Рассмотрение свойств неопределенного интеграла

 

Для примера вычислим интеграл от тригонометрических функций.

 

Вычисление неопределённого интеграла от тригонометрических функций.

Далее на примере работы в системе Mathcad рассмотрим несколько свойств неопределённого интеграла. Необходимо вспомнить таблицу неопределенных интегралов, а также свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующего из определения. Это свойство отражает то, что операция интегрирования обратна операции дифференцирования, и наоборот, операция дифференцирования обратна операции интегрирования.

 

 

Демонстрация в системе Mathcad одного из свойств интегрирования и дифференцирования.

На следующем примере продемонстрируем одно отличительное свойство вычисления определённого интеграла в системе Mathcad. Из курса математики известно, что

 

 и .

 

Однако при вычислении этих же интегралов в системе Mathcad мы получим:

 

 

Вычисление неопределённого интеграла в системе Mathcad от «0» и «1».

Как и в этом случае, так и в случае вычисления неопределённого интеграла от  и от  Mathcad не выдаёт константу C. Это объясняется тем, что для Mathcad воспринимает её как переменную, поэтому это всегда надо учитывать, когда в дальнейшем будут решаться задачи связанные с дифференциальными уравнениями, где будут существовать начальные условия. На следующих примерах посмотрим, как при помощи системы Mathcad можно продемонстрировать другие свойства неопределённого интеграла. Для примера возьмём интегрирование показательной и степенной функций.

Из курса математики известно, что = + C и .

 

Примеры вычисления неопределенного интеграла и первообразной

 

Далее приведём примеры вычисления этих функций в системе Mathcad.

Для степенной функции в общем и частном видах (необходимо также обратить внимание на то, что Mathcad не выдаёт константу интегрирования).

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от степенной функции в общем и частном видах.

Для показательной функции в общем и частном видах.

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от показательной функции в общем и частном видах.

Приведём пример ещё нескольких наиболее распространённых функций из таблицы неопределённых интегралов, которые наиболее часто встречаются в задачах.

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от дробной функции.

Здесь стоит обратить внимание на то, что константа а, которая располагается в подынтегральной функции, необязательно должна иметь квадратную степень. Например, если стоит константа 4, то её можно представить, как . Если же стоит константа 3, то её можно представить как (. Аналогично и с другими табличными значениями интегралов.

Приведём ещё несколько примеров.

 

 

Примеры вычисления неопределённых интегралов в системе Mathcad.

Следует помнить, что Mathcad не всегда корректно может вычислить неопределённый интеграл в общем виде, однако в частном случае вычисление будет произведено верно.

 

«Некорректное» вычисление неопределённого интеграла в общем виде. Появляется комплексная составляющая.

Фактически операция вычисления неопределенного интеграла является бесполезной, и предназначена только для того, чтобы увидеть, как собственно выглядит первообразная для данной функции. Это объясняется тем, что невозможно вычислить какое-то значение у получившейся функции, не говоря уже о том, что невозможно будет построить график этой функции. Всё это делает операцию символьного дифференцирования, показательной операцией, чтобы просто «воочию увидеть» первообразную от заданной функции. Такой способ вычисления интеграла, когда из панели Матанализ вызывается оператор Неопределённый интеграл, после чего вписывается подынтегральная функция и при помощи символьного знака равенства выводится результат вычисления, является достаточно редким и при больших расчётах применяется только как проверочный способ. В большинстве случаев необходимо вычислить как неопределённый, так и определённый интеграл от функции, которая была уже задана ранее, причём результат вычисления неопределённого интеграла необходимо также записать в функцию и при дальнейших расчётах найти значение этой функции в какой-либо точке или построить её график. Ниже приведу пример, который иллюстрирует, каким образом, вычисляется неопределённый интеграл от функции, которая была задана ранее и как результат вычисления записывается в функцию.

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от функции, заданной ранее.

Приведу ещё один пример.

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от более сложной функции, заданной ранее.

Помимо необходимости вычисления интеграла от функции, которая была задана ранее, а также необходимости записи результата вычисления в функцию, существует также необходимость нахождения значения результирующей функции в какой-либо точке.

Рассмотрим следующий пример.

 

 

Пример вычисления значения результирующей функции в какой-либо точке.

Обратите внимание на следующее. Для того чтобы вычислить значение функции в какой-либо точке, необходимо произвести вычисление в качестве «символьного вычисления». При этом Mathcad может выдавать значения типа  или  и прочее, т.е. не выводя само число. Поэтому для того, чтобы получить сам результат, необходимо скопировать выражение символьного результата при помощи оператора Вычислить численно на панели Калькулятор и получить это число, как показано на примере выше. Помимо того, что данные могут вноситься непосредственно вместо переменной в результирующей функции, также можно задаваться переменные, которые уже заранее содержат численные значения. Их можно использовать для вычисления значения функции, как подынтегральной, так и функции, которая является результатом интегрирования подынтегральной функции.

На следующем примере разберём этот случай.

 

 

Пример вычисления значения функции от переменной, заданной выше.

На рисунке ниже показано, что Mathcad «отказывается» строить график первообразной функции. Как построить график первообразной функции разберём в разделе «Определённый интеграл».

 

Mathcad «отказывается» строить график первообразной функции. Для построения графика см. раздел «Определённый интеграл».

Помимо того, что приходится вычислять неопределённые интегралы от функции одной переменной, в большинстве как математических, так и инженерных задач приходится вычислять как неопределенные, так и определенные интегралы функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров на вычисление интегралов от функции нескольких переменных.

 

 

Пример вычисления неопределенного интеграла от функции двух переменных.

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от функции трёх переменных.

Зачастую, помимо того, что есть необходимость вычислять неопределённый интеграл от функции нескольких переменных, также существует необходимость вычислять значения первообразной нескольких переменных в заданной точке.

Приведем ниже пример такого вычисления.

 

 

Пример вычисления значения первообразной в заданных точках.

Мы разобрали возможности системы Mathcad для вычисления неопределенных интегралов. В следующем разделе будут приведены примеры вычисления неопределённых интегралов в системе Mathcad.