Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Смешанное произведение трёх векторов ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Определение: Смешенным произведением векторов , и называется выражение вида . Если векторы , и заданы своими координатами, то . Свойства смешенного произведения: 1. От перестановки двух соседних сомножителей смешенное произведение меняет знак: . 2. Если два из трех данных векторов равны или коллинеарные, то их смешенное произведение равно нулю. 3. Имеет место тождество , поэтому смешенное произведение можно записать в виде , т.е. без знаков действий и без скобок. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и : . Объем пирамиды, построенной на векторах , и : . Условия компланарности трёх векторов: Если , и компланарны, то и наоборот. Аналитическая геометрия. Уравнения плоскости. 1.Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной к вектору . Пусть произвольная точка плоскости, и по условию ортогональности векторов (см. 2.1.2.) (1) 2.Общее уравнение плоскости: (2) Вектор называется нормальным вектором к плоскости (1) и (2). 3.Уравнение плоскости в отрезках на осях: (3) Пусть заданы две плоскости Ax+By+Cz+D=0 и 1.Угол, образованный двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами: 2.Условие параллельности плоскостей 3.Условие перпендикулярности плоскостей: Расстояние точки от плоскости Ax+By+Cz+D=0:
Уравнения прямой в пространстве 1. Уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной вектору . Пусть произвольная точка прямой, тогда , и по условию коллинеарности векторов (см.2.1.2) Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. 2. Параметрические уравнения прямой получим, приняв каждое из отношений (5) параметру t: (6) 3. Уравнения прямой, проходящей через две точки и : 4. Общие уравнения прямой: Угол между прямой и плоскостью Ax+By+Cz+D=0 Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент , где - угол наклона прямой к оси ОХ. Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках на осях Х
, где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. 4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Уравнения пучка прямых, проходящих через заданную точку : Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямой до прямой определяется формулой Условие перпендикулярности Условие параллельности Решение типового варианта. Задача№3. Даны координаты точек A,B,C,D. Найти: а) угол между векторами ; б) площадь треугольника АВС; в) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины С; г) объем пирамиды ABCD; д) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание АВС. А(-1,2,3), В(4,-1,3), С(2,0,5), D(7,8,-1) Решение: а)
б) Площадь треугольника АВС, построенного на векторах в) Известно, что , значит , г) =5(8-12)+3(-12-16)=-20-84= - 104 д) Задача №4. Составить уравнение плоскости проходящей через точку А и перпендикулярно вектору А(1;4;-2), B(6;7;0), C(8;6;3).
Решение. – нормальный вектор к искомой плоскости (см. 2.2.1.) Пусть точка M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, и по условию перпендикулярности векторов 2(х-1)+(-1)(y-4)+3(z+2)=0, 2x-2-y+4+3z+6=0, 2x-y+3z+8=0 - уравнение искомой плоскости. Задача №5. Даны координаты точек A,B,C,D. Найти: а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С; б) расстояние точки D до плоскости АВС; в) угол между плоскостью АВС и плоскостью 5x-3y+7z-3=0 А(1;1;3), В(-2;1;4), С(-1;2;3), D(-1;1;5). Решение: а) В искомой плоскости возьмём некоторую точку M(x,y,z), тогда вектора лежат в искомой плоскости, значит компланарны. Запишем условие компланарности трёх векторов (см. 2.1.4.): (x-1)(0-1)-(y-1)(0+2)+(z-3)(-3+0)=0 -x+1-2y+2-3z+9=0 X+2y+3z-12=0 – уравнение плоскости АВС, её нормальный вектор . б) Найдем расстояние точки D до плоскости АВС. (см. 2.2.1. формула (4)) в) угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами Задача №6. Прямая задана общими уравнения. Найти: а) канонические и параметрические уравнения прямой ; б) найти угол между прямой и прямой :
Решение: а) Прямая задана как пересечение плоскостей (1) и (2) с нормальными векторами соответственно. . Направляющий вектор прямой ортогонален и , найдем его как векторное произведение (см. 2.1.3).
Для простоты возьмём направляющим вектором противоположный Найдем какую-нибудь точку, лежащую на , т.е. удовлетворяющую условиям (1) и (2). Пусть z=0, тогда Сложим уравнение, получим 2х=8, х=4, значит y=-4. Точка принадлежит искомой прямой, параллельной вектору Пусть точка M(x,y,z) некоторая точка искомой, тогда вектор коллинеарен вектору . Запишем условие коллинеарности двух векторов (см.2.2.2) Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид (см. 2.2.2): б) Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами Задача №7. Найти точку пересечения прямой и плоскости. Найти угол между прямой и плоскостью. Решение: Уравнения прямой запишем в параметрическом виде (см. 2.2.2): Выражения подставим в уравнения плоскости, решим его относительно t: 2(t+1)+3(-2t-1)+6t-1=0, 2t+2-6t-3+6t-1=0, 2t=2, t=1. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости , подставим найденное значение t в параметрические уравнения, получим x=2, y=-3, z=6, т.е. Угол между прямой и плоскостью находим по формуле (9) пункта 2.2.2. Направляющий вектор прямой , нормальный вектор плоскости . Задача №8. Даны координаты точек А,В,С. Найти: а) уравнение медианы AD; б) уравнение высоты АЕ; в) угол между AD и АЕ; г) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно АВ. А (-4;2), В (6;-4), С (4;10). Решение: а) Точка D – середина отрезка ВС, её координаты (см. 2.1.1.): Уравнение медианы AD находим как уравнение прямой, проходящей через две точки (см. (11) в пункте 2.2.3.). б) Чтобы найти уравнение высоты АЕ, составим уравнение перпендикулярной ей СВ (см. (11)). -7(x-6)=y+4, y=-7x+38 - уравнение СВ, и поставим вместо k значение в) По формуле (13) пункта 2.2.3 найдем угол между АЕ и AD, в нашем случае г) Найдем уравнение прямой АВ (см. (11) Искомая прямая (см. (15) пункт 2.2.3) Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку С: y-10=k(x-4) и подставим вместо k значение . y-10=-0,6(x-4) y=-0,6x+12,4 уравнение прямой СМ.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 58; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.42.94 (0.066 с.) |