Определим, входят ли эти значения в область допустимых значений.

Проверим значения .

Оба неравенства выполняются при всех , значит  - решения уравнения.

Проверим .

 значит, m может принимать значения равные: m = 4n и m = 4n + 1, отсюда находим .

 

Ответ: .

 

Пример 121. Решите уравнение .

 

Решение

 

(Это один из способов решения. Другие будут приведены ниже).

Положим , тогда , , получим систему уравнений:

.

Ответ: .

 

Задание 5

 

122. .      123. .

124. .      125. .

126. . 127. .

 

4.2. Замена

 

При такой замене через t легко выражаются  и :

.

Если левая часть тригонометрического уравнения выражается через ,  и , то можно выполнить замену переменных по формулам

                                            причем .                            (1)

Рассмотрим, например, уравнение .

Это уравнение можно привести к однородному уже известным нам способом.

Однако проще его решить с помощью замены , получим уравнение: .

Делая обратную подстановку, получим уравнение .

(К такому же результату можно придти заменив ).

Аналогично можно решать уравнения вида .

(В этом уравнении замена основана на формуле ).

Пример 128. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

.

Выполним замену: , получим уравнение:

.

.

 

Ответ: .

 

Пример 129. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулы: , получим уравнение:

.

 - эти корни не удовлетворяют условию  и являются посторонними, .

 

Ответ: .

 

Пример 130. Решите уравнение .

 

Решение

 

Область допустимых значений: .

Выполним замену: , получим:

.

- не удовлетворяет условию  и является посторонним корнем.

.

Определим значения x, которые входят в область допустимых значений.

 

Совокупность неравенств, каждое из которых выполняется при всех любых целых значениях , показывает, что все значения x входят в область допустимых значений.

 

Ответ: .

 

Пример 131. Решите уравнение .

 

Решение

 

Выполним замену: , получим:

.

;

.

 

Ответ: ; .

 

4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится

 

Пример 132. Решите уравнение .

 

Решение

Область допустимых значений: .

Выполним замену: , получим:

;

.

Определим значения x, которые входят в область допустимых значений.

Сразу ясно, что вторая группа корней не входит в область допустимых значений. Проверим первую группу корней:

 - это значит, что все значения из множества  входят в область допустимых значений.

Ответ: .

 

Пример 133. Решите уравнение .

 

Решение

 

Область допустимых значений: .

Выразим: , получим:

 - не удовлетворяет условию  и является посторонним корнем.

 - удовлетворяет уравнению.

 - эти значения входят в область допустимых значений.

Ответ: .

 

Пример 134. Решите уравнение .

 

Решение

 

Выразим: , получим:

.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

.

Ответ: .

 

Пример 135. Решите уравнение .

 

Решение

 

Выразим: , получим:

. Возведем обе части уравнения в куб, получим:

.

Ответ: .