Подходящие дроби, их свойства и применение

 

В предыдущем параграфе мы установили, что всякую обыкновенную дробь можно представить в виде цепной дроби. Поставим обратную задачу: восстановить по цепной дроби исходную обыкновенную дробь.

Рассмотрим цепную дробь

.

Чтобы найти обыкновенную дробь можно выполнить вычисления, “поднимаясь” по цепной дроби снизу вверх:

        

;  и т. д.

Другой, более удобный способ вычисления состоит в использовании подходящих дробей.

Определение 13.1. Дроби , , ,…,  называются подходящими дробями.

 

Теорема 13.1. Подходящие дроби несократимы.

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по числу n –количеству неполных частных, составляющих подходящую дробь.

1) База индукции. Пусть . Дробь, содержащая одно неполное

частное , очевидно, несократима.

2) Индукционный переход. Предположим, что утверждение теоремы

верно для дроби, состоящей из  неполных частных при . Докажем, что тогда и дробь, состоящая из  неполных частных при  также несократима.

Рассмотрим дробь, состоящую из  неполного частного: . Эту дробь можно записать в виде: , где . По индукционному предположению дробь   несократима, так как состоит из  неполных частных.

Запишем дробь  в виде: . Докажем, дробь  несократима, это значит, что числа  и p взаимно просты. Предположим, что последнее утверждение неверно: дробь сократима, т. е. . Тогда , где . Из этой системы следует, что , значит d – общий делитель чисел p и q, причем . Это противоречит тому, что числа p и q взаимно просты. Полученное противоречие означает, что сделанное предположение о том, что дробь  сократима, неверно.

    Теорема 13.2. (Закон составления подходящих дробей). Пусть  – подходящие дроби. Положим . Тогда  для .                                          (13.1)

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по числу k –номеру подходящей дроби.

1) База индукции. Пусть . Тогда , . Подходящая дробь , это верно.

2) Индукционный переход. Пусть (13.1) верно для : .

Заметим, что если представить подходящую дробь в сокращенной записи, то индукционное предположение означает, что утверждение теоремы верно для подходящих дробей с количеством неполных частных, не превосходящем .

Докажем, что (13.1) верно также для : .

Поскольку  и , при замене в дроби неполного частного  на , получим дробь .

По индукционному предположению . Заменим  на , получим равенство . Преобразуем правую часть этого равенства:

. Заменяя выражения в скобках в числителе и в знаменателе в последней дроби на  и  соответственно, получим равенство

                               .                                            (13.2)

Докажем, что из этого равенства дробей следует равенство их числителей и знаменателей. При представлении числа  в виде цепной дроби мы использовали алгоритм Евклида, из которого следует, что  и .

Таким образом, если , то, очевидно, .

Подходящая дробь с номером  для числа  получается отбрасыванием в сокращенной записи неполных частных с номерами большими, чем , то есть содержит  неполных частных:

                               .

Тогда подходящая дробь  для числа   содержит  неполное частное. Значит, из индукционного предположения следует, что .

    Таким образом мы получили, что в дробях в правой и левой частей равенства (13.2) знаменатели равны, значит равны и числители. Теорема доказана.

 

    . Количество неполных частных в подходящей дроби равно , значит можно использовать индукционное предположение. Тогда , и отсюда . 

    Таким образом мы получили, что в дробях в правой и левой частей равенства (13.2) знаменатели равны, значит равны и числители. Теорема доказана.

 

    Итак, мы получили рекуррентное соотношение для вычисления подходящих дробей. Выкладки можно проводить, заполняя таблицу:

					…
					…
					…

 

Пример. Найти рациональное число, равное цепной дроби .

Составим таблицу и заполним ее, используя формулы (13.1):

Итак, мы получили, что .

При помощи закона составления подходящих дробей можно вывести ряд их свойств.

                           

                           Свойства подходящих дробей

 

Свойство 1. для .

Доказательство. Докажем свойство методом математической индукции по индексу k.

1) База индукции. Пусть . Вычислим , , , .

Тогда .

2) Индукционный переход. Пусть свойство верно для : . Докажем, что оно верно и для . Действительно,

Свойство 2.  для .

Доказательство. Доказательство свойства непосредственно следует из свойства 1.

Свойство 3. С увеличением номера подходящие дроби четного порядка

увеличиваются, а нечетного порядка уменьшаются.

Доказательство. По закону составления подходящих дробей имеем: .

Вычислим

.

По свойству 1 подходящих дробей , отсюда следует, что .

Если число k – четное, то , следовательно . Если число k – нечетное, то , и тогда .

Свойство 4. Рассмотрим отрезки  для  . Тогда   .

Доказательство. По свойству 3 выполняются неравенства:

 и  .

По свойству 2 имеем: , следовательно, для четных k справедливо неравенство , а для нечетных k  – неравенство . Это значит, что все подходящие дроби с четными номерами меньше всех подходящих дробей с нечетными номерами, откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

Следствие. Представим рациональное число в виде цепной дроби и составим ее подходящие дроби. Тогда данное рациональное число заключено между любыми двумя соседними подходящими дробями.

Доказательство следствия вытекает непосредственно из утверждения свойства 4.

Свойство 5. Последовательность знаменателей подходящих дробей, начинающаяся с , возрастает: .

Доказательство. По закону составления подходящих дробей . Докажем утверждение методом математической индукции по индексу k.

База индукции. Пусть . Из закона составления подходящих дробей следует, что . Тогда . Поскольку , . Следовательно, .

Индукционный переход. Пусть утверждение верно для . Это значит, что . Докажем, что оно верно и для : . По закону составления подходящих дробей . А поскольку , справедливо .

 

    Применение подходящих дробей к решению неопределенных  

                                               уравнений.

Свойства подходящих дробей приводят к еще одному способу решения неопределенных уравнений. Рассмотрим этот способ сначала для частного случая неопределенных уравнений, а именно уравнения вида

                        ,                             (13. 3)

при условии . Как было установлено выше, такое уравнение всегда имеет решение.

    Рассмотрим несократимую дробь  и найдем ее представление в виде цепной дроби: . Последняя подходящая дробь , причем . Рассмотрим сначала случай, когда число n нечетное. По свойству 1 имеем: .

Тогда   – частное решение уравнения. Общее решение уравнения получим так же, как при решении неопределенных уравнений другими способами: , где .

    Если число n четное, то представим дробь  в виде цепной дроби в соответствии с замечанием в конце § 12: . Тогда последнее “неполное частное”, равное 1, имеет нечетный номер, и уравнение можно решать также, как было рассмотрено выше.

    Рассмотрим теперь общий случай неопределенного уравнения:

                          ,                                (13.4)

при условии, что  и . В этом случае, как было установлено выше, уравнение имеет решение.

    Для решения этого уравнения при помощи подходящих дробей сведем уравнение (13.4) к уравнению типа (13.3) и найдем его частное решение при помощи подходящих дробей. Затем так же, как это было сделано выше (см. § 6) найдем общее решение исходного уравнения (13.4).

 Итак, разделим обе части уравнения (13.4) на d, получим уравнение 

 ,                                (13.5)

где . Уравнение (13.5), очевидно, равносильно уравнению (13.4).

Затем рассмотрим вспомогательное уравнение

                       .

Решим его при помощи подходящих дробей. Пусть числа  составляют его частное решение. Тогда числа  составляют частное решение уравнения (13.5), а значит, и исходного уравнения (13.4).

Общее решение уравнения (13.4) вычисляется по формуле

, где .

Примеры. 1) Решить уравнение . Поскольку , уравнение имеет решение. Рассмотрим дробь  и представим ее в виде цепной дроби: . В этом случае . Поскольку n – четное число, представим дробь  в виде: .

    Как было установлено выше, частным решением данного уравнения являются знаменатель и числитель предпоследней подходящей дроби. Найдем подходящие дроби, для этого составим таблицу:

Выпишем частное решение уравнения: . Тогда общее решение уравнения имеет вид: , где .

2) Решить уравнение

              .                                         (13.6)

Поскольку  и  уравнение (13.6) имеет решение. Разделим обе части уравнения на 4, получим уравнение, равносильное исходному,

                               .                                 (13.7)     

Положим , тогда уравнение (13.7) можно записать в виде:

                                         .                                  (13.8)

Рассмотрим теперь вспомогательное уравнение:

                                     .                                      (13.9)    

Для его решения рассмотрим дробь  и представим ее в виде . В этом случае . Поскольку n – четное число, представим дробь  в виде: .

Найдем подходящие дроби, для этого составим таблицу:

Выпишем частное решение уравнения (13.9): . Тогда частное решение уравнения (13.8) имеет вид: , а общее решение этого уравнения:  ,где .  И, наконец, получим общее решение уравнения (13.7): , где .

Упростим полученное решение: , где .

 Поскольку уравнение (13.7) равносильно уравнению (13.6), полученное решение является также решением исходного уравнения (13.6).