Из истории возникновения уравнений.

Дипломная работа

Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах

Выполнила:                              

Руководитель:                          

Светлоград, 2000 г.

Содержание:

Введение:		3
Глава 1.	Теоретические аспекты обучению уравнений в 5 - 9 классах с использованием самостоятельной работы.	4
§ 1.	Из истории возникновения уравнений.	4
§ 2.	Содержание и роль линий уравнений в современном школьном курсе математики.	8
§ 3.	Основные понятия линий уравнения.	11
§ 4.	Обобщенные приемы решения уравнений с одной переменной в школьном курсе алгебры.	23
§ 5.	Методика изучения основных классов уравнений и их систем.	28
Глава II.	Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений.	36
§ 1.	Организация самостоятельной работы при обучении решению уравнений.	36
§ 2.	Исследовательская работа	69
Заключение		73
Библиография		74
Приложение		75

Введение

 

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений.

Проблема методики формирования умений самостоятельной работы является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности учащихся. Для этого требуется четко определить систему умений и навыков, овладение которыми приводит к самостоятельному выполнению работ различного характера. Важным также является раскрытие процесса формирования умений и навыков самостоятельной работы при обучении курсам математики, при этом необходимо показать, как в ходе преподавания математики учитель может осуществить формирование у учащихся отмеченных выше умений и навыков.

Поэтому я решила работать над данной темой дипломной работы: «Самостоятельная деятельность, как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах.

Я хочу в своей дипломной работе рассмотреть вопросы связанные с изучением уравнений в курсе математики и как при помощи схемной работы улучшить качество усвоения материала дипломной темы.

Поэтому при работе над дипломной работы я перед собой поставила следующие цели и задачи.

1. Изучить психолого - педагогическую и методическую литературу, Касающуюся изучению уравнений. Проанализировать школьные учебники и выделить в них место уравнений.

2. Составить конспекты уроков обучения решения различных видов уравнений с использованием самостоятельной работы.

3. Разработать самостоятельных работ для учащихся по различным темам уравнений.

Провести наблюдения за использованием класса в процессе самостоятельной работы.

Глава I. Теоретические аспекты обучению уравнений в 5 - 9 классах с использованием работы

Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики

 

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

a) уравнение как средство решения текстовых задач;

b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Каждое кз этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно - методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями х^k = b ( k - натуральное число, большее 1) и a^x=b.

Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х² = b, где b— неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

С функциональной линией непосредственно связан также и небольшой круг вопросов школьного курса математики, относящихся к дифференциальным и функциональным уравнениям. Сама возможность возникновения дифференциального уравнения кроется в наличии операции дифференцирования (может быть поставлен вопрос о нахождении для заданной функции ¦ другой функции F, такой, что F^' (x)=f (х)).

Однако сама по себе возможность выделения дифференциальных уравнений в школьном курсе математики еще не следует из того факта, что имеются формальные основания для их рассмотрения. Как известно, теория дифференциальных уравнений обладает большой сложностью. В школьном обучении эта теория представлена лишь своими начальными частями, которые не образуют связного целого, а относятся к различным конкретным, по большей части прикладным вопросам.

По-видимому, понятие дифференциального уравнения допускает более широкое представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос является открытой методической проблемой.

В отличие от дифференциальных функциональные уравнения (неизвестным в которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с этим классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении показательной функции, в связи с понятием обратной функции и др.

В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.

 

Основные понятия линии уравнений

Ход урока.

II. Сообщение темы и цели.

-Сегодня, на уроке мы познакомимся с уравнениями нового вида - «Линейными уравнениями с двумя переменными».

 

V.Первичное закрепление.

-Что же называется линейным уравнением с двумя переменными?

-Выполним № 1092 на странице 190 устно.

-Прочитай задание.

-Является ли первое уравнение 3х-у=17 линейным? (Да).

-Почему? (Т.к. имеет вид ах+ву=с)

-А второе упражнение? (Нет).

-Почему? (Т.к. уравнение х²- 2у=5 не приводится к виду ах+ву=с, х имеет показатель степени 2).

(Далее аналогично).

-А теперь запишите № 1094.

-Читай задание.

-Как ответить на этот вопрос? (Поставить значение х и у в уравнение. Если получится верное равенство, то х и у является решением уравнения)

-Все решайте в тетрадях, а……. у доски.

х + у=6

6=6 – верное равенство.

Ответ: да.

-А какие еще числа могут быть решениями этого уравнения х+у=6. (Дающие в сумме 6: 4 и 2, 3 и 3 и т.д.).

-Запишите любые 2 решения этого уравнения.

-Не забывайте, что значение х пишется на первом месте а у – на втором месте.

 

Самостоятельная работа.

-А теперь выполним № 1096. запишите.

-Прочитай задание.

-Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос? (Подставить значения х и у в уравнение и посмотреть, получится ли верное равенство).

а).Организация самостоятельной работы.

-Все решают в тетрадях, а к доске пойдут Лена и Оля.

-Саша проверит первые 2 пары, а Катя вторые 2 пары.

-А потом проверим.

б) Проведение самостоятельной работы.

(3; 1)                                          (0; 10)

3*3+1>10                          3*0+10=10.

10=10 – верное равенство 10=10 верное равенство

Ответ: является                 Ответ: является

(2; 4)                                  (3; 2,5)

3*2+4=10                          3*3+2.5=10

10=10 – верное равенство 11,5=10 – неверное равенство

Ответ: является                 Ответ: не является.

 

в) Проверка самостоятельной работы.

-Давайте проверим правильно ли выполнила Оля.

-У кого другой ответ?

-А Лена?

-У кого другой ответ?

-Молодцы. Садитесь.

-А теперь выполним № 1099.

-Прочитай задание.

-Что нужно сделать, чтобы выразить у через х? (Представить, что х известное число и найти у)

-Пойди к доске реши с объяснением, а все решают в тетрадях.

4х-3у=12.

(Одночлен 3у является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность 3у=4х-12.

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

-Молодец. Садись.

А теперь выполним пункт б, Сережа иди к доске.

4х-3у=12.

(Одночлен 4х является неизвестным уменьшаемым, чтобы его найти, надо к разности прибавить вычитаемое: 4х=12+3у. Разделим обе части уравнения на 4 и получим:  

-Правильно. Молодец. Садись.

 

VI. Подведение итогов.

-Какой вид имеет линейное уравнение с двумя переменными? (ах+ву=с).

-Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

-Приведите примеры таких уравнений.

-Какими свойствами обладают уравнения с двумя переменными?

2 К тренировочным относятся задания на распознавание различных объектов и их свойств. Тренировочные самостоятельные работы состоят из однотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения, правила. Конечно, эта работа мало способствует умственному развитию детей, но она необходима, так как позволяет выработать основные умения и навыки и тем самым создать базу для дальнейшего изучения математики.

При выполнении тренировочных самостоятельных работ учащимся еще необходима помощь учителя. Можно разрешить пользоваться и учебником, и записями в тетрадях, таблицами и т. п. Все это создает благоприятный климат для слабых учащихся. В таких условиях они очень легко включаются в работу и выполняют ее.

 

Тема:	Решение текстовых задач при помощи систем уравнений, содержащих уравнения второй степени.
Цель:	Расширение и углубление знаний, формирование умений решать системы, повышенной сложности, уметь составлять системы по условию задачи: Развивать устойчивый интерес к предмету, умение самостоятельно работать; Воспитывать умение осуществлять индивидуальную мыслительную деятельность;
Оборудование:	Учебник, «сборники заданий по математике» Кузнецов Л. В.;

 

Ход урока:

I. Организационное начало урока:

II. Сообщение темы и цели: - Сегодня на уроке продолжим решать системы уравнений, но будем учиться сами составлять по задаче систему.

III. Актуализация знаний учащихся: - Запишите число, тему.

1) выразить одну неизвестную через другую:

1. 3х-у=3               -у=3-3х               у=3х-3	2. у+2х=2               2х=2-у
2) решить систему методом подстановки:
- Повторим алгоритм.               Решим:

Решим квадратное уравнение:

  

   или

или

Ответ: (4; -14); (-1; 1)

 

IV. Закрепление

№ 498

-Прочтите задачу

-Как обозначим числа? (х, у)

-Если сумма? (х+у=18)

-Произведение чисел? (х*у=65)

-Найти что? (эти числа)

-Какую систему получим?

-Каким методом будем решать?

     (записать пояснение: Пусть первое число – х и т. д.)

-К доске пойдет….

 

    

 

Решим квадратное уравнение:

 

 

Ответ: числа 5 и 13.

 

№504

-Прочтите условие.

-Какой формы участок? (Прямоугольной)

-Пусть длина – х, ширина – у.

-Площадь прямоугольника? (S=ав)

-Нужно перевести в одну единицу измерения: км. в м., га. в м²;

-Если участок прямоугольной формы, то какое уравнение составим?

(2(х+у)=1000)

-Площадь участка 60000 м²?    (ху=60000)

-Запишем условие к задаче:

Пусть длина участка – х, ширина – у. Так как участок надо огородить забором длиной 1000м. Так как площадь участка 60000 м², то составим уравнение: ху=60000. Получим систему:

 

Þ

 

 

 

Ответ: длина – 300м., ширина – 200м.

№ 1

-Послушайте условие:

«Одно из двух положительных чисел на 3 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 70?»

-Пусть числа х и у.

-Если известно, что одно больше на 3. Как запишем? (х=у+3)

-Произведение чисел? (ху=70)

-Составим систему:

             

 

 

    Решим квадратное уравнение:

так как числа положительные, то 10 и 7.

Ответ: 10 и 7.

 

2) самостоятельная работа. (15 мин.)

-У вас на партах лежат сборники заданий и у каждого номер индивидуального задания.

-Запишите: «Самостоятельная работа»., стр…   №….

 

1.	С. 15, в-1, № 3 С. 11, в-1, №4	2.	С. 20, в-1, № 5 С. 19, в-1, №4
3.	С. 28, в-1, № 6 С. 11, в-1, №4	4	С. 35, в-1, № 3 С. 19, в-1, №4
5.	С. 48, в-1, № 6 С. 19, в-1, №4	6	С. 21, в-1, № 6 С. 19, в-2, №4
7.	С. 15, в-2, № 3 С. 11, в-2, №4	8.	С. 20, в-2, № 5 С. 19, в-2, №4
9.	С. 28, в-2, № 6 С. 11, в-2, №4	10.	С. 35, в-2, № 3 С. 19, в-2, №4
11.	С. 48, в-2, № 6 С. 19, в-2, №4	12.	С. 21, в-2, № 6 С. 11, в-1, №4
13.	С. 29, в-1, № 4 С. 11, в-1, №4	14.	С. 29, в-2, № 4 С. 11, в-1, №4
15.	С. 30, в-2, № 6 С. 11, в-2, №4	16.	С. 31, в-2, № 6 С. 19, в-1, №4
17.	С. 30, в-1, № 6 С. 19, в-2, №4	18.	С. 31, в-1, № 6 С. 11, в-1, №4

 

-Оцениваться будут каждое задание отдельно.

 

Ответы

1.	1) (-5; 2); (2; -5)	10.	1) (5; -3); (-3; 5)
2.	1) (-2; 1); (1; -2)	11.	1) (1; -3); (3; -1)
3.	1) (5; -3); (-3; 5)	12.	1) (-7; 11); (3; 1)
4.	1) (8; 4); (4; 8)	13.	1) (7; 6); (-3; -4)
5.	1) (2; -4); (4; -2)	14.	1) (-7; -9); (3; 1)
6.	1) (-7; 9); (4; -2)	15.	1) (-3; 7); (2; 2)
7.	1) (-3; 4); (-4; 3)	16.	1) (2; 4); (4; 2)
8.	1) (2; 3); (3; 2)	17.	1) (-2; -3); (1; 0)
9.	1) (-2; 7); (7; -2)	18.	1) (6; -4); (-4; 6)

V. Подведение итогов:

-сколько существует способов решения систем уравнений?

-сдайте тетради.

3 К закрепляющим можно отнести самостоятельные работы, которые способствуют развитию логического мышления и требуют комбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают, насколько прочно, осмысленно усвоен учебный материал. По результатам проверки заданий данного вида учитель определяет, нужно ли еще заниматься данной темой.

Тема: Графический способ решения уравнений.

 

Цель:    добиться осознанного усвоения и запоминания графического

способа решения уравнений, сформировать практические умения и навыки;

Воспитывать аккуратность;

Развивать наглядные представления;

 

Оборудование: табличка «абсцисса», таблица с графиками.

 

Ход урока.

II. Сообщение темы и цели.

- Сегодня мы с вами научимся решать уравнения с помощью графиков.

 

Устный счет.

 

а) Что является графиком данной функции:

y=2х (линейная функция, график- прямая)

y=х² (график – парабола, ветви направлены вверх)

y=3/x (гипербола, ветви расположены в I и III четверти)

y=х³(кубическая парабола, расположена в I и III четверти)

 

б) По чертежу определите общий вид уравнения, который задает эту функцию.

 

 

(I - кубическая парабола у=х³; II – парабола – у=х³; III – прямая, у=кх+в; IV гипербола у= k/x

в) Заполнить таблицу: у= 2х²-5

 

x	-6	-2	0	1	2
y	67	3	-5	-3	3

 

Объяснение материала.

- Откройте тетради. Запишите число, тему урока.

- Рассмотрим уравнение x²=6/x. Если обе части этого уравнения умножить на х, то получим уравнение х³=6, способ решения которого нам неизвестен. Однако с помощью графиков можно найти приближенные значения корней уравнения x²=6/x.

Построим в одно координатной плоскости графики функции у=х² и у =6/x.

 

1. у=х^{2 -}         Д(у)= R. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. к>0. Составим таблицу:

 

x	-2	-1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

 

2. y=6/x     -   Д(у) – любое, кроме 0. Графиком является гипербола, ветви которой находятся в I и III  четвертях.

Составим таблицу значений:

 

x	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
y	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1

 

 

 

Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения есть, то значение переменной х, при котором выражение х² и 6/x принимают равные значения. Значит, абсцисса точки пересечения графиков функций y=x² и y=6/x является корнем уравнения (x²=6/x). Из рисунка видно, что приближенное значение корня равно 1,8. Примененный способ решения уравнения называют графическим. Абсцисса точки пересечения – корень уравнения.

-Запишите это предложение в тетрадь.

Посмотрите как пишется слово абсцисса.

V.Закрепление.

- Найдите № 622 стр. 133. Прочитайте задание. К доске пойдет …, а остальные выполняют в тетрадях.

a) х²=х+2

y=х²              у=х+2

 

x	-1	-2	0	1	2		x	0	1
y	1	4	0	1	4		y	2	3

 

 

2 и - 1 – являются решением уравнения

Ответ: х=2, х= -1,

б) Посмотрите на следующее уравнение

x²+1,5х-2,5=0

- Какие преобразования мы должны выполнить?

y=х²      у= -1,5х+2,5

- К доске пойдут…..,..… Одна составляет таблицу для у=х², другая

у=-1,5х+2,5.

- Затем графики постройте в одной координатной плоскости и найдете точки пересечения.

 

x	-1	-2	0	1	2		x	0	1
y	1	4	0	1	4		y	2,5	1

 

Теперь стройте графики.

 

 

 

1 и – 2,5 – является решением уравнения.

Ответ: х=1, х = - 2,5.

 

    Самостоятельная работа.

-А теперь найдите № 624. Сейчас я посмотрю, как вы усвоили материал. Два человека решают на переносных досках. Затем, проверим.

Первый вариант решает 8/x=-x+6, второй 8/x=x².

 

 

Вариант I

 

y=8/x                                                    y=-x+6

 

x	-1	-2	-4	1	2	4	8			x	0	1
y	-8	-4	-2	8	4	2	1			y	6	5

2 и 4 – является решением уравнения

ответ: х=2      х=4

 

Вариант II
y=8/x                                     y=x^2
x	-1	-2	-4	1	2	4	8			x		-1	-2	0	1	2
y	-8	-4	-2	8	4	2	1			y		1	4	0	1	4

 

2 – является решением уравнения

ответ: х=2

 

VI. Подведение итогов.

- Что же является корнем уравнения? (абсцисса точки пересечения)

- Какие преобразования можно сделать, если уравнение имеет вид: х²+5х-7=0.

 

VII. Задание на дом.

-Откройте дневники. Запишите задание на дом? № 627 (а) и №625(б)

-Посмотрите. Кому что не понятно?

4 Очень важны так называемые повторительные (обзорные или тематические) работы. Перед изучением новой темы учитель должен знать, подготовлены ли школьники,.есть ли у них необходимые знания, какие

пробелы смогут затруднить изучение нового материала.

 

Тема:	Решение задач.
Цель:	1. Проверить знания детей, их умение решать задачи при помощи рациональных уравнений;                 Познакомить с задачами на работу. 2. Развивать вычислительные навыки, математическую и речь, логическое мышление. 3. Воспитывать интерес к предмету, трудолюбие, активность, самостоятельность, дисциплинированность.
Оборудование:	Учебник, «Алгебра - 8», 1994 г.

 

План урока.

I. Организационный момент (2 мин.)

II. Сообщение темы и цели (3 мин.)

III. Закрепление изученного (15 мин.)

IV. Изучение нового материала (20 мин.)

V. Подведение итогов (3 мин.)

VI. Задание на дом (2 мин.)

 

Ход урока

I.  Организационный момент

II. Сообщение темы и цели

-Мы продолжаем работу по теме «Решение задач»

Сейчас напишем самостоятельную работу, решим задачи на движение. А после самостоятельной работы я объясню, как решать задачи на

 

В- I

                                          n                                        S

Предполагаем                  х км./ч.           t/x          18 км.

Или                                   (х+1/2)км./ч.  18/(х+(1/2)), на ½ ч. быстрее

 

Пусть х км./ч. – скорость, с которой предполагает идти турист, тогда (х+1/2) км./ч. скорость, с которой они шли. Зная, что туристы должны были пройти 18 км., и что они прошли намеченный путь на ½ ч. быстрее, составим и решим уравнение:

 

                   0.3=2х(х+1/2)

18*2(х+1/2)-18*2х=1х(х+1/2)

 

36(х+1/2)-36х=х(х+1/2)

 

36+18-36=х²+1/2х

 

х²+1/2х-18=0

 

Д=в²-4ас=1/4-4*(-18)=1/4+72=72*1/4=289/4

 

 

- посторонний корень.

 

Проверка: если х=4, то 2*4(4+1/2)=8*4(1/2)=32/2=16

Ответ: туристы предполагали идти со скоростью 4 км/ч.

В- II

                                          n            t                      S

по течению                       (х+3) км./ч.                            6 км.

                                                                      1ч.

озеро                                 х км./ч.                             10 км.

 

река                         3 км/ч.

 

 

Пусть скорость лодки собственная х км/ч., тогда скорость лодки по течению (х+3) км/ч. Зная, что по течению реки лодка прошла 6 км., а по озеру 10 км. затратив на весь путь 1час, составим и решим уравнение:

            0.3=х(х+3)

 

6х+10(х+3)=х(х+3)

 

6х+10(х+3)=х(х+3)

 

6х+10х+30=х²+3х

 

х²+3х-16х-30=0

 

х²-13х-30=0

 

Д=в²-4ас=169-4*(-30)=169+120=289>0,2 к.

 

 

- посторонний корень.

 

Проверка: если х=15, то 15(15+3)=15*18=270.

Ответ: лодка ехала по озеру со скоростью 15 км/ч.

 

 

В- III

                                          n            t                      S

моторная лодка      х км/ч.

 

по течению                       (х+3) км./ч.                            54 км.

                                                                      7ч. 30 мин.

против течения       (х-3) км./ч.                   54 км.

 

течение реки            3 км/ч.

 

Пусть х км./ч. скорость лодки, тогда (х+3) км/ч. скорость лодки по течению и (х-3) км/ч. скорость лодки против течения реки. Зная что лодка прошла 54 км. по течению и вернулась обратно, затратив на весь путь 7ч 30 мин., составим решим уравнение:

 

7ч. 30 мин.=7,5 часа

 

              0,3=(х+3)(х-3)

 

54(х-3)+54(х+3)=(7,5х+22,5)(х-3)

 

54х-162+54х+162=7,5-22,5х+22,5х-67,5

 

7,5х²-108х-67,5=0

 

1,5х²-21,6х-13,5

 

Д=в²-4ас=(-21,6)²-4*1,5*(-13,5)=466,56+81=547,56>0

 

Проверка: если х=15, то (15+3)(15-3)=18*12=216

Ответ: скорость моторной лодки в стоячей воде 15 км/ч.

V Подведение итогов

-Итак мы разобрали как решаются задачи на работу.

-Все понятно?

-Оценки за самостоятельную работу вы узнаете на следующем уроке.

 

VI Задание на дом

№ 616, № 620.

5. Самостоятельными работами развивающего характера могут быть домашние задания по составлению докладов на определенные темы, подготовка к олимпиадам, научно-творческим конференциям, проведение в школе «дней математики», сочинение математических игр, сказок, спектаклей и др.

На уроках — это самостоятельные работы, требующие умения решать исследовательские задачи.

 

Тема: Обобщающий урок по теме "Квадратные уравнения"

 

Цель:    Закрепить теоретические и практические знания и умения

учащихся при решении квадратных уравнений.

Развивать речь, мышление, самостоятельность.

Воспитывать интерес к предмету, усердие и активность.