Математическое моделирование

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

 

 

Тула 2012

Игнатов Ю.А.

Математическое моделирование и проектирование.

Учебное пособие составлено в соответствии с ФГОС ВПО и предназначено для студентов специальности «Агрономия». Изложен теоретический материал, необходимый для выполнения лабораторных работ. Подробно на конкретных примерах показан ход выполнения лабораторных работ в программе EXCEL. Даны задания для лабораторных работ.

 

Рецензент -

 

доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии ТГПУ им. Л.Н.Толстого И.В.Денисов

 

Учебное издание

Математическое моделирование и проектирование

Составитель

ИГНАТОВ Юрий Александрович

 

 

© Ю. Игнатов, 2012 г.

 

Модели и моделирование

Моделирование применяют для изучения различных объектов, явлений, процессов. При этом изучаемый объект заменяют его моделью, представляющей собой материальный или мыслительный объект. Модель должна сохранять свойства изучаемого объекта, важные для конкретного исследования.

Цели моделирования

1. Изучение внутренней структуры объекта и структуры его взаимодействия с окружающей средой.

2. Установление качественных и количественных связей между элементами структуры.

3. Прогнозирование развития объекта и его изменениях при определенных воздействиях.

4. Оптимизация объекта и внешних воздействий на него.

Классификация моделей

Физическая модель повторяет внешнюю форму объекта и частично его внутреннюю структуру. Например, при проектировании самолета строят его физическую модель – планер и испытывают в аэродинамической трубе.

Аналоговая модель внешне может быть совершенно не похожа на изучаемый объект, но отражать некоторые его свойства. Например, маятник, совершающий колебательные движения, может моделировать колебание электрического тока в цепи, или звуковые колебания, и т.п. Все эти процессы описываются одинаковыми уравнениями гармонических колебаний.

В рамках аналоговых моделей выделяют знаковые, к которым относятся математические модели. В математических моделях связи между элементами описываются уравнениями или другими математическими и логическими соотношениями.

Математические модели подразделяются на дескриптивные (описательные) и оптимизационные. Цель дескриптивных моделей – описание и прогнозирование объекта, оптимизационных – нахождение оптимального воздействия на объект.

Модель называется адекватной, если выводы из нее соответствуют экспериментальным данным.

На использование модели накладываются определенные условия, в рамках которых модель является адекватной. При невыполнении этих условий выводы из модели могут быть ошибочными. Модель называется робастной, если при небольших отклонениях от заданных условий выводы из модели остаются верными. Робастность не является абсолютной характеристикой: модель может быть робастной в большей или меньшей степени.

Этапы моделирования

Накопление фактов и вывод формул, описывающих свойства объекта и связи между его элементами.

Создание математической модели, описывающей и объясняющей установленные свойства объекта.

Обкатка модели – получение выводов из нее и согласование их с экспериментальными данными. При расхождении с результатами эксперимента уточнение выведенных формул. В результате происходит модернизация модели, и она, возможно, становится все более сложной и громоздкой.

Когда в процессе развития науки и техники выводы из модели перестают соответствовать свойствам объекта, происходит качественное изменение – создается новая модель на принципиально другой основе. При этом старая модель может быть полностью отброшена, а может оказаться частью старой, действующей в определенных рамках.

В дальнейшем этапы моделирования могут циклически повторяться, что будет приводить к созданию новых моделей.

Пример. Модель, описывающая движение небесных светил.

В древние века с развитием мореплавания для нужд навигации возникла насущная необходимость описать движение звезд и планет. Сначала была создана геоцентрическая система Птолемея. В центре Вселенной была помещена Земля, а звезды и планеты вращались вокруг нее на особых сферах. Эта модель хорошо описывала движение звезд и Луны, но для движения планет пришлось придумывать специальные формулы, которые все усложнялись с развитием астрономических наблюдений.

Геоцентрическая система была заменена на принципиально новую – гелиоцентрическую систему Коперника; центром Вселенной стали считать Солнце. При этом упростились формулы, описывающие движение планет. Были открыты законы Ньютона, обосновывающие соответствующие формулы. Через некоторое время было обнаружено несоответствие в наблюдаемом движении планеты Сатурн с выводами из формул. Но оно получило объяснение в рамках действующей модели, а именно – было предсказано наличие другой планеты, вносящей возмущение в движение Сатурна. С помощью модели было рассчитано место этой планеты на небесной сфере, а вскоре она была там действительно обнаружена: это планета Уран. Затем так же были открыты Нептун и Плутон. Все это послужило мощным обоснованием адекватности гелиоцентрической системы мира.

Тем не менее, при дальнейшем развитии астрономии было обнаружено, что Солнце не является центром Вселенной. Солнечная система является частью Нашей галактики. Во Вселенной множество других галактик, которые часто образуют скопления галактик. Но в рамках Солнечной системы гелиоцентрическая модель хорошо описывает движение тел этой системы.

Многокритериальные задачи

В предыдущих примерах на оптимизацию следовало добиться максимума или минимума одной целевой функции. Но гораздо чаще на практике выделяется несколько критериев, по которым надо добиться оптимизации. Например, повышение качества продукции и снижение ее себестоимости – эти цели противоречат друг другу. В селекционной работе при выведении новых сортов также преследуются разные цели: урожайность, устойчивость к вредителям и болезням, неблагоприятным погодным условиям, содержание полезных веществ, и т.д.

Пусть каждый критерий имеет числовое выражение, то есть для него выведена целевая функция, которую надо максимизировать или минимизировать. Как правило, оптимизация одного из критериев выдает для других целевых функций далеко не оптимальное значение. Поэтому надо найти такое решение, при котором все целевые функции принимали приемлемые значения, более или менее близкие к оптимальному.

Один из способов решения этой задачи – создать новую целевую функцию, объединяющую все имеющиеся. Пусть f ₁, …, f_n – целевые функции для рассматриваемых критериев. Введем новую целевую функцию

f = a ₁ f ₁ + … + a_nf_n,

где a ₁, …, a_n – коэффициенты, подобранные подходящим образом. Если функцию f_i требуется максимизировать, то коэффициент a_i берем положительным, в противном случае – отрицательным. Абсолютное значение коэффициента выбираем в зависимости от важности критерия: тем больше, чем важнее критерий. Тогда приходим к задаче максимизировать полученную целевую функцию.

Но при этом возникает проблема, как выбрать значения коэффициентов. Даже проранжировав критерии по важности, трудно выразить эту важность количественно посредством коэффициентов: это будет неизбежно субъективно. Тем более, значимость критериев может меняться в зависимости от складывающейся ситуации. Например, при сельскохозяйственном производстве главным критерием можно считать прибыль (как и в любом другом производстве), но при неурожае главным может стать валовое производство.

 Поэтому можно попробовать разные способы выбора коэффициентов, то есть решить задачу в нескольких вариантах, и сравнить полученные решения. Отбросив явно худшие решения, из оставшихся выбираем наиболее приемлемое.

Другой подход к решению задачи также основан на ранжировании критериев. Сначала находим оптимальное решение по наиболее важному критерию. Оцениваем получившееся значение М ₁ его целевой функции f ₁. Решаем, какое меньшее значение m ₁ нас может устроить, и вводим ограничение f ₁≥ m ₁. При этом дополнительном ограничении находим оптимальное значение второго по важности критерия. С его целевой функцией f ₂ поступаем таким же образом и переходим к третьему критерию, и т.д., пока не пройдем все критерии.

Задания для лабораторных работ

Лабораторная работа 1
«Определение оптимального сочетания зерновых культур»

Определить оптимальное сочетание зерновых культур: пшеницы, ячменя, ржи, овса.

Производство культур характеризуется следующей таблицей:

 

Показатели	Пшеница	Ячмень	Рожь	Овес
Урожайность с 1 га, ц	40	35	36	30
Затраты труда на 1 га, чел.-ч.	20	15	15	13
Затраты удобрений на 1 га, руб.	80	50	60	40

 

Производственные ресурсы:

 

Ресурс	Вариант
	1	2	3	4	5
Пашня, га	2100	1900	2200	1800	2000
Труд, чел.-ч.	36000	32000	39000	30000	34000
Удобрения, руб.	135000	120000	139000	115000	125000

 

Производство продовольственного зерна (пшеница, рожь) – не менее 2000 т, фуражного зерна (ячмень, овес) – не менее 2000 т.

 

Критерий оптимальности: максимальное производство зерна.

Номер варианта - номер студента в списке в журнале.

 

Лабораторная работа 2
«Оптимизация количества удобрений, вносимых в поле»

Выполнить лабораторную работу, описанную в теме  «Решение задачи линейного программирования средствами EXCEL», включив в решение все приведенные зерновые культуры. В качестве параметра а в строке таблицы, где заданы площади под культуры, взять номер студента по списку в журнале.

Лабораторная работа 3
«Распределение удобрений в условиях дефицита»

Выполнить лабораторную работу, описанную в теме  «Задача нелинейного программирования». В качестве параметра а в строке таблицы, где заданы площади под культуры, взять номер студента по списку в журнале.

№	Культура	Озимая пшеница	Яровая пшеница	Рожь	Ячмень	Овес
1	Площадь, га	120 + 10 а	70 + 10 а	110	150 – 10 а	70

 

Лабораторная работа 4
«Оптимизация загрузки машины»

Решите задачу целочисленного программирования.

Предприятие собирается отправить на ярмарку свою продукцию пяти видов на грузовой машине. Грузоподъемность машины 5 т, объем 15 кубометров. Планируется представить не менее двух единиц продукции каждого вида. Рассчитайте, сколько следует взять единиц продукции каждого вида, чтобы она поместилась в машину и ее суммарная стоимость была максимальной. Необходимые параметры представлены в таблице.

В качестве параметра а взять номер студента по списку в журнале.

 

Вид продукции 1 2 3 4 5 Масса, кг 30 100 55 10 80 Объем, куб.м 0,09 1 0,4 0,03 0,5 Цена, руб 1500 11000+100 а 6500 500 8500

 

Лабораторная работа 5
«Многокритериальная задача»

Определить оптимальное сочетание трех зерновых культур: пшеницы, ячменя и овса. Производство культур характеризуют показатели таблицы.

Показатели	Озимая пшеница	Яровой ячмень	Овес
Урожайность с 1 га, ц.	40	35	30
Затраты труда на 1 га, чел.-ч.	20	15	13
Затраты удобрений на 1 га, руб.	80	50	40

Производственные ресурсы: пашня – (1600+100а) га, удобрения – 100000 руб. В качестве параметра а взять номер студента по списку в журнале.

Критерий оптимальности: максимальное производство зерна и минимальные затраты труда.

Решить задачу двумя способами.

1. Считать главным критерием производство зерна. Решить задачу максимизации этого показателя. Получив результат, определить приемлемый уровень сбора зерна. Наложив соответствующее ограничение, решить задачу минимизации затрат труда.

2. Построить целевые функции – производство зерна и затраты труда. Выбрав по своему усмотрению коэффициенты к ним, задать их комбинацию – новую целевую функцию. Решить задачу ее максимизации (или минимизации).

Сравните полученные решения и сделайте выводы.

 

Лабораторная работа 6
«Распределение техники по отделениям хозяйства»

Решите задачу динамического программирования.

Распределить между четырьмя отделениями с тем, чтобы максимально повысить общий уровень технической готовности. Для каждого i-го отделения известен уровень технической готовности f_i(u), который отделение будет иметь, если получит u единиц техники. Эти данные приведены в таблице. Распределить машины таким образом, чтобы суммарный уровень технической готовности был максимальным.

 

u	f1(u)	f2(u)	f3(u)	f4(u)
0	0,63	0,69	0,74	0,81
1	0,73	0,77	0,80	0,86
2	0,80	0,85	0,84	0,89
3	0,85	0,89	0,87	0,91
4	0,88	0,91	0,90	0,92
5	0,90	0,92	0,91	0,93
6	0,91	0,92	0,92	0,94

 

Литература

1. Смиряев, А.В. Моделирование: от биологии до экономики. Учебное пособие./ А.В. Смиряев, А.В. Исачкин, Л.К.Харрасова./ М.: Изд-во МСХА, 2002. – 122 с.

2. Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Построение и решение оптимизационных моделей средствами MS Excel и ХА: Методические указания. М.: Изд-во МСХА, 2005.– 27 с.

3. Братусь, А.С.Динамические системы и модели биологии/ А.С. Братусь,  А.С. Новожилов,  А.П. Платонов. М.: Физматлит, 2010. – 398 с.

4. Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры: Монография/ А.А.Самарский, А.П.Михайлов. – М: Физматлит, 2005. – 320с.

Оглавление

1.  Модели и моделирование 3

2.  Модели в сельском хозяйстве и биологии 4

3.  Задача линейного программирования 7

4.  Решение задачи линейного программирования средствами EXCEL 9

5.  Задача нелинейного программирования 15

6.  Многокритериальные задачи 18

7.  Динамическое программирование 19

8.  Задания для лабораторных работ 24

Лабораторная работа 1 «Определение оптимального сочетания зерновых культур» 24

Лабораторная работа 2 «Оптимизация количества удобрений, вносимых в поле» 25

Лабораторная работа 3 «Распределение удобрений в условиях дефицита» 25

Лабораторная работа 4 «Оптимизация загрузки машины» 25

Лабораторная работа 5 «Многокритериальная задача» 26

Лабораторная работа 6 «Распределение техники по отделениям хозяйства» 26

Литература 27

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

 

 

Тула 2012

Игнатов Ю.А.