Математическое моделирование и проектирование.

Учебное пособие составлено в соответствии с ФГОС ВПО и предназначено для студентов специальности «Агрономия». Изложен теоретический материал, необходимый для выполнения лабораторных работ. Подробно на конкретных примерах показан ход выполнения лабораторных работ в программе EXCEL. Даны задания для лабораторных работ.

 

Рецензент -

 

доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии ТГПУ им. Л.Н.Толстого И.В.Денисов

 

Учебное издание

Математическое моделирование и проектирование

Составитель

ИГНАТОВ Юрий Александрович

 

 

© Ю. Игнатов, 2012 г.

 

Модели и моделирование

Моделирование применяют для изучения различных объектов, явлений, процессов. При этом изучаемый объект заменяют его моделью, представляющей собой материальный или мыслительный объект. Модель должна сохранять свойства изучаемого объекта, важные для конкретного исследования.

Цели моделирования

1. Изучение внутренней структуры объекта и структуры его взаимодействия с окружающей средой.

2. Установление качественных и количественных связей между элементами структуры.

3. Прогнозирование развития объекта и его изменениях при определенных воздействиях.

4. Оптимизация объекта и внешних воздействий на него.

Классификация моделей

Физическая модель повторяет внешнюю форму объекта и частично его внутреннюю структуру. Например, при проектировании самолета строят его физическую модель – планер и испытывают в аэродинамической трубе.

Аналоговая модель внешне может быть совершенно не похожа на изучаемый объект, но отражать некоторые его свойства. Например, маятник, совершающий колебательные движения, может моделировать колебание электрического тока в цепи, или звуковые колебания, и т.п. Все эти процессы описываются одинаковыми уравнениями гармонических колебаний.

В рамках аналоговых моделей выделяют знаковые, к которым относятся математические модели. В математических моделях связи между элементами описываются уравнениями или другими математическими и логическими соотношениями.

Математические модели подразделяются на дескриптивные (описательные) и оптимизационные. Цель дескриптивных моделей – описание и прогнозирование объекта, оптимизационных – нахождение оптимального воздействия на объект.

Модель называется адекватной, если выводы из нее соответствуют экспериментальным данным.

На использование модели накладываются определенные условия, в рамках которых модель является адекватной. При невыполнении этих условий выводы из модели могут быть ошибочными. Модель называется робастной, если при небольших отклонениях от заданных условий выводы из модели остаются верными. Робастность не является абсолютной характеристикой: модель может быть робастной в большей или меньшей степени.

Этапы моделирования

Накопление фактов и вывод формул, описывающих свойства объекта и связи между его элементами.

Создание математической модели, описывающей и объясняющей установленные свойства объекта.

Обкатка модели – получение выводов из нее и согласование их с экспериментальными данными. При расхождении с результатами эксперимента уточнение выведенных формул. В результате происходит модернизация модели, и она, возможно, становится все более сложной и громоздкой.

Когда в процессе развития науки и техники выводы из модели перестают соответствовать свойствам объекта, происходит качественное изменение – создается новая модель на принципиально другой основе. При этом старая модель может быть полностью отброшена, а может оказаться частью старой, действующей в определенных рамках.

В дальнейшем этапы моделирования могут циклически повторяться, что будет приводить к созданию новых моделей.

Пример. Модель, описывающая движение небесных светил.

В древние века с развитием мореплавания для нужд навигации возникла насущная необходимость описать движение звезд и планет. Сначала была создана геоцентрическая система Птолемея. В центре Вселенной была помещена Земля, а звезды и планеты вращались вокруг нее на особых сферах. Эта модель хорошо описывала движение звезд и Луны, но для движения планет пришлось придумывать специальные формулы, которые все усложнялись с развитием астрономических наблюдений.

Геоцентрическая система была заменена на принципиально новую – гелиоцентрическую систему Коперника; центром Вселенной стали считать Солнце. При этом упростились формулы, описывающие движение планет. Были открыты законы Ньютона, обосновывающие соответствующие формулы. Через некоторое время было обнаружено несоответствие в наблюдаемом движении планеты Сатурн с выводами из формул. Но оно получило объяснение в рамках действующей модели, а именно – было предсказано наличие другой планеты, вносящей возмущение в движение Сатурна. С помощью модели было рассчитано место этой планеты на небесной сфере, а вскоре она была там действительно обнаружена: это планета Уран. Затем так же были открыты Нептун и Плутон. Все это послужило мощным обоснованием адекватности гелиоцентрической системы мира.

Тем не менее, при дальнейшем развитии астрономии было обнаружено, что Солнце не является центром Вселенной. Солнечная система является частью Нашей галактики. Во Вселенной множество других галактик, которые часто образуют скопления галактик. Но в рамках Солнечной системы гелиоцентрическая модель хорошо описывает движение тел этой системы.