Волгодонский инженерно-технический институт - филиал нияу мифи

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

Методические указания

по теме:

 

 

«Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Волгодонск

 

Определители матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений.

Определители и их свойства. Вычисления определителей.

    Определителем n-го порядка называется число , записанное в виде квадратной таблицы

 вычисляется по правилу (1), которое будет дано ниже. Элементы определителя обозначают , где i-номер строки, j- номер столбца, на пересечении которых располагается .

    Любую строку или столбец определителя называют рядом.

    Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , … .

    Минором   элемента  называется определитель (n-1)-го порядка  полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

    Алгебраическое дополнение  элемента  определяется равенством:

    Правила вычисления :

Для n=2

Для n=3 

Для произвольного n   (1)

Например:

Перечислим основные свойства определителей:

1. Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю.

Эти равенства (как и формулу (1)) можно считать правилом вычисления определителя. Первое из них называется разложением  по его элементам i -той строки, а второе- разложением  по элементам j -го столбца;

2. значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами и наоборот;

3. если поменять местами два параллельных ряда определителя то он изменит знак на противоположный;

4. определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

5. если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя;

6. если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель так же равен нулю;

7. определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;

8. определитель не измениться, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число.

 

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Крамера.

Если для системы n уравнений с n неизвестными

      (2)

 

,  то система (2) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

, - определители n-го порядка, которые получаются из  путем замены i-го столбца столбцом свободных членов  исходной системы.

Матричный метод.

Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными (2). Обозначим

 - основная матрица,  - матрица-столбец свободных членов,  - матрица столбец неизвестных.

Тогда система (2) может быть записана в матричной форме: АХ=В

Умножив это матричное уравнение слева на , получим:

т.к.

Следовательно, чтобы найти матрицу-решение Х, надо найти  и умножить её на матрицу В.

Надо помнить, что для матрицы А существует единственная обратная матрица , если , т.е. матрица не вырожденная.

Метод Гаусса.

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными

      (3)

Введем обозначение:

 - расширенная матрица для системы (3)

С помощью элементарных преобразований матрица  сводится к «треугольному» виду, т.е. под элементами главной диагонали должны быть нули.

Далее записываем систему уравнений, соответствующих последней матрице, эквивалентной исходной. Двигаясь снизу вверх, последовательно находим неизвестные.

Метод Гаусса позволяет решать системы, имеющие единственное решение, бесконечное множество решений и определять, что система решений не имеет.

Историческая справка.

Метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений опубликован в 1849 году немецким математиком, физиком и астрономом Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855). Но уже во 2 в. до н.э. в Китае был известен метод «фан-чен» решение системы n линейных уравнений с n неизвестными, по существу совпадающий с методом Гаусса, от которого он отличается тем, что все операции проводится на счетной доске (само название «фан-чен» переводится как «выстраивание чисел по клеткам»). Правильное расположение чисел на доске заменяло китайскому математику буквы и индексы нашей символики.

 

Решение типового варианта.

Задача 1.

Даны матрицы А, В, С, числа .

 Вычислить: а)

а)

б)

 

в)

=-35-4+21-16+5(3+20)=-55+21+115=81 0

Найдем алгебраические дополнения  элементов  матрицы А:

Присоединенная матрица

 

Обратная матрица

 

Проверка:

Обратная матрица найдена верно.

 

Задача 2.

  Решить системы линейных уравнений

а) по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса;

б) методом Гаусса;

в) методом Гаусса.

 

а)

 

Решение:

а) 1. Решим систему методом Крамера.

 

=2+1-2(4+1)-(-2+1)=3-10+1=-6

 

=5(2+1)-2(8+3)-(-4+3)=15-22+1=-6

 

=8+3-5(4+1)-1(-6+4)=11-25+2=-12

 

=-3+4-2(-6+4)+5(-2+1)=1+4-5=0

 

 

Чтобы проверить решение, подставим в исходную систему уравнений найденные значения неизвестных.

Получены верные равенства, система решена правильно.

Ответ: x=1, y=2, z=0.

 

2. Решим систему матричным методом.

 - основная матрица

 – матрица-столбец свободных членов

 - матрица-столбец неизвестных

Запишем систему уравнений в матричном виде: AX=B.

Умножим обе части уравнения слева на  :

 

 существует, т.к. .

Найдем алгебраические дополнения  элементов  матрицы А:

 

Присоединенная матрица

 

Обратная матрица

 

Ответ: x=1, y=2, z=0.

3. Решим систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу и элементарными преобразованиями сведём её к «треугольному» виду:

    «2 стр.» + «1 стр.» (-2)              «2 стр.»  3

       «3 стр.» + «1 стр.»

    «3 стр.» + «2 стр.»

Полученной матрице соответствует следующая система уравнений:

 

 

Решим уравнения, двигаясь снизу вверх

1) 2z=0      2) -y+z=-2      3)x+2y-z=5

z=0        -y+0=-2              x+4-0=5

                 y=2         x=1

Ответ: x=1, y=2, z=0.

 

б)

Решим систему методом Гаусса.

    «2 стр.» + «1 стр.» (-2)    «3 стр.» + «2 стр.» (-1)

       «3 стр.» + «1 стр.» (-3)

 

Система имеет бесконечное множество решений, количество уравнений (m=2) меньше чем количество неизвестных (n=3).

n-m=3-2=1

Одно неизвестное обозначим как произвольный параметр t, оставшиеся 2 через него выразим.

 

Пусть z=t тогда

-y+5t=-2         x+y-2z=3

-y=-5t-2          x+5t+2-2t=3

y=5t+2            x=1-3t

Бесконечное множество решений системы запишем следующим образом:

 где .

Покажем, что формулы нахождения решений получены правельно.

Пусть t=0, тогда подставим в исходную систему:

Получили верные равенства, значит решение выполнено правильно.

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений:  где .

в)  Решим систему методом Гаусса.

     «2 стр.» + «1 стр.»  (-2)   «3 стр.» + «2 стр.»  (-1)

      «3 стр.» + «1 стр.»  (-3)

 

 

Матрице соответствует следующая система уравнений:

Последнее уравнение не имеет решений ни при каких значениях x,y,z, значит и система решений не имеет.

Ответ: Система не имеет решений.

Векторная алгебра.

Аналитическая геометрия.

Уравнения плоскости.

1.Уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной к вектору .

Пусть  произвольная точка плоскости,

 и по условию ортогональности векторов (см. 2.1.2.)

       (1)

2.Общее уравнение плоскости:

                                  (2)

Вектор  называется нормальным вектором к плоскости (1) и (2).

3.Уравнение плоскости в отрезках на осях:

                                               (3)

Пусть заданы две плоскости  Ax+By+Cz+D=0 и

1.Угол, образованный двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами:

2.Условие параллельности плоскостей

3.Условие перпендикулярности плоскостей:

Расстояние точки  от плоскости Ax+By+Cz+D=0:

 

Общее уравнение прямой

Задача№3.

Даны координаты точек A,B,C,D.

Найти:   а) угол между векторами ;

              б) площадь треугольника АВС;

              в) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины С;

              г) объем пирамиды ABCD;

              д) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание АВС.

А(-1,2,3), В(4,-1,3), С(2,0,5), D(7,8,-1)

Решение:

а)

   

б) Площадь треугольника АВС, построенного на векторах

в) Известно, что , значит ,

г)

=5(8-12)+3(-12-16)=-20-84= - 104

д)

Задача №4.

  Составить уравнение плоскости проходящей через точку А и перпендикулярно вектору  А(1;4;-2), B(6;7;0), C(8;6;3).

 

 

Решение.

 – нормальный вектор к искомой плоскости (см. 2.2.1.)

Пусть точка M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости,  и по условию перпендикулярности векторов 2(х-1)+(-1)(y-4)+3(z+2)=0, 2x-2-y+4+3z+6=0,  

2x-y+3z+8=0 - уравнение искомой плоскости.

Задача №5.

Даны координаты точек A,B,C,D.

Найти:   а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С;

              б) расстояние точки D до плоскости АВС;

              в) угол между плоскостью АВС и плоскостью 5x-3y+7z-3=0

А(1;1;3), В(-2;1;4), С(-1;2;3), D(-1;1;5).

Решение:

а) В искомой плоскости возьмём некоторую точку M(x,y,z), тогда вектора

лежат в искомой плоскости, значит компланарны.

    Запишем условие компланарности трёх векторов (см. 2.1.4.):

(x-1)(0-1)-(y-1)(0+2)+(z-3)(-3+0)=0

-x+1-2y+2-3z+9=0

X+2y+3z-12=0 – уравнение плоскости АВС, её нормальный

 вектор .

б) Найдем расстояние точки D до плоскости АВС. (см. 2.2.1. формула (4))

в) угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

    Задача №6.

  Прямая  задана общими уравнения.

Найти:   а) канонические и параметрические уравнения прямой ;

              б) найти угол между прямой  и прямой :

                

Решение:

а) Прямая  задана как пересечение плоскостей (1) и (2) с нормальными векторами соответственно. .

Направляющий вектор прямой  ортогонален  и , найдем его как векторное произведение (см. 2.1.3).

 

Для простоты возьмём направляющим вектором противоположный

 Найдем какую-нибудь точку, лежащую на , т.е. удовлетворяющую условиям (1) и (2).

Пусть z=0, тогда   Сложим уравнение, получим 2х=8, х=4, значит y=-4. Точка  принадлежит искомой прямой, параллельной вектору  Пусть точка M(x,y,z) некоторая точка искомой, тогда вектор  коллинеарен вектору . Запишем условие коллинеарности двух векторов (см.2.2.2)

 Тогда параметрические уравнения прямой  имеют вид (см. 2.2.2):

б) Угол между прямыми  равен углу между их направляющими векторами

Задача №7.

Найти точку пересечения прямой и плоскости. Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение:

    Уравнения прямой запишем в параметрическом виде (см. 2.2.2):

  Выражения подставим в уравнения плоскости, решим его относительно t:

2(t+1)+3(-2t-1)+6t-1=0, 2t+2-6t-3+6t-1=0, 2t=2, t=1.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости , подставим найденное значение t в параметрические уравнения, получим x=2, y=-3, z=6, т.е.  Угол  между прямой и плоскостью находим по формуле (9) пункта 2.2.2. Направляющий вектор прямой , нормальный вектор плоскости .

Задача №8.

Даны координаты точек А,В,С.

Найти:   а) уравнение медианы AD;

             б) уравнение высоты АЕ;

              в) угол между AD и АЕ;

              г) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно АВ.

А (-4;2), В (6;-4), С (4;10).

Решение:

а) Точка D – середина отрезка ВС, её координаты (см. 2.1.1.):

Уравнение медианы AD находим как уравнение прямой, проходящей через две точки (см. (11) в пункте 2.2.3.).

б) Чтобы найти уравнение высоты АЕ, составим уравнение перпендикулярной ей СВ (см. (11)).

-7(x-6)=y+4, y=-7x+38 - уравнение СВ,

 и поставим вместо k значение

в) По формуле (13) пункта 2.2.3 найдем угол между АЕ и AD, в нашем случае

г) Найдем уравнение прямой АВ (см. (11)

Искомая прямая  (см. (15) пункт 2.2.3)

Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку С:

y-10=k(x-4) и подставим вместо k значение .

y-10=-0,6(x-4)

y=-0,6x+12,4 уравнение прямой СМ.

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

Методические указания

по теме:

 

 

«Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Волгодонск