Представление иррациональных чисел цепными дробями

    Пусть w – действительное число. Обозначим целую часть этого числа , а дробную часть . Таким образом, , где .

Рассмотрим число . Поскольку число , его можно представить в виде: , где . Тогда                   

.

Обозначим , . Выделим целую часть числа : , тогда , где .

    Продолжая этот процесс, получим на шаге n: 

                             ,

где , .

    Если число w рациональное, то процесс закончится через конечное число шагов. Если число w иррациональное, то процесс будет продолжаться бесконечно долго, в результате чего возникнет бесконечная последовательность натуральных чисел  .

    Тогда можно построить бесконечную последовательность подходящих дробей:

, , …, ….

    Отвлечемся от способа получения последовательности чисел  . Составим соответствующую последовательность подходящих дробей ,  . Справедлива следующая теорема.

Теорема 14.1. Для любой последовательности целых чисел , где числа для  , последовательность подходящих дробей сходится.

Доказательство. По свойству 2 подходящих дробей , а из свойства 5 следует, что  , (так как возрастающая последовательность натуральных чисел не может быть ограниченной). Значит, . А это и означает, что существует конечный , то есть последовательность подходящих дробей сходится. Теорема доказана.

    Определение 14.1. Рассмотрим бесконечную последовательность целых чисел , , причем  для  . Составим соответствующую бесконечную последовательность подходящих дробей ,  . Бесконечной цепной дробью называется .

    Бесконечную цепную дробь можно записать в виде:  или в виде: .

Теорема 14.2. Всякое иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной цепной дроби, притом единственным образом.

Доказательство. Пусть  иррациональное число. Положим  – целая часть числа . Отсюда следует, что , где . Тогда . Заметим, что число  не целое. Действительно, если бы оно было целым, то число  было бы, очевидно, рациональным. Положим . Отсюда следует, что , где . Тогда, как и выше,  и не является целым. Получим, что . Будем продолжать этот процесс. Очевидно, что он никогда не закончится, так как в противном случае, оказалось бы, что число  представимо в виде конечной цепной дроби, и, следовательно, является рациональным, что противоречит условию теоремы. Таким образом, мы получили, что иррациональное число  может быть представлено в виде бесконечной цепной дроби.

    Единственность представления следует из того, что на каждом шаге построения цепной дроби мы выделяем целую часть иррационального числа, что можно сделать единственным образом. Теорема доказана.

    Заметим, что и наоборот, каждой бесконечной цепной дроби соответствует единственное иррациональное число. Действительно, пусть . Тогда, по теореме 14.1 справедливо , а если предел последовательности существует, то он единственен.

Примеры. 1) Представим число  в виде бесконечной цепной дроби.

.

Здесь , . Продолжим процесс вычисления:

. Здесь , .

Заметим, что выражение  нам встречалось ранее, и мы получили выше, что . Учитывая это, получим, что . Таким образом, получим, что число  можно представить в виде бесконечной периодической цепной дроби: .

2) Представим число  в виде бесконечной цепной дроби.

 

В последней цепной дроби мы получили выражение , которое, как мы видим, представимо в виде . Таким образом, получили, что .

    Поставим теперь обратную задачу: найти по бесконечной периодической цепной дроби равное ей иррациональное число.

Пример. Дана бесконечная дробь

. Тогда . Таким образом, мы получили уравнение относительно w. Упрощая его, получим квадратное уравнение . Учитывая, что число w положительно, получим, что .

При помощи представления иррациональных чисел в виде бесконечных цепных дробей мы можем вычислять их приближения рациональными числами со сколь угодно большой точностью. Как было установлено выше, иррациональное число w принадлежит интервалу, концами которого являются две соседние подходящие дроби. Следовательно, если , то .

Следующая теорема дает возможность установить число шагов, за которое можно найти приближение к иррациональному числу с заданной точностью.

Теорема 14.3. Пусть w – иррациональное число. Тогда  для  .

Доказательство. По свойству 2 подходящих дробей имеем:

. А по свойству 5:  . Следовательно, . Теорема доказана.

    Таким образом, первая подходящая дробь, которую можно взять в качестве приближенного значения иррационального числа с точностью до 0,1, это дробь , поскольку . А если, к примеру, заданная точность равна 0,01, то первой подходящей дробью, которую можно взять в качестве приближения будет , поскольку .

    Заметим, что оценка точности, которую дает теорема 14.3, является довольно грубой. Поэтому на практике, вычисляя приближение к иррациональному числу с заданной точностью, можно вычислять последовательно подходящие дроби до тех пор, пока разность между двумя соседними подходящими дробями не станет меньше заданной точности. Тогда в качестве приближения можно взять подходящую дробь с большим номером.

Пример. Вычислить с точностью до 0,01 иррациональное число .

Представим число  в виде цепной дроби: . Выпишем подходящие дроби. Для этого составим таблицу, в последней строке, которой будем записывать разности между соответствующей подходящей дробью и предыдущей:

			=1	0,5

Модуль разности , следовательно, рациональное число  является приближением иррационального числа  с точностью 0,01, то есть модуль их разности не превышает 0,01