Введение вспомогательного аргумента

 

Уравнения вида . Для его решение, разделим левую часть уравнения на квадратный корень из суммы его коэффициентов, т. е. на , чтобы уравнение не изменилось, на это же выражение умножим левую часть уравнения, т. е. выполним следующие преобразования:

, где

.

 

Пример 183. Решить уравнение .

 

Решение

 

Разделим и умножим левую часть уравнения на , получим уравнение:

 

,

 

,

 

Ответ: .

 

Пример 184. Решить уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение: разделим и умножим левую часть уравнения на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx, т. е. на

.

Уравнение примет вид:

 

Ответ: .

 

Замечание. Мы не совсем строго решили второе уравнение, определяющее значение вспомогательного аргумента . Из того, что  получаем .

Дело в том, что этот аргумент нами выбирается произвольно, сами. Поэтому берем лишь одно частное решение, какое нам нравится. Обычно выбирается угол в первой четверти.

 

Пример 185. Решить уравнение .

 

Решение

 

Перенесем число 2 в правую часть и разделим обе части уравнения на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx, получим:

 

.

 

Заменим . Получим уравнение

.

 

Ответ: .

 

Пример 186. Решите уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение

Пусть , получим квадратное уравнение ,

.

, значит,

, следовательно, уравнение  имеет решения.

 

.

Ответ: .

 

Пример 187. Решить уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение: .

Разделим обе части уравнения на 2, так как , получим:

.

Заменим в левой части уравнения , а в правой части уравнения . Получим уравнение:

,

 

,

 

.

 

 

Ответ:

Задание 9

 

Решите уравнение

188. .     189. .

190. . 191. .

192. . 194. .

195. . 196. .

197. . 198. .

199. .

Системы тригонометрических уравнений

200. Решите систему уравнений:

 

Решение

 

Преобразуем систему

 

 

 

 

Ответ:

201. Решите систему уравнений:

 

Решение

 

Из первого уравнения выразим x и подставим во второе уравнение системы:

Решим второе уравнение:

Отсюда находим:

.

Найдем значения x:

.

 

Ответ:

 

202. Решите систему уравнений:

 

Решение

 

Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:

 

 

Решим второе уравнение системы: .

 

Получим совокупность уравнений:

 

Найдем значения y:

.

 

Ответ:

Задание 10

Решите системы уравнений:

203.   204.   205.

 

 

206. Решить систему уравнений

 

Решение

 

Сложим почленно уравнения системы и вычтем из первого уравнения второе, получим систему уравнений:

 

 

 

Ответ:

 

Замечание. В каждом уравнении системы необходимо для множеств целых чисел использовать различные буквы!

Если бы мы использовали для множества решений двух уравнений одну букву

то после сложения-вычитания двух уравнений, получили бы решение в виде

Произошла бы "потеря решений", что недопустимо!

 

 

207. Решить систему уравнений:

Решение

 

Сложим левые и правые части уравнений системы, получим:

.

Применим к левой части уравнения формулу косинуса разности двух углов:

.

Получим уравнение: .

Вычтем из второго уравнения первое: .

Применим к левой части уравнения формулу косинуса суммы двух углов:

.

Получим уравнение: .

Из полученных двух уравнений составим систему:

;

вычитая из второго уравнения первое, найдем значения y:

.

 

Ответ:

 

208. Решить систему уравнений:

 

Решение

Сложим второе уравнение с первым, а затем вычтем из второго уравнения первое. В первом случае, применим формулу косинуса разности двух углов, а во втором косинуса суммы двух углов:

.

.

Получим новую систему уравнений:

,

.

 

Ответ: .

Задание 11

Решить систему уравнений:

209.   210.   211.

 

Ответы

к заданиям «Основные методы решения тригонометрических уравнений»

 

К заданию 1

 

29. .       33.

34. .                   35.

36.      37.

 

К заданию 2

60. .      63. .

67. .           68. .

69. .      70. .

71. .     73. .

74. .

К заданию 3

 

97.

К заданию 5

 

123. . 124. .

126. .

К заданию 6

 

139.   142. .

 

К заданию 7

 

157. . 158. .

161.

К заданию 9

 

195.   196.