Частота и относительная частота

Также для представления выборок пользуются таблицами, состоящими из двух строк. В первой строке записываются варианты выборки, расположенные в порядке возрастания. Во второй строке записываются частоты или относительные частоты вариант.

Определение. Частотой варианты называется число, равное количеству повторений варианты в выборке.

Сумма всех частот опытных значений равна объему выборки. Таким образом, если n _i – частота варианты x _i, всего в выборке k разных вариант, то

,

где n – объем выборки.

Определение. Относительной частотой варианты называется отношение частоты данной варианты к объему выборки:

Очевидно, что сумма всех относительных частот равна 1.

Описанные выше таблицы называются таблицами частот и таблицами относительных частот соответственно.

Пример. С производственной линии случайным образом 36 раз отбирали по 10 единиц некоторого изделия. Каждый раз отмечалось число дефектных изделий.

Получена выборка:

0	0	1	0	2	0	1	2	1	0	0	0	0	0	3	1	0	0
0	0	0	2	0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1

Здесь n = 36 (объем выборки), в выборке представлены 4 варианты:

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3.

Составим таблицу частот и таблицу относительных частот для этого примера

Таблица частот						Таблица относительных частот
xi	0	1	2	3		xi	0	1	2	3
ni	21	11	3	1

Таблица относительных частот напоминает таблицу вероятностей дискретной случайной величины. Только вместо значений случайной величины пишут варианты выборки, а роль вероятностей исполняют относительные частоты.

Перечень вариант выборки и соответствующих им частот или относительных частот называют также статистическим распределением выборки.

Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.

То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.

Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:

Игрок	5	9	10	4	11	1	8	3	7	6	2
Рост	176	178	179	181	181	183	184	187	189	190	194

Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. Таким образом:

Рост	176	178	179	181	183	184	187	189	190	194
Частота	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1

Сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки). То есть в нашем примере:

1+1+1+2+1+1+1+1+1+1=11

Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:

Рост	176	178	179	181	183	184	187	189	190	194
Частота	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1
Относительная частота

 

Графическое изображение данных

Очень часто для наглядности данные представляются в виде диаграмм/графиков. Остановимся на рассмотрении основных из них:

1. столбчатая диаграмма,

2. круговая диаграмма,

3. гистограмма,

4. полигон

Столбчатая диаграмма

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят продемонстрировать динамику изменения данных во времени или распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Например, у нас есть вот такие данные об оценках написанной контрольной работы в одной группе:

Оценка	2	3	4	5
Количество получивших оценку	3	10	15	5

Количество получивших оценку – это частота. Зная это, составим таблицу относительных частот:

Оценка	2	3	4	5
Количество получивших оценку	3	10	15	5
Относительная частота	9,1%	30,3%	45,5%	15,2%

Теперь построим наглядные столбчатые графики на основе такого показателя как частота (на горизонтальной оси отражены оценки (2,3,4,5), на вертикальной оси откладываем количество учеников, получивших соответствующие оценки):

Или же можем построить соответствующий столбчатый график на основе относительной частоты:

Круговая диаграмма

Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой выборки удобно использовать круговые диаграммы.

По таблице с относительными частотами распределения оценок в группе можем построить круговую диаграмму, разбив круг на секторы, пропорциональные относительным частотам.

Вот так:

Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом числе частей совокупности. В нашем случае, таких частей четыре (в соответствии с возможными оценками2,3,4,5), поэтому применение такого типа диаграммы достаточно эффективно.

Полигон

Динамику изменения статистических данных во времени часто изображают с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном.

Вот, к примеру нам даны среднемесячные температуры воздуха в городе N.

	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Средняя температура	-10,2	-9,2	-4,3	-4,4	12	16	18,1	16,3	10,7	4,3	-1,9	-7,3

Сделаем приведенные данные более наглядными – построим полигон.

На горизонтальной оси отражены месяцы, на вертикальной – температура. Строим соответствующие точки и соединяем их. Вот, что получилось:

Полигон, используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Вот построенный полигон на основе нашего примера с распределением оценок:

Пример.

На рисунке жирными точками показана цена алюминия на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 7 по 20 августа 2014 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны алюминия в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена алюминия на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.

Ответ: 14.

Гистограмма

Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограммы. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольника выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Вот, к примеру, у нас есть следующие данные о росте игроков, вызванных в сборную:

Рост	Количество
165-180	14
181-185	9
186-195	7
196-200	1

Итак, дана частота (количество игроков с соответствующим ростом). Дополним табличку, рассчитав относительную частоту:

Рост	Количество	Относительная частота
165-180	14	45,2%
181-185	9	29,0%
186-195	7	22,6%
196-200	1	3,2%

 

Построим гистограмму. Сначала построим на основании частоты.

А теперь на основании данных об относительной частоте:

Пример.

На выставку по инновационным технологиям приехали представители 50 компаний. На диаграмме показано распределение этих компаний по количеству персонала. По горизонтали представлено количество сотрудников в компании, по вертикали - количество компаний, имеющих данное число сотрудников.

Какой процент составляют компании с общим числом сотрудников больше 50 человек?

Решение.

Компаний, которые имеют число сотрудников больше 50 человек, всего 34. Общее количество компаний – 50.

Таким образом,

Ответ: 68%.

Пример 1. По заданному статистическому ряду (табл. 1) требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот.

                                                                                               Таблица 1

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30
	2	6	12	19	7	4

Решение

а) Объем выборки .

Определяем относительные частоты  и составляем табл. 2 с относительными частотами:

                                                                                               Таблица 2

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30
	0,04	0,12	0,24	0,38	0,14	0,08

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываются частичные интервалы длины , а над ними проводятся горизонтальные отрезки на расстоянии  .

б) Перейдем к вариантам, положив их равными серединам частичных интервалов , где , – концы интервалов. Тогда табл. 2 превратится в табл. 3:

                                                                                               Таблица 3

	13,5	16,5	19,5	22,5	25,5	28,5
	0,04	0,12	0,24	0,38	0,14	0,08

Отметим на плоскости точки  и, соединив соседние точки, получим полигон относительных частот.

 

Вопросы для самопроверки

1. Понятие размещения; формула для вычисления числа размещений.

2. Понятие перестановки; формула для вычисления числа перестановок.

3. Понятие сочетания; формула для вычисления числа сочетаний.

4. Понятие частоты события.

5. Классическое определение вероятности.

6. Формула для вычисления вероятности события.

7. Понятие совместного и несовместного события.

8. Теоремы сложения вероятностей.

9. Теоремы умножения вероятностей.

10. Что означает термин «статистика»? Какой смысл мы в него вкладываем?

11. Что является предметом статистического исследования? Какие, на ваш взгляд, явления общественной жизни являются или могут являться предметом статистического исследования?

12. Назовите основные разделы статистической науки, чем вызвано выделение самостоятельных статистических дисциплин?

13. Что такое генеральная совокупность?

14. Что такое выборка?

15. Как построить варационный ряд?

16. Как построить гистограмму статистического распределения?

17. Как построить полигон относительных частот?

 

Задания для самостоятельного решения

Задание № 1. Комбинаторика

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?
2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?
3. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?
4. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
5. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
6. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.
7. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?
8. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

 

1. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.
2. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?
3. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?
4. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

 

Задание № 2. Теория вероятностей

1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?
2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).
3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.
4. Из колоды карт (36 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.
5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».
6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?
7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Задание №3. Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

4. Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

Х	1	2	3	4
р	0,3	0,1	0,2	0,4

5. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

6. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

Задание № 4. Математическая статистика.

1. Найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел: 

а) 20,18,32,10,45,15,18,12

б) 2,2;3,8;1,6;4,4;1,5.

в) 34; 46; 67; 37; 45; 60

г) 5; 4; 7; 9; 10; 12; 17; 8

д) 156; 180; 164; 172

2. Рост учащихся группы студентов: 157, 165, 165, 168, 165, 161, 165, 160, 162, 169, 171, 170, 170, 175, 173, 170, 177, 182, 186, 182, 160, 173, 165, 162, 174, 177.

1) составить ранжированный ряд;

2) определить средний рост, моду ряда, медиану ряда.

3. Построить полигоны частот и относительных частот распределения

Xi	1	3	5	7	9
ni	10	15	30	33	12

4. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения

2-5	9
5-8	10
8-11	25
11-14	6

5. Статистический ряд задан таблицей. Требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

а)	(–6; –4) (–4; –2) (–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6) 2 6 17 18 4 3
б)	(0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8) (8; 10) (10; 12) 1 3 19 21 4 2
в)	(–4; –2) (–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8) 3 8 14 15 9 1

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акимов В.Н., Попов В.Я. Интегральное исчисление функции одной переменной. Определенный интеграл. Учебное пособие для студентов и преподавателей. М. РГМУ. – М.: ГОУ ВПО РГМУ. – 2007.

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – Москва: Дрофа. - 2009.

3. Бурмистрова М.В. Математика: Учебное пособие «Неопределенный интеграл». Санкт-Петербург: ГБОУ СПО СПБ ТКУИК. – 2013.

4. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математикаxдля техникумов. – М., 1986.

5. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.

6. Григорьев С.Г. Математика: Учебник для студ. сред. проф. Учреждений – М.: Издательский центр «Академия», 2005.

7. Евдокимова М.Д. Методические указания по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов 2-3 курсов (специальность 230115 Программирование в компьютерных системах). - ГОБУ СПО ВО «СГТЭК», 2014.

8. Киселевская, С.В., Ушаков, А.А. Вычислительная математика. Численные методы. Учебное пособие. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2009.

9. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С. Пособие по математике для поступающих в вузы. - Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

10. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2009

11. Лебедев И. А., Сукачева Т. Г. Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие. ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого».

12. Лимонникова Е. В., Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «Вычислительная математика». - Севмашвтуз, 2010.

13. Потапенко Т.А. Теория множеств. Учебное пособие. – Филиал ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный университет путей сообщения» - Томский техникум железнодорожного транспорта, 2011.

14. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.I, 2. – М., 1968.

ИНТЕРНЕТ ИСТОЧНИКИ

1. www.webmath.ru

2.  www.mathprofi.ru

3.  http://fan-5.ru

4. www.resolventa.ru

5. http://edu.dvgups.ru

6. www.studfiles.ru

7. www.studmed.ru

8. http://youclever.org