Изображение комплексными числами.

Для аналитического решения плоскость координат XOY заменим комплексной плоскостью (рис. 5.4).

 

Так как буквой i в электротехнических дисциплинах обозначают ток, то мнимую единицу обозначают буквой  .

Вектору на комплексной плоскости можно сопоставить комплексное число:

Величину комплексного тока характеризуют модулем комплекса Im, положение на комплексной плоскости – аргументом комплекса . Т акую форму записи комплексного числа в математике называют показательной. Ее можно использовать для умножения и деления комплексных чисел.

Так как операции сложения и вычитания над величинами, выраженными в показательной форме производить крайне сложно, то переходят, переходят к так называемой алгебраической форме. Для этого используют формулу Эйлера:

 позволяющую разложить экспоненту на составляющие по cos и sin. То есть раскладывают вектор на проекции по действующей и мнимой осям координат: действительную Im ′ и мнимую j Im ′′.

 

Обратный переход от алгебраической формы записи к показательной форме записи делают по формулам, полученным

из решения прямоугольного треугольника (см. рис. 5.4):

Амплитуда (длина) вектора: ;

Угол наклона вектора к оси действительных чисел ψ или :

, где .

 

Резистор в цепи синусоидального тока

Пусть резистор с сопротивлением R подключен к источнику синусоидального напряжения u=U_mSinωt (рис.2.5,а).

В такой цепи в любой момент времени напряжение источника компенсируется падением напряжения на резисторе u=iR, откуда,

где I_m=U_m/R

Рисунок 5.5 – График резистора в цепи синусоидального тока

Из последнего выражения видно, что при синусоидальном напряжении ток в цепи также синусоидален. Ток в цепи с резистором совпадает по фазе с приложенным напряжением. Такой ток принято называть активным, а нагрузка, в которой ток совпадает по фазе с напряжением, называется активной нагрузкой.

Мощность, потребляемая нагрузкой в разные моменты времени, неодинакова и рассчитывается по формуле:

Как видно из графика, представленного на рисунке 2.5,б, мгновенная мощность в цепи с резистором периодически изменяется от нуля до максимума. При этом знак мощности остается положительным. Это означает, что в активной нагрузке происходит процесс необратимого преобразования электрической энергии.

Мощность цепи переменного тока принято оценивать по среднему за период значению, которое называют активной мощностью P.

Активная мощность измеряется в ваттах [Вт].