возникающим в процессе выполнения механических движений и нарушающим управление этими движениями.

Синтез желаемой передаточной функции разомкнутой локальной системы. На начальном этапе синтеза желаемую передаточную функцию W _ж(s) выбирают по виду передаточной функции W (s) разомкнутой нескорректированной системы, состоящей из функционально необходимых элементов, например в соответствии с передаточной функцией (4.16) выбирают передаточную функцию

 

,                               (4.17)

где К _ж, Т ₁, Т ₂, Т ₃ – желаемые значения общего коэффициента усиления разомкнутой системы и постоянных времени, удовлетворяющие требованиям устойчивости, точности установившихся режимов работы к качеству переходных процессов.

Параметры желаемой передаточной функции (4.17) рассчитывают обычно по методике В. А. Бесекерского, используя в качестве исходных следующие данные:

− максимальное установившееся значение статического момента сопротивления нагрузки, приведенного к валу исполнительного двигателя ;

− максимальная угловая скорость нагрузки W_max;

− максимальное угловое ускорение нагрузки e_max;

− допустимое установившееся значение ошибки d_max при движении с постоянной скоростью, равной W_max, и статическом моменте М _С.Н;

− коэффициент наклона механических характеристик двигателя с редуктором g₀ = g_Д i^{- 1};

− показатель колебательности М.

Расчет можно упростить, если с помощью приведенных ниже формул определить величины, характеризующие частотные свойства системы

–контрольная частота

        ;                                         (4.18)

 

− добротность системы по скорости

 

;                                    (4.19)

 

– условная добротность системы по ускорению

 

                              (4.20)

 

– базовая частота

.                                  (4.21)

 

Расчет параметров. Расчет общего коэффициента усиления К _ж и первой наибольшей постоянной времени Т ₁ можно осуществить различным образом.

Вариант первый. Выбираем

.                                         (4.22)

Тогда требуемое значение коэффициента К _ж должно удовлетворять условию

.                                         (4.23)

При этом базовая частота w₀ принимает значение

 

.                                       (4.24)

 

Вариант второй. Выбираем

.                                         (4.25)

В этом случае желаемый коэффициент усиления разомкнутой системы или добротность по скорости имеет минимально возможное значение

 

,                                         (4.26)

 

что благоприятно сказывается на помехозащищенности системы. Однако при этом возрастает условная добротность по ускорению

 

 ,                             (4.27)

 

а следовательно, и базовая частота

 

,                                         (4.28)

 

что приводит к сложному алгоритму работы регулятора.

Вариант третий. Выбираем

.                                         (4.29)

 

При этом условная добротность по ускорению будет минимальной

 

 .                             (4.30)

 

Минимальную величину принимает и базовая частота , что благоприятно сказывается на реализации алгоритма работы регулятора. В то же время общий желаемый коэффициент усиления разомкнутой системы возрастает в два-три раза по сравнению с минимальным значением, равным К _W:

 

.                                         (4.31)

 

Увеличение К _ж может быть нежелательным при работе системы в условиях помех на входе системы или действующих внутри системы.

Для любого варианта постоянные времени Т ₂ и Т ₃ рассчитывают по следующим формулам

;                                      (4.32)

.                                  (4.33)

Отношение постоянных времени

                                           (4.34)

характеризует запасы устойчивости системы и перерегулирование в переходных режимах работы. Обычно это отношение должно лежать в пределах [6…12].

Пример. Рассчитать параметры желаемой передаточной функции (4.17) по следующим исходным данным:

 = 0,2 Н×м; W_max = 0,32 рад/с; e_max = 0,27 рад/с²; g₀ = 0,4 рад/нмс; М = 1,26; d_max = 8 угловых минут.

Расчет.

Контрольная частота

 с^–1.

Добротность системы по скорости

 с^–1.

Условная добротность системы по ускорению

 с^–1.

Базовая частота  с^–1.

Дальнейший расчет проводим для следующих двух вариантов общего коэффициента К _ж и наибольшей постоянной времени Т ₁.

Вариант первый. Пусть  с.

Тогда  с^–1. Принимаем  с^–1.

Находим базовую частоту  с^–1.

Постоянные времени

с;

 

с.

 

Желаемая передаточная функция

.

Вариант второй. Пусть постоянная времени  с.

Тогда  с^-1. Принимаем  с^–1.

Постоянные времени при

 

 с;

 

с.

 

Желаемая передаточная функция

 

.

 

Расчет регуляторов. Задача состоит в том, чтобы не только усилить сигнал ошибки регулирования U _d, но и придать системе желаемые динамические свойства W _ж(s). Это означает, что регулятор должен обладать передаточной функцией вида

 

,                                           (4.35)

 

где K_р – коэффициент преобразования (усиления) регулятора; 

N (s) – дробно-рациональная физически реализуемая функция.

Коэффициент преобразования K_р можно определить из условия K = K _ж, подставив в него значение K = K _Д K _р K _П K _ДВ i ^–1:

 

,                                       (4.36)

 

Функцию N (s) получают путем деления желаемой передаточной функции W _ж(s) на передаточную функцию исходной системы W (s) при K = K _ж:

 

.                                           (4.37)

 

Подставив в формулу (4.37) выражения (4.16) и (4.17), получим

 

,                                 (4.38)

 

где знак (') означает, что постоянная времени  является постоянной времени регулятора и, вообще говоря, должна быть численно равна электромеханической постоянной времени исполнительного двигателя Т _м.

 

Физическая реализуемость функции N (s) с помощью RC -фильтров. Реализация функции N (s) в виде электрического четырехполюсника, расположенного перед управляемым силовым преобразователем, показана на рисунке 4.9.

Рисунок 4.9

 

Фильтр на входе разделительного усилителя описывается передаточной функцией

,                                       (4.39)

 

где

; .                             (4.40)

 

Передаточная функция фильтра, подключенного к выходу разделительного усилителя, имеет вид

,                                     (4.41)

где

; ; .                 (4.42)

 

Видно, что второй фильтр ослабляет сигнал в G раз. Чтобы скомпенсировать это ослабление, разделительный усилитель должен обеспечивать усиление, равное 1/ G.

Реализация с помощью ПИД-регулятора. Передаточную функцию (4.38) преобразуем к следующему виду

 

.            (4.43)

 

Выражение, заключенное в квадратные скобки, представляет собой передаточную функцию классического ПИД–регулятора.

Дифференцирующее звено  в выражении (4.43) обычно реализуют совместно с фильтром верхних частот. Передаточная функция физически реализуемого дифференцирующего звена имеет вид

 

,                                        (4.44)

где , а постоянную времени Т _ф выбирают так, чтобы можно было пренебречь влиянием фильтра на запасы устойчивости и динамику системы. Обычно Т _ф выбирают из условия Т _ф ≤  (0,1…0,15) Т ₃.

Зная Т _d и Т _ф, можно вычислить отношение постоянных времени

 

,                                             (4.45)

 

а передаточную функцию (4.44) представить в следующем виде

 

.                     (4.46)

 

Тогда выражение (4.43) при стандартных обозначениях Т ₁ = Т _i;  с учетом (4.46) принимает вид

.            (4.47)

Структурная схема физически реализуемого ПИД-регулятора, построенная в соответствии с выражением (4.47), показана на рисунке 4.10.

 

 

Рисунок 4.10

 

 

Расчет регуляторов в двухконтурной системе. Структурная схема системы показана на рисунке 1.2. Внутренний контур с регулятором Р2 в цепи местной обратной связи позволяет упростить передаточную функцию (4.37) регулятора Р1 в прямой цепи управления.

Действительно, анализ параметров желаемой передаточной функции (4.17) показывает, что постоянная времени Т ₁ и Т ₂ определяются только параметрами движения нагрузки и требованиями к показателю колебательности системы и никак не зависят от параметров исполнительного устройства. Поэтому для прямого управления подходящим является регулятор Р1 с отставанием по фазе

 

 

где

Вид передаточной функции регулятора Р2 в цепи обратной связи осуществляется следующим образом. Если в исполнительном устройстве обратной связью охватывают силовой преобразователь и двигатель, имеющие передаточную функцию

где K ₀₁ = K _П K _ДВ, то в цепи обратной связи выбирают регулятор пропорционального действия с передаточной функцией

 

 

В этом случае результирующая передаточная функция контура определяется выражением

 

      (4.48)

или

                                    (4.49)

 

где новые параметры имеют вид

                   (4.50)

                    (4.51)

Для расчета коэффициента K _Р2 целесообразно в формуле (4.51) положить  что эквивалентно сокращению нуля и полюса в передаточной функции (4.38). Тогда получим

 

                              (4.52)

 

Из формулы (4.50) следует, что регулятор обратной связи пропорционального действия в (1 + K _П K _ДВ K _Р2) уменьшает коэффициент передачи исполнительного устройства. Поэтому во столько раз необходимо увеличить коэффициент передачи регулятора Р1 в прямой цепи управления.

Функции регулятора обратной связи пропорционального действия обычно реализуют на базе техогенератора с делителем напряжения, как показано на рисунке 4.11.

В том случае, когда охватываемая обратной связью функциональная часть исполнительного устройства имеет передаточную функцию

 

                              (4.53)

 

рекомендуется в цепи обратной связи использовать регулятор с опережением по фазе

                         (4.54)

 

Параметры регулятора рассчитывают по следующим формулам:

 

                           (4.55)

 

                                   (4.56)

 

                                (4.57)

 

где Т ₁, Т ₂, Т ₃, Т ₄ и K _Ж являются параметрами желаемой передаточной функции.

На рисунке 4.12 показана схема, реализующая функции регулятора с опережением по фазе.

 

             

 

Рисунок 4.11                                                              Рисунок 4.12

 

 

Выше при выборе регуляторов и расчете их параметров предполагалось, что локальная система обладает достаточным запасом устойчивости и точностью регулирования в условиях постоянного действующего момента сопротивления нагрузки. При этом погрешность, вносимая моментом сопротивления, не превышает заданного значения. Однако двухконтурные системы в установившемся режиме работы позволяют свести эту погрешность к нулю. Необходимо лишь перестроить структурную схему системы. Один из вариантов схемы показан на рисунке 4.13, где K _д.с – передаточный коэффициент датчика скорости.

Рисунок 4.13

 

Пусть  Выбираем  тогда передаточная функция внутреннего контура по возмущению М _С.Н принимает вид

 

(4.58)

 

где новая постоянная времени

 

 

Появление оператора s в числителе передаточной функции (4.58) указывает на то, что система обладает астатизмом первого порядка по отношению к внешним возмущения. Постоянные во времени внешние моменты М¢_с.н не сказываются на точности отработки заданного задающего воздействия в установившемся режиме.

Вопросы для проверки усвоения материала

1 Поясните назначение регулятора в локальных системах автоматики.

2 Поясните назначение пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющей в ПИД-регуляторе.

3 Как влияет интегральная составляющая ПИ и ПИД-регулятора на качество переходных процессов в локальных системах?

4 В каких случаях находят применение регуляторы с отставанием и с опережением по фазе?

5 Из каких соображений выбирают закон регулирования промышленных объектов первого порядка с запаздыванием по критериям во временной области?

6 Приведите методику расчета регуляторов одноконтурных систем по критериям в частотной области.

Заключение

 

Пособие охватывает наиболее важные вопросы проектирования локальных систем автоматики.

Основное внимание уделяется выбору элементов и расчету их статических и динамических характеристик, обеспечивающих требуемое качество системы и с которых, как правило, начинается проектирование. При этом подчеркивается необходимость учета конечной точности измерительных устройств, чувствительности исполнительного механизма к внешним возмущениям, естественных ограничений на переменные состояния системы в переходных режимах, запаздывания реакции объекта на управляющие воздействия.

Рассмотрены формы регуляторов и методы расчета их параметров. Эти методы до сих пор остаются основными, несмотря на множество других методов, имеющих преимущества для систем конкретного применения.

Надеемся, что весьма сжатые сведения в учебном пособии являются достаточными для того, чтобы без затруднений перейти к более глубокому изучению соответствующих тем в опубликованных источниках, например, перечисленных ниже в списке литературы.

Пособие может быть использовано для индивидуального изучения и самостоятельного выполнения задания по курсовому проекту. В то же время оно будет полезно для преподавания различных курсов в области автоматизации.

 

 

Список литературы

 

1 Солодовников, В. В. Основы теории и элементы систем автоматичес-кого регулирования / В. В. Солодовников, В. Н. Плотников, А. М. Яковлев. – М.: Машиностроение, 1985.

2 Основы проектирования следящих систем / под ред. Н. А. Лакоты. – М.: Машиностроение, 1978.

3 Гудвин, Г. К. Проектирование систем управления / Г. К. Гудвин, С. Ф. Гребе, М. Э. Сальгадо. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.

4 Дорф, Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп; пер. с англ. Б. И. Копылова. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

5 Герман-Галкин, С. Г. Matlab & Simulink: Проектирование мехатронных систем на ПК / С. Г. Герман-Галкин. – М.: Корона-Век, 2008.

6 Терехов, В. М. Системы управления электроприводов / В. М. Терехов, О. И. Осипов. – М.: Академия, 2005.

7 Белов, М. П. Автоматизированный электропривод типовых произ-водственных механизмов и технологических комплексов: учебник для вузов / М. П. Белов, В. А. Новиков, Л. Н. Рассудов. – М.: Академия, 2004.

8 Козярук, А. Е. Современное и перспективное алгоритмическое обеспе-чение частотно-регулируемых электроприводов / А. Е. Козярук, В. В. Рудаков, А. Г. Народицкий. – СПб.: СПЭК, 2004.

9 Клевцов, А. В. Преобразователи частоты для электроприводов переменного тока / А. В. Клевцов. – Тула: График и к, 2008.

10  Системы программного управления промышленными установками и робототехническими комплексами / Б. Г. Коровин [и др.]. – Л.: Энергоатом-издат, 1990.

11  Руководство по проектированию систем автоматического управления / под ред. В. А. Бесекерского. – М.: Высш. шк., 1984.

12  Красовский, А. Я. Расчет многоконтурных систем управления электро-приводами / А. Я. Красовский, М. К. Хаджинов. – Минск: БГУИР, 1996.

 

 

                                                                              Св. план 2011, поз. 35

Учебное издание

Гаврилик Татьяна Вячеславовна,

Доманов Александр Тимофеевич