Синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

 

 

· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).

· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).

· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).

· Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB).

     

Значения тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
					N/A		N/A
	N/A					N/A		N/A

 

Значения косинуса и синуса на окружности.

 

 

 

Свойства тригонометрических функций

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Формулы приведения:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

sin (180° - α) = sin α

 cos(180° - α) = - cos α

Чётность и нечетность функций.

Чётная функция - функция y = f (x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f (- x) = f (x)

Нечётная функция - функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(- x) = - f(x)

Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:

Теоремы

Теорема о площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.                                                           S = ½ ab sin C

Дано:

∆ АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h - высота

Доказать:

S = ½ ab sin C

Доказательство:

  Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h = b sin C (т.к. sin C = h / b) => S = ½ ab sin C

                                                                                                               Ч.т.д.

 

 Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.                             a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Дано:

∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Доказательство:

По теореме о площади треугольника S= ½ ab sinC, S = ½ bc sinA,       S= ½ ac sinB.                                                                                                                  

Из первых двух равенств получаем ½ ab sinC = ½ bc sinA,

 ½ ab sinC = ½ bc sinA │: ½ b

a sinC = c sinA │: sinA sinC

a/sinA = c/sinC

Точно также из второго и третьего равенства получаем

½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c

b sinA = a sinB │: sinA sinB

b/sinB = a/sinA

Так как a/sinA = c/sinC и b/sinB = a/sinA, то a/sinA= b/sinB= c/sinC.

                                                                                                 Ч.т.д.

Замечание:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего

угла равно диаметру описанной окружности.

a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R

Дано:

R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр

Доказать:

BC/sinA = 2R (BC=2R sinA)

Доказательство:

Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2R sinA или BC/sinA= 2R.

                                                                                                           Ч.т.д.

 

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a ^2 = b ^2 + c ^2 − 2 bc cosα.

Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a ² = b ² + c ² − 2 bc cosα

Доказательство:

Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 получаем:

ВС² = a ² = (b cosA – c)² +(b sin А- 0) ²,                                                           

a ²= b²cos2A - 2bc cosA + c² + b² sin²A,

a ²= b² (cos2A + sin2A) + c²- 2bc cosA,

a ²= b²+ c² – 2bc cosA.

                                                                                               Ч.т.д.