Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальные уравнения порядка n. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Общий вид: . Если уравнение сведено к виду то оно называется разрешённым относительно старшей (высшей) производной. Методы понижения порядка. Случай 1. Если в уравнении отсутствуют младшие порядки производных. Так, в уравнении отсутствуют все производные до порядка , в том числе 0-го порядка, а именно сама функция , и начинаются с порядка . В этом случае можно сделать замену , то есть в качестве новой функции взять производную самого младшего порядка, которая есть в уравнении. Докажем, что в этом случае понизится на порядков и станет . и так далее. Таким образом, замена понижает на k порядок уравнения .
Пример 335. Решить уравнение 2 порядка . Замена: , тогда . Уравнение сводится к виду . Для уравнение 1 порядка и решается обычными методами, изученными ранее.
. Вспомним о том, что , то есть теперь, чтобы сделать обратную замену и восстановить , надо 1 раз проинтегрировать. = . В общем решении здесь не одна, а две константы, вторая появляется из-за того, что интегрировали для обратной замены. А если уравнение 3 порядка, то будет 3 константы в общем решении. Задача 336. Решить дифференциальное уравнение . Решение. Это уравнение сводится к заменой , .
Особые решения: . Далее, . Провести обратную замену здесь означает вычислить первообразную, ведь у нас было . = . Ответ. .
Задача 337. Найти общее решение уравнения и частное решение при условиях Коши: . Решение. Сделаем замену , тогда . Тогда уравнение сведено к виду .
. Теперь вспомним, что было и сделаем обратную замену. = - это общее решение. Особые решения: , но здесь их не надо указывать отдельно, так как они входят в состав общего решения: при остаётся только . А теперь конкретизируем константы с помщью условий Коши, то есть найдём частное решение. У нас есть информация: , а также . Тогда , , то есть . Тогда частное решение: . Ответ. , . Задача 338. Найти общее решение уравнения и частное решение при условиях Коши: . Решение. Сделаем замену , тогда уравнение сводится к , решаем его: . Теперь вспомним, что это , и сделаем обратную замену, для этого надо 2 раза перейти к первообразной. . Особые решения: , впрочем, они входят в состав общего решения, ведь при будет .
Уравнение 3 порядка, и здесь получилось 3 константы. Теперь найдём частное решение. В первом столбце та или иная производная, во втором - что в неё подставить, какое из условий Коши. В третьем-что при этом получится. Везде подставляем .
, , Это система из 3 уравнений, но только метод Гаусса в полном объёме здесь не нужен, потому что сразу определено , тогда из второго уравнения получим , подставляем в первое . Итак, . Ответ. Общее реш. , частное . Случай 2. Если в уравнении содержится и все порядки производных, но при этом нет переменной . Тип уравнения такой: . Например, - уравнение колебательного процесса в физике. В этом случае замена , то есть будет выступать в роли переменной, а - в роли функции от . Естественно возникает вопрос: а существуют ли в принципе такие преобразования, не содержат ли они противоречия? Всегда ли можно выразить как функцию от ? Изучим этот вопрос подробнее. Оказывается, надо лишь найти обратную функцию и подставить её в производную . Примеры: Пример 1. , . Выразим , и подставим в производную, тогда верно, что . Пример 2. , . Тогда , и в итоге . Как видите, может быть записано не только как функция от , но и как функция от .
Итак, замена . В данном случае, не , потому что фактически здесь была композиция: , и следующую производную от неё надо вычислять именно как для композиции. Получается . = вычисляем производную произведения двух сомножителей, причём в каждом из них ещё и композиция:
учитывая, что , получится . 1-я производная от выражается через 0-ю производную от , 2-я производная от выражается максимум через 1-ю производную от , 3-я производная от выражается через 2-ю, 1-ю и 0-ю производную от : . Таким образом, доказали, что порядок при таком преобразовании обязательно понизится на 1 единицу. Доказали, что замена понижает на единицу порядок уравнения .
Пример 339: Это уравнение колебательного процесса: чем больше координата, тем больше действует сила (ускорение) в противоположную сторону. После замены, уравнение преобразуется к виду: . Сначала 1-й шаг: ищем неизвестную функцию .
.При этом , иначе справа всё выражение было бы отрицательно и не могло бы быть равно . Если , то эту константу можно представить в виде . Итак, , то есть . Итак, мы нашли неизвестную функцию , то есть выполнили действия после замены. Теперь нужно сделать обратную замену, фактически для этого выполнить такой же по объёму 2-й шаг, решить новое дифференциальное уравнение. Ведь , то есть теперь надо решить уравнение: . 2 шаг. Обратная замена.
. Здесь называется амплитудой колебаний, - фазой. Впрочем, при получается не синус, косинус, а именно, по формуле приведения . Поэтому в решении есть и косинусы. Более того, мы могли при решении знак плюс-минус также перенести, , тогда бы слева сразу получалось 2 варианта: или арксинус, или арккосинус. На этом примере увидели, что уравнение действительно является уравнением колебаний, то есть в его решении периодические функции.
|
|||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 55; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.28.197 (0.027 с.) |