Расчет прочности нормального сечения изгибаемого элемента. Элементы прямоугольной формы сечения.

Далее будем говорить про балки, подразумевая все изгибаемые элементы.

Разрушение нормальных сечений происходит от действия изгибающих моментов. При постоянном поперечном сечении и постоянном армировании балки, достаточно расчетом и конструированием обеспечить ее прочность на действие максимального изгибающего момента. Если сечение балки меняется по ее длине (изменяется высота или ширина) или уменьшается армирование, следует также проверить прочность в местах изменения сечения, на действие соответствующих этим местам изгибающих моментов.

 

Рис.3.6. Усилия, возникающие в нормальном сечении балки при изгибе

 

В расчетах приняты следующие обозначения (рис. 3.6): b – ширина балки; h – высота балки; R_b – расчетное значение призменной прочности бетона; А_s – площадь сечения рабочей продольной арматуры; R_s – расчетное сопротивление растянутой продольной арматуры; М – внешний изгибающий момент (определяют по эпюре моментов).

От действия изгибающего момента, в элементе появляются две зоны бетона – сжатая и растянутая, границей зон является нейтральная ось. Высота сжатой зоны бетона – х. Равнодействующая сжимающих сил в сжатой зоне бетона N_b = R_bbx; равнодействующая растягивающих сил в арматуре N_s = R_sА_s.

Равнодействующие в бетоне и арматуре образуют внутренний момент сил, плечом которого является расстояние z_b.

Считается, что нижняя часть бетона, высотой от крайнего растянутого волокна балки до центра тяжести сечения арматуры – а, не работает. Рабочая высота элемента – h ₀ = h – а.

Начиная расчет, назначают размеры сечения балки: принимая ее высоту h в пределах от 1/8 l до 1/12 l, где l – длина балки; ширину балки принимают от 0,3 h до 0,5 h. Назначают классы бетона и арматуры. Чаще всего расчет заключается в определении требуемой площади растянутой арматуры балки и последующего конструирования поперечного сечения. Расчет площади  продольной растянутой арматуры производим по формулам: (3.5) или (3.6)

                                                                                    (3.5)

                                                                                     (3.6)                                                                     

где ξ – относительная высота сжатой зоны бетона, ξ= х / h ₀; η – коэффициент, значения ξ, η – можно определять по табл. 3.9 Приложения 3 в зависимости от значения коэффициента А ₀

                                                            (3.7)

коэффициент А ₀ не должен превышать граничного значения А _{0 R} (табл. 3.8 Приложения 3). Если значение коэффициента А ₀> А _{0 R} следует увеличить сечение балки или изменить материалы.

Коэффициент ξ можно определить не по табл. 3.9 Приложения 3, а вычисляя его значение через коэффициент А ₀ по формуле

                                                                                      (3.8)

После назначения арматуры необходимо проверять процент армирования сечения элемента – m _s. Процент армирования сечения балки должен быть не меньше минимального процента армирования

                                                                 (3.9)

В ряде случаев приходится решать обратную задачу, определять несущую способность балки, то есть находить изгибающий момент, который способен выдерживать элемент (см. пример 3.9). Такие задачи решают через нахождение значения относительной высоты сжатой зоны бетона ξ из формулы (3.5) ξ = R_sА_s / R_bbh ₀; величина ξ ограничивается своим граничным значением ξ _R (табл. 3.8 Приложения 3). Через ξ определяют значение коэффициента А ₀ (табл. 3.9 Приложения 3) и используя формулу (3.7) находят изгибающий момент сечения M _сеч = А ₀ R_bbh ₀², который способен выдерживать элемент. В случае, если ξ > ξ _R, в расчет принимают значение коэффициента А ₀ = А _{0 R} .

 

 

Рис.3.7. Балки не прямоугольной формы, рассчитываемые как прямоугольные

 

Некоторые элементы имеют фактические сечения, которые после упрощения можно представить как прямоугольные (рис. 3.7) и, соответственно, рассчитывать как элементы прямоугольной формы сечения.

 

Примеры расчета к параграфу 3.4.1.

Пример 3.7. Назначить сечение балки и рассчитать ее продольную арматуру. Балка опирается на стену и на колонну (рис 3.8).

 

Рис.3.8. Опирание балки (а) и расчётная схема балки и эпюры

моментов и поперечных сил (б). К примеру 3.7

 

Нагрузки, действующие на балку, приняты по примерам 1.11, 1.12: q = 35,73 кН/м, γ _n = 0,95. Длина балки (номинальный размер) l = 6000 мм. Длины опорных площадок балки на стене и колонне одинаковы l _оп = 200 мм.

Решение.

1. Находим расчетную длину балки

                       l ₀ = l– 2(l _оп/2) = 6000 – 200 = 5800 мм = 5,8 м.

2. Определяем максимальные значения усилий:

М _max = (q γ _n) l ₀²/8 = 35,73·0,95·5,8²/8 = 142,7 кН м = 14270 кН см;

Q _max = (q γ _n) l ₀ /2 = 35,73·0,95·5,8/2 = 98,4 кН.

3. Задаемся размерами сечения балки: высота h назначается в пределах от 1/8 l до 1/12 l, принимаем h = 500 мм; ширину балки b назначают 0,3 h – 0,5 h, принимаем b = 200 мм. Дальнейшие расчеты проводим в сантиметрах.

4. Принимаем класс прочности бетона В20, класс продольной рабочей арматуры А400. Определяем по табл. 3.2, 3.3 Приложения 3 расчетные сопротивления:

             R_b = 11,5 МПа = 1,15 кН/см²,        R_s = 355 МПа = 35,5 кН/см².

5. Задавшись расстоянием от низа балки до центра тяжести арматуры а = 4 см, определяем рабочую высоту сечения балки h ₀ = h – а = 50 – 4 = 46 см.

6. По формуле (3.7) определяем значение коэффициента

7. Устанавливаем граничное значение коэффициента А ₀, который обозначается А _{0 R} и если значение коэффициента меньше его граничного значения продолжаем расчет, если больше – увеличиваем высоту балки. Определяем значения ξ; η (табл. 3.8, 3.9 Приложения 3).

А ₀ = 0,293, что меньше   А _{0 R} = 0,390, продолжаем расчет; по ближайшему значению А ₀, которое имеется в таблице, определяем ξ = 0,36; η = 0,82.

8. Из формулы (3.5) или из формулы (3.6) определяем требуемую площадь сечения продольной рабочей арматуры:

 

 

9. Задаемся количеством стержней продольной рабочей арматуры, которая ставится в растянутую зону бетона (в нашем примере растянутая зона расположена внизу балки) и определяем диаметры арматуры (табл. 3.7 Приложение 3). Арматура обычно располагается в один или два ряда по высоте. Принимаем 3 стержня диаметром d_s = 22 мм, площадь арматуры А_s  = 11,4 см² (принятая площадь арматуры должна быть не меньше, чем требуется по расчету). Если не устраивают подобранные диаметры арматуры их можно изменить, например, назначив: 4 стержня диаметром 20 мм, А_s  = 12,56 см², или 2 стержня диаметром 28 мм, А_s  = 12,36 см².

10. Проверяем процент армирования по формуле (3.9)

 значение фактического процента армирования больше минимального, условие выполняется.

11. Конструируем сечение балки (рис. 3.9).

- Назначаем продольную конструктивную арматуру и располагаем ее в сжатой зоне бетона. Площадь конструктивной арматуры А'_s принимается равной 10% от площади продольной растянутой арматуры А'_s = 0,1 А_s = 0,1·11,4 = 1,14 см², принимаем 3 стержня диаметром d_sс = 8 мм, площадью сечения А'_s  = 1,51 см².

- Назначаем диаметры поперечной арматуры d_sw. Учитывая требования свариваемости меду собой стержней арматуры, диаметр поперечных стержней назначают не менее ¼ от диаметра продольной рабочей арматуры

d_sw = 0,25 d_s = 0,25·22 = 5,5 мм, принимаем, с округлением в большую сторону d_sw = 6 мм. Площадь сечения всех трех поперечных стержней попадающих в нормальное сечение балки А _sw = 0,86 см². В дальнейшем, поперечные стержни будут проверены расчетом (см. подраздел 3.4.3).

Рис.3.9. Армирование поперечного сечения балки. К примеру 3.7

 

- Определяем величину защитного слоя бетона для продольной рабочей арматуры (табл. 3.4 Приложение 3): с учетом примечания № 1 к таблице 3.4 защитный слой может быть принят а_b = 15 мм, но с учетом примечания № 3 он не может назначаться меньше диаметра арматуры – 22 мм. Принимаем с округлением до 5 мм в большую сторону а_b = 25 мм.

- Определяем величину защитного слоя бетона для продольной конструктивной арматуры, защитный слой принят а_b = 15 мм, что больше ее диаметра.

Пример 3.8. Рассчитать сборные железобетонные конструкции: балконную плиту и балку Б-1 (рис. 3.10).

Рис.3.10. Конструкция балкона. К примеру 3.8

 

Нагрузка, действующая на 1 м² плиты q ₁ = 4,8 кПа, γ _n = 1,0. Толщина плиты t = 120 мм, ширина b = 2,5 м, длина l = 4,0 м. Удельный вес железобетона γ_жб = 25 кН/м³. Плита, опирается на железобетонные консольные балки переменного сечения, их высота меняется, от 100 мм на конце, до 250 мм на опоре; ширина балок 150 мм.

Решение.

Расчет плиты

1. Определяем нагрузку: - от веса 1 м² плиты q _пл = t γ_жбγ _f = 0,12·25·1,1 = 3,3 кПа;

- суммарная нагрузка на квадратный метр плиты

q _(м2) = q ₁ + q _пл = 4,8 + 3,3 = 8.1 кПа;

- нагрузка на погонный метр плиты собранная со всей ее ширины

q = q _(м2) b = 8,1·2,5 = 20,25 кН/м.

2. Принимаем расчетную схему плиты (рис. 3.11, а) и определяем усилия принимая l ₁ = 0,6 м, l ₂ = 2,8 м:

              

Рис.3.11. Расчётная схема балконной плиты и эпюра моментов (а) и

расчётные сечения плиты (б). К примеру 3.8

 

- опорный момент М _оп = (q γ _n) l ₁²/2 = 20,25·1.0·0,6²/2 = 3,645 кН м = 364,5 кН см;

- пролетный момент

М _пр = (q γ _n) l ₂²/8 – М _оп = 20,25·1,0·2,8²/8 – 3,645 = 16,2 кН м = 1620 кН см.

3. Принимаем класс прочности бетона В15; класс арматуры В500. Расчетные сопротивления: R_b = 8,5 МПа = 0,85 кН/см²; R_s = 415 МПа = 41,5 кН/см².

4. Растянутая и сжатая зоны бетона по длине плиты меняются местами. Над опорами растянутая зона бетона располагается в верхней части сечения плиты, а в пролете - в нижней части сечения. Соответственно изменяется положение рабочей высоты h ₀ (рис. 3.11, б).

Принимаем расстояние от края элемента до центра тяжести арматуры а = а' = 3 см. Рабочая высота сечения h ₀ = h – а = 12 – 3 = 9 см. Ширина расчетного сечения плиты b = 250 см.

5. Рассчитываем сечение над опорой (верхнюю продольную рабочую арматуру), по формуле (3.7) определяем значение коэффициента А ₀

                              

По табл. 3.8 Приложения 3 устанавливаем граничное значение коэффициента и проверяем условие А ₀ = 0,022 < А _{0 R} = 0,376, условие выполняется, продолжаем расчет; в табл. 3.8 Приложения 3 по ближайшему значению коэффициента А ₀ определяем коэффициент η = 0,99. Из формулы (3.6) определяем требуемую площадь арматуры

                                         

                                                                          

6. Рассчитываем сечение в пролете (нижнюю продольную рабочую арматуру): по формуле (3.7) определяем значение коэффициента А ₀

значение коэффициента А ₀ = 0,094 < А _{0 R} = 0,376, условие выполняется, продолжаем расчет; коэффициент η = 0,95; из формулы (3.6) определяем требуемую площадь арматуры

                                           

 

Принимаем шаг арматуры в арматурной сетке s = 200 мм, устанавливаем количество стержней арматуры в сечении,  принимаем n_s = 14 стержней арматуры; на один стержень приходится площадь арматуры: над опорой А_{s ,1 ст} = А_s / n_s = 0,99/14 = 0,071 см²; в пролете А_{s ,1 ст} = А_s / n_s = 4,53/14 = 0,324 см². Принимаем по сортаменту (табл. 3.7 Приложение 3) продольную арматуру: над опорой (сетка С-2) арматурные стержни (14 ø 3 мм, В500, с шагом постановки 200 мм,   А_{s ,1 ст} = 0,071 см²); - в пролете (сетка С-1), арматура (14 ø 8 мм, с шагом постановки 200 мм,  В500, А_{s ,1 ст} = 0,503 см²) см. рис. 3.12.

 

 

Рис.3.12. Армирование плиты. К примеру 3.8:

1 – нижняя арматурная сетка С-1; 2 – верхняя арматурная сетка С-2

 

Защитные слои бетона назначаем с учетом того, что плита сборная, работает на открытом воздухе, а_b = а'_b = 25 мм.

Проверяем процент армирования по формуле (3.9)

условие выполняется.

Расчет балки Б-1

7. Расчетную схему и эпюру моментов см. рис. 3.13, а.

Рис.3.13. Расчётная схема консольной балки и эпюра моментов (а) и

расчётное сечение балки (б). К примеру 3.8

 

Действующая на балку нагрузка, собирается с грузовой площади длиной l _гр = 2,0 м (рис. 3.10). Нагрузка от веса балки q _б = bh _среднγ_жбγ _f = 0,15·0,175·25·1,1 = 0,7 кН/м; Суммарная погонная нагрузка q = q _(м2) l _гр + q _б = 8,1·2,0 + 0,7 = 16,9 кН/м.

Максимальный изгибающий момент в консольной балке М = (q γ _n) l ₀²/2 = 16,9·1,0·2,5²/2 = 52,8 кН м = 5280 кН см.

8. Производим расчет арматуры: рабочая высота балки h ₀ = h – а = 25 – 4 = 21 см (рис. 3.13, б); класс прочности бетона балки В25: R_b = 14,5 МПа = 1,45 кН/см²; класс продольной арматуры балки А400, R_s = 355 МПа = 35,5 кН/см²; определяем по формуле (3.7) коэффициент

                         

А ₀ = 0,550 > А _{0 R} = 0,390; условие не выполняется, коэффициент получился больше своего граничного значения. Увеличиваем сечение балки, принимаем:   b = 20 см, Высоту принимаем изменяющейся от 150 на конце балки до 300 мм в заделке, в расчетном сечении высота h = 30 см, h ₀ = h – а = 30 – 4 = 26 см. (Незначительным изменением нагрузки от увеличения сечения балки можно пренебречь).

                                

А ₀ = 0,269 < А _{0 R} = 0,390, условие выполняется;   

η = 0,84,

 

 

Принимаем верхнюю продольную растянутую арматуру (2 ø 22 мм, А400, А_s = 7,6 см²).

Определяем площадь нижней продольной арматуры расположенной в сжатой зоне балки (берем 10% от площади растянутой арматуры) А'_s = 0,1 А_s = 0,1·7,6 = 0,76 см², принимаем (2 ø 8 мм, А400, А'_s = 1,01 см²).

Назначаем диаметры поперечных стержней d_sw ≥ 0,25 d_s = 0,25·22 = 5,5 мм, принимаем (ø 6 мм, А400), площадь сечения двух поперечных стержней находящихся в сечении балки А_sw = 0,57 см².

Рис.3.14. Армирование балки. К примеру 3.8

Назначаем защитные слои бетона а_b = а'_b = 30 мм. Конструируем сечение (рис. 3.14). Проверяем процент армирования по формуле (3.9)

условие выполняется.

Пример. 3.9. Определить несущую способность железобетонной балки. Сечение балки см. рис. 3.15.

 

Рис.3.15. Сечение балки. К примеру 3.9

 

Класс прочности бетона В20; продольная растянутая рабочая арматура (2 Ø 28, А500).

Решение.

1. По сортаменту арматуры (табл. 3. 7 Приложение 3) устанавливаем площадь сечения растянутой арматуры А_s = 12,32 см². Рабочая высота сечения балки

  h ₀ = h – а = 35 – 4 = 31 см.

2. Определяем расчетные сопротивления бетона и арматуры: R_b = 11,5 МПа =            1,15 кН/см²; R_s = 435 МПа = 43,5 кН/см² (табл. 3.2, 3.3 Приложение 3).

3. Находим из формулы (3.5) относительную высоту сжатой зоны бетона       ξ = R_sА_s /(R_bbh ₀) = 43,5·12,32/(1,15·25·31) = 0,6; ξ > ξ _R = 0,493 (табл. 3.8 Приложение 3), так как значение коэффициента ξ больше его граничного значения, при дальнейшем расчете принимаем А ₀ = А _{0 R} = 0,371.

4. Используя формулу (3.7) находим несущую способность сечения балки

M _сеч = А ₀ R_bbh ₀² = 0,371·1,15·25·31² = 10250 кН см = 102,5 кН м.

 

 

Задачи для самостоятельной работы к параграфу 3.4.1.

Задача 3.10. Подобрать арматуру и запроектировать сечение сборной железобетонной балки, которая работает внутри помещения при нормальной влажности. Балка своими концами свободно опирается на стены. Расчетная длина балки l ₀ = 3,8 м, высота h = 350 мм, ширина b = 150 мм. На балку действует погонная расчетная нагрузка, с учетом веса балки q = 15 кН/м,     γ _n = 1,1. Класс прочности бетона В15, класс продольной рабочей арматуры А500, конструктивная арматура и поперечные стержни из арматуры класса В500. Данные решения задачи 3.10 будут использованы в задаче 3.26.

Задача 3.11. Подобрать арматуру и запроектировать сечение монолитной железобетонной балки работающей на открытом воздухе. Балка консольно закреплена в стене, вылет консольной части l = l ₀ = 1,5 м. Нагрузка приложена на свободном конце консоли в виде сосредоточенной силы N = 30 кН, γ _n =1,0. Собственным весом балки можно пренебречь. Размеры сечения балки, класс прочности бетона, классы арматуры, назначить самостоятельно. Данные решения задачи 3.11 будут использованы в задаче 3.21.

Задача 3.12. Определить продольную арматуру сборной железобетонной сплошной плиты перекрытия жилого дома. Плита концами опирается на стены. Длина плиты l = 4500 мм, длина опорных участков l _оп = 200 мм, ширина плиты b = 900 мм, высота h = 150 мм. Нагрузка на квадратный метр плиты, включая ее вес q = 9,0 кПа, γ _n = 0,95. Бетон класса В35, арматура класса В500. Шагом арматуры в арматурной сетке плиты задаться в пределах 100 … 200 мм. Данные решения задачи 3.12 будут использованы в задаче 3.22.

Задача 3.13. Определить диаметры продольной рабочей арматуры арматурного каркаса сборного железобетонного ригеля (рис. 3.16) жилого дома. Ригель опирается на консоли колонн, длина площадок опирания l _оп = 100 мм, длина ригеля l = 5600 мм.

 

Рис. 3.16. Армирование ригеля. К примеру 3.16

 

Нагрузка, действующая на погонный метр ригеля, включая его вес q = 35 кН/м, γ _n = 0,95. Бетон класса В25, продольная рабочая арматура класса А500, конструктивная арматура и поперечные стержни класса В500. (Указания к расчету и проектированию сечения ригеля: расчетное сечение см. рис. 3.7; плоские арматурные каркасы объединяют в объемный каркас; для армирования полок ригеля с двух сторон ставятся арматурные сетки, изогнутые по форме полок; Арматурные сетки принять конструктивно из арматуры ø 4 мм, В500).

Задача 3.14. Рассчитать и запроектировать нормальное сечение сборной железобетонной перемычки над оконным проемом. Расчетный пролет перемычки l ₀ = 1,9 м, высота h = 220 мм, ширина b = 250 мм. На перемычку действует погонная расчетная нагрузка q = 20 кН/м, γ _n = 0,95 (от давления плит перекрытия, кирпичной кладки и веса перемычки). Класс прочности бетона В20, класс продольной рабочей арматуры А400, конструктивная арматура и поперечные стержни из арматуры класса В500.

Задача 3.15. Определить несущую способность балки, сечение которой изображено на рис. 3.17.

 

 

 

Рис.3.17. Сечение балки. К задаче 3.15

 

Бетон класса В30, рабочая продольная арматура (1 Ø 18 А400).