Анизотропия и симметрия кристаллов

Упорядоченность в расположении атомов, присущая кристаллам, является причиной проявления таких важных особенностей, как анизотропия и симметрия. Рассмотрим это подробнее.

 

Анизотропия кристаллов

 

 Физические свойства твердого тела можно разделить на две категории. Одна из них включает такие свойства, как плотность, удельная теплоемкость, которые не связаны с выбором какого-либо направления внутри кристалла. К другой категории принадлежат свойства, которые могут быть различными для разных направлений в кристалле. К ним можно отнести модули упругости, удельное электросопротивление, коэффициент диффузии и ряд других свойств. Если указанные характеристики оказываются одинаковыми по всем направлениям, то такой материал считается изотропным (рис.5, а). Если же для разных направлений внутри данного кристалла свойства будут различными, то говорят, что он обладает анизотропностью или анизотропией (рис.5, б). Следовательно, под анизотропией понимается зависимость физических свойств материала от направления. Изотропными являются аморфные тела, жидкости, газы. Анизотропия же является характерной особенностью кристаллов. Однако она обнаруживается не у всяких кристаллических веществ, а только у монокристаллов. В большинстве же своем реальные металлические материалы являются поликристаллами, т.е. состоят из множества жестко связанных между собой отдельных кристалликов (зерен), имеющих различную ориентировку. Иными словами, такие поликристаллические материалы будут обладать квазиизотропностью. Если же в пространственном расположении таких кристаллических зерен наблюдается упорядоченность, то поликристаллический материал окажется анизотропным.

Подобная преимущественная кристаллографическая ориентировка зерен называется текстурой, и она может возникать, например, в результате ряда технологических обработок металлов давлением - при волочении, прокатке.

Симметрия кристаллов

 

 Одной из замечательных особенностей кристаллических тел является симметричность. Известному русскому кристаллографу Е.С.Федорову принадлежит выразительная фраза: "Кристаллы блещут своей симметрией". Симметрия возникает потому, что атомы повторяются в кристалле в правильном порядке, образуя пространственный узор.

 

 

 

                                   а                                                               б

 

Рис.5. Изотропный (а) и анизотропный (б) материалы.

                            Длина стрелок характеризует какое-либо свойство

 

Под симметрией понимают одинаковость частей кристалла (фигуры), которые при совмещении друг с другом полностью совпадают. Это означает, что симметричная фигура имеет всегда равные части, в результате наложения которых исходное и конечное положения фигуры становятся неразличимыми.

                                  

2.2.1. Симметрические преобразования и элементы симметрии

 

 Симметрическое совмещение (или преобразование) можно осуществить различными способами. При  этом любая операция повторения (совмещения) может быть описана с помощью вспомогательных геометрических образов в виде особых точек, осей и плоскостей, которые принято называть элементами симметрии.

Поворотная симметрия. Симметрическое преобразование может быть достигнуто путем поворота (вращения) кристалла на определенный угол вокруг оси, проходящей через этот кристалл. Осуществление такой операции требует, следовательно, наличия особой оси, которую называют поворотной осью симметрии. На рис.6 показана такая симметрическая операция, когда совмещение фигуры происходит в результате вращения ее вокруг оси.

Для оси симметрии вводится обозначение ее порядка, а также элементарного угла поворота. Порядок оси симметрии n показывает, сколько раз фигура совмещается сама с собой при полном обороте вокруг этой оси (на 360^о), т.е. порядок оси равен числу самосовмещений. Элементарный угол поворота a - это минимальный угол поворота вокруг данной оси симметрии, в результате чего обеспечивается самосовмещение кристалла (следовательно, a = 2 p /n).

 

 

 

Рис.6. Симметрическое преобразование путем вращения (поворота) вокруг оси

 

 

Показано, что могут существовать только оси симметрии с величиной n, равной 1, 2, 3, 4 и 6. Они характеризуют повторение кристалла через каждые 360, 180, 120, 90 и 60^о и называются соответственно осями 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков. Обозначение осей симметрии дается в символьной форме L _n, где n означает порядок оси (L ₁, L ₂, L ₃, L ₄ и L ₆). Например, у куба можно выделить несколько видов осей симметрии. Так, он содержит оси 4-го порядка, проходящие через центр грани (таких осей три); оси 3-го порядка, совпадающие с пространственной диагональю (их четыре), и оси 2-го порядка, проходящие через середины ребер куба (их шесть).

На рис.7 показано расположение этих осей.

Следует пояснить одно обстоятельство - это имеющиеся ограничения на существование осей симметрии 5-го, 7-го порядков. Если рассматривать изолированные фигуры в виде пяти- или семиконечной звезды, то для них, казалось бы, вполне очевидными было бы присутствие осей симметрии соответствующего порядка. Однако с кристаллическим веществом оси таких порядков оказываются несовместимыми. Причина – кристаллическая фигура рассматривается как бесконечная система материальных точек, симметрично повторяющихся в пространстве. В связи с этим косые параллелограммы, прямоугольники, треугольники, квадраты и шестиугольники (т.е. фигуры с осями 2, 3, 4 и 6-го порядков) могут прилегать друг к другу вплотную и заполнять всю, например, плоскость без пропусков и пустот. В то же время пяти- и семиугольники невозможно плотно уложить без промежутков, не оставляя пустые участки (которые пришлось бы затем заполнять фигурами другой симметрии).

 

 

Рис. 7. Оси симметрии куба          а - 3 L ₄; б - 4 L ₃;

  в - 6 L ₂

 

 

                                        

      а                                 б                            в

Отражение. Другой операцией симметрии является отражение (инверсия). Ее особенность состоит в том, что в отличие от вращения она является физически нереализуемой и выполняется только мысленно. Отражение может осуществляться в плоскости или точке. Этим симметрическим преобразованиям соответствуют специальные элементы симметрии - плоскость зеркального отражения и центр симметрии. При отражении в плоскости самосовмещение достигается в результате зеркального отражения точек фигуры в плоскости, которая делит ее на две зеркально-равные части. Следовательно, плоскость симметрии - это такая плоскость, которая разделяет фигуру на две части, расположенные относительно друг друга, как предмет и его зеркальное отражение, как правая и левая рука (рис.8). Принятое символьное обозначение плоскости симметрии - Р.

 

 

 

Рис.8. Симметрическое преобразование путем отражения в плоскости симметрии

 

 

Если вновь обратиться к кубу, то в нем можно выделить девять плоскостей симметрии (рис.9): три взаимно перпендикулярные плоскости делят пополам противоположные ребра куба (их называют координатными), остальные шесть плоскостей проходят по диагоналям граней куба (соответственно они именуются диагональными).           

 

                                               Рис. 9. Плоскости симметрии   куба:         

    а - координатные (три);

  б - диагональные (шесть)

 

 

                          

 

                                  а                                                 б

Вторым элементом симметрии, связанным с операцией отражения, является центр симметрии (или центр инверсии).  Это особая точка внутри фигуры, которая делит пополам любую прямую, находящуюся внутри этой фигуры. Симметрическое преобразование в центре симметрии - это зеркальное отражение в точке: каждая точка фигуры отражается в центре так, что фигура как бы поворачивается "с лица наизнанку". Скажем, вывернув наизнанку правую перчатку, можно сделать из нее левую.

 

 

Рис. 10. Центр симметрии C параллелепипеда

 

 

Обратимся для примера к произвольной модели кристаллического многогранника (рис.10). Из определения центра симметрии следует, что если по одну сторону от центральной точки С находится вершина А данного многогранника, то по другую сторону на том же расстоянии от С должна находиться точно такая же парная ей вершина А ₁. Наметив на ребре или грани какую-либо точку В, обязательно можно отыскать соответственную ей точку В ₁ на аналогичном ребре или грани по другую сторону от С, причем ВС = В ₁ С.

На рис.11 приведена симметрическая операция совмещения фигуры в результате отражения в центре симметрии.                                                    

Центр симметрии принято обозначать в виде точки или буквы С.               

 

 

Рис.11. Симметрическое преобразование путем

           отражения в центре симметрии

 

 

Применительно к многогранникам существует такое полезное правило: если фигура имеет центр симметрии С, то каждой грани обязательно отвечает другая грань, равная и параллельная первой.

Используя элементы симметрии, удается более полно описать внешний вид кристалла. Например, рассматривая куб, можно не только определить его как симметричное тело, но и конкретно указать, что он имеет три оси L ₄, четыре оси L ₃, шесть осей L ₂, а также содержит девять плоскостей зеркального отражения и центр симметрии.

 

Инверсионные оси симметрии

Все симметрические преобразования принято делить на простые и сложные. Простыми считаются такие преобразования, в результате которых фигура совмещается сама с собой за одну единственную операцию (либо путем отражения в центральной точке или плоскости, либо посредством поворота на определенный угол). Сложными являются симметрические преобразования, выполняемые за две операции – путем вращения на соответствующий угол с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке фигуры как в центре симметрии.

Таким сложным операциям симметрии соответствуют специальные, так называемые инверсионные оси симметрии. Подобные элементы симметрии рассматриваются как совокупность простой оси симметрии и центра инверсии, действующих не порознь, а совместно. Отметим, что центр инверсии, участвуя лишь в качестве составной части инверсионной оси, может и не быть самостоятельным элементом симметрии.

Инверсионные оси в кристаллах, как и простые, не бывают 5-го порядка или большего, чем 6-го. Их принято обозначать следующим образом:

 

L _{`1</sub>, L <sub>`2}, L _{`3</sub>, L <sub>`4}, L <sub>`6</sub>       или   ` 1, ` 2, ` 3, ` 4, ` 6.

 

Таким образом, в общем случае инверсионная ось симметрии n -го порядка`(n) означает поворот на угол 2p/ n  с одновременной инверсией в центральной точке как в центре симметрии. Каждая из этих операций (вращение + инверсия) является частью общей операции симметрии, и их нельзя рассматривать как отдельные операции.

Самостоятельное значение имеют инверсионные оси третьего (` 3), четвертого (` 4) и шестого (` 6) порядков. Это связано с тем, что инверсионные оси симметрии более низкого порядка (первого и второго) можно заменить эквивалентными им простыми элементами симметрии. Так, нетрудно видеть, что инверсионная ось ` 1 эквивалентна центру симметрии С (рис.12, а), а инверсионная ось ` 2 эквивалентна плоскости симметрии Р (рис.12, б):

 

` 1 º С; ` 2 º Р.

                  а                                                                          б

 

Рис.12. Схема, поясняющая эквивалентные замены действий инверсионной

        оси симметрии 1-го порядка отражением в центре симметрии С (а) и

        инверсионной оси симметрии 2-го порядка отражением в плоскости Р (б).

 

Показано также, что инверсионная ось ` 4    всегда является одновременно поворотной осью 2 (или, как говорят, с ней совместима ось 2), а   ось ` 6 - осью 3. Инверсионная ось ` 3 может рассматриваться как совокупность отдельно действующих оси 3 и центра симметрии, т.е. ` 3 º L ₃ С.

Таким образом, симметрия кристаллов исчерпывающе описывается следующими элементами симметрии:

 

Р, С, L ₂, L ₃, L ₄, L ₆, L _{`3</sub>, L <sub>`4}, L _`6

 

В табл.1 приведены применяемые символы для обозначения элементов симметрии и дано их графическое изображение на чертеже.

  Т а б л и ц а 1