Расчеты на прочность при напряжениях, циклически изменяющихся во времени

В подавляющем большинстве случаев напряжение изменяется периодически (рис. 10.1). Совокупность всех значений напряжений в течении одного периода называется циклом напряжений.

 

Характеристиками циклов напряжений являются:

1) максимальное напряжение цикла – σ_max;

2) минимальное напряжение цикла – σ_min;

3) среднее напряжение цикла – σ_m=(σ_max + σ_min)/2;

4) амплитуда цикла – σ_a = (σ_max – σ_min)/2;

5) Коэффициент асимметрии цикла – r = σ_min / σ_max.

 

Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии цикла, называются подобными.

Рис. 10.1

Наиболее распространенными являются:

 

Рис. 10.2

 

1) Симметричный цикл (рис. 10.2,а), в котором σ_a= σ_max = - σ_min. При этом σ_m=0, r=-1.

2) Отнулевой (пульсирующий) цикл (рис. 10.2,б). Для этого случая

σ_max= σ, σ_min=0, σ_m= σ_a= σ/2, r=0.

 

3) Статическое напряжение иногда называют постоянным циклом (рис. 10.2,в), в нем

σ_a=0, σ_max = σ_min= σ_m= σ, r=+1.

 

Любой асимметричный цикл можно представить как сумму симметричного цикла и постоянного напряжения.

 

В случае действительных переменных касательных напряжений остаются в силе все термины и соотношения, с заменой σ на τ.

 

Для оценки прочности материала при переменных напряжениях используется определяемая опытным путем характеристика – предел выносливости σ_r, который представляет собой наибольшее в алгебраическом смысле напряжение цикла, при котором образец выдерживает не разрушаясь неограниченно большое число циклов.

 

Практически установлено, что если стальной образец выдержал некоторое базовое число циклов N_Б, и не разрушился, то он не разрушится и при любом другом большем числе циклов. Для стали и чугуна принимают N_Б=10⁷.

 

Для цветных металлов и сплавов пользуются лишь понятием предела ограниченной выносливости при NБ=10⁸, т.к. они при очень большом числе циклов могут разрушиться и при небольших напряжениях.

На величину предела выносливости σ_r влияют различные факторы:

 

1) Асимметрия цикла.

Минимальное значение имеет предел выносливости при симметричном цикле (r = -1). Он в несколько раз меньше предела прочности, например, для углеродистой стали σ_-1 ≈ 0,43 σ_в, для легированной стали σ_-1 ≈ 0,35 σ_в +120 МПа, для серого чугуна σ_-1 ≈ 0,45 σ_в.

 

2) Вид деформации.

При растяжении-сжатии предел выносливости σ_-1р=(0,7 – 0,8) σ_-1.

При кручении - τ_-1 ≈ 0,58 σ_-1.

 

3) Концентрация напряжений.

Снижение предела выносливости за счет наличия концентраторов на-пряжений (выточек, отверстий, шпоночных канавок, резких переходов от одних размеров детали к другим и др.) учитывается действительным коэффициентом концентрации напряжений к_σ (к_τ)>1. В неответственных расчетах и при отсут-ствии данных величину к можно определять по следующим эмпирическим со-отношениям:

 

а) при отсутствии острых концентраторов для детали с чисто обработанной поверхностью

б) при наличии острых концентраторов напряжений

В приведенных соотношениях σ_в выражена в МПа. Эти формулы годятся для сталей с σ_в от 400 до 1300 МПа, и при их использовании не следует отдельно учитывать влияние качества поверхности детали.

 

4) Качество обработки поверхности учитывается при помощи коэффициента β >1, значение которого для различного качества обработки поверхности приводится в таблицах и графиках.

 

5) Абсолютные размеры детали учитываются при помощи так называемого масштабного фактора α_м>1. Значение α_м для различных материалов в зависимости от диаметра детали определяются из специальных графиков. Приближенно величины масштабного фактора для валов может быть вычислена по эмпирической зависимости

 

α_м = 1,2+0,1(d – 3), (10.3)

 

где d – диаметр вала в сантиметрах.

Совместное влияние концентрации напряжений, качества обработки поверхности и размеров детали оценивается коэффициентом

 

к_σ = к_σ · β · α_м. (10.4)

 

Расчет на прочность при переменных напряжениях (расчет на выносливость) на практике обычно выполняется как проверочный. Условие прочности принято записывать в виде

 

n ≥ [n], (10.5)

 

где [n] = 1,4 – 3,0 – нормативный коэффициент запаса усталостной прочности детали при данном цикле напряжений.

 

Коэффициент запаса по нормальным напряжениям определяется по формуле

Здесь ψ - коэффициент, учитывающий влияние асимметрии цикла на предел выносливости. В случае, когда известна величина предела выносливости при пульсирующем цикле σ₀ ψ= (2 σ_-1 - σ₀)/σ₀. При отсутствии значений σ₀ (τ₀) можно принимать ψ = σ_-1 /s, где s = 1400 МПа – для углеродистых и низколегированных сталей; s = 2000 МПа – для легированных сталей.

 

Наряду с коэффициентом запаса по усталостному разрушению должен быть определен коэффициент запаса по текучести

В качестве расчетного следует принять меньший из коэффициентов n_σ и n_σT.

Аналогично вычисляют и коэффициенты запаса по касательным напряжениям:

Для плоского напряженного состояния, когда действуют нормальные и касательные напряжения, коэффициент запаса определяется по эмпирической формуле

Оболочки и трубы

 

Тонкостенные сосуды

 

Оболочки, имеющие форму тел вращения (рис. 11.1), стенки которых тонки (t ≤ 0,1D₀), не имеют резких переходов и изломов при действии осесимметричных нагрузок (например, давления жидкости или газа), попадают под класс тонкостенных сосудов и могут быть рассчитаны по безмоментной теории.

Рис. 11.1

 

Связь между меридиональными σ_m и кольцевыми σ_t нормальными напряжениями (рис. 11.1) описывается уравнением Лапласа:

где ρ_m и ρ_t – радиусы кривизны серединной поверхности меридионального и кольцевого сечений на уровне рассматриваемой точки;

р – интенсивность внутреннего давления.

Для определения σ_m обычно используется зависимость

 

где Q – вес части сосуда и жидкости ниже рассматриваемого сечения.

Уравнения (11.1) и (11.2) позволяют найти величины σ_m и σ_t в каждой точке сосуда.

 

Рассмотрим частные случаи:

 

Сферический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис.11.2).

 

 

Рис. 11.2

 

Благодаря симметричности сосуда σ_m = σ_t = σ, ρ_m = ρ_t = D/2.

Из уравнения (11.1) находим

 

Цилиндрический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис. 11.3).

 

 

Рис. 11.3

 

Для цилиндрической части сосуда имеем:

ρ_t = D/2; ρ_m = ∞; α=0

Из уравнения (11.1) находим σ_t = pD/2t. (11.4)

Из уравнения (11.2), полагая cos α = 1, Q = 0, σ_m = pD/4t. (11.5)

Напряжения в днищах определяем, как в сферическом сосуде:

 

σ_m(дн)= σ_t(дн)=pR₁/2t. (11.6)

 

Напряжения в стенке трубы определяются аналогично, как для цилиндрической части тонкостенного сосуда.

Сравнение (11.4) и (11.5) показывает, что σ_t =2σ_m, т.е. напряжения, растягивающие стенки цилиндрической части сосуда, по окружности в 2 раза больше напряжений вдоль образующей. Поэтому разрушение котлов, труб обычно происходит от кольцевых напряжений вдоль образующей.

σ_m и σ_t являются главными напряжениями, σ_t = σ₁, σ_m = σ₂. Третье главное напряжение, перпендикулярное к поверхности сосуда

со стороны, где действует давление, σ₃ = -р;

с противоположной стороны, σ₃ =0.

 

В тонкостенных оболочках обычно величины σ_m и σ_t намного больше, чем интенсивность внутреннего давления р, и поэтому величиной σ₃ можно пренебречь, т.е. считать равной нулю.

Так как в любой точке тонкостенного сосуда имеет место сложное напряженное состояние, для расчета на прочность в зависимости от материала следует пользоваться соответствующей гипотезой прочности

σ_эквI ≤ [σ]_p

Для рассматриваемой задачи при неучете σ₃ эквивалентные напряжения по третьей гипотезе прочности и по гипотезе Мора одинаковы, т.е.

 

σ_экв^III= σ_эквМ= σ_t (11.7)

а по энергетической теории

Если тонкостенный сосуд имеет резкие переломы в очертании (например, примыкание днищ к цилиндрической части), а также в местах закрепления, приложения сосредоточенных сил, установки патрубков, фланцев, у краев оболочки возникает изгиб. Зоны, прилегающие к таким местам, должны рассчитываться по моментной теории.