Частное решение. Задача Коши.

       Если задать точку  и найти кривую (одну из бесконечного множества), проходящую через неё, то есть , то можно определить значение параметра . Это дополнительное условие называется условием Коши. Чтобы найти эту одну кривую, надо подставить  в общее решение, и там останется одна неизвестная . Например, если  = , то есть кривая проходит через точку , то  запишется в виде , тогда . Функция  называется частным решением.

       Примечание. Движение в физике задаётся с помощью уравнений со 2-й производной (ускорение), в общем решении две константы, поэтому там требуются 2 условия (начальная координата и начальная скорость), чтобы определить траекторию.

Задача 320. Решить уравнение . 

Решение. Запишем . Теперь домножим на dx, разделим на . . Особое решение . Далее,  =  (где C > 0 так как  ). Но нам надо выразить не , а само , тогда и ограничение на положительность С также исчезает, и в итоге общее решение этого уравнения, что и является ответом: , где .

Ответ.  ().

Проверка: , ,  выполнено.

Практика 29.

Поле направлений. Если задано дифференциальное уравнение , то это означает, что в каждой точке некоторой области D задано направление касательной, т.е. под каким углом наклона там пройдёт кривая. Ведь  это тангенс угла наклона производной, и он дан для каждой точки, а именно равен . Возникает так называемое «поле направлений». Иногда даже зрительно можно заранее предположить, какие кривые являются решениями дифф. уравнения. Увидим это на следующем примере.

Задача 321. Решить дифференциальное уравнение .

Заметим, что тангенс угла наклона касательной для любого решения здесь равен , то есть касательные направлены радиально от центра.

Можно предположить, что решения это прямые вида . А теперь решим задачу аналитически.

. Кстати, любую константу можно задать в виде , так как область значений логарифма . Для удобства сразу запишем , чтобы логарифмировать это выражение. Впрочем, это не обязательно делать именно так,  можно преобразовать и позже. 

Далее, .

В итоге, общее решение . Ответ. .

Проверка. , , подставим в уравнение  получим .

Задача 322. Решить уравнение .

Решение.      , где .

Ответ. .

 

Задача 323. Решить дифференциальное уравнение , и найти частное решение, удовлетворяющее условию Коши .

Решение. , умножим на 2: . Константа  не может быть отрицательной, иначе  и не будет существовать корень квадратный. Тогда , и можно обозначить её в виде .

Итак, , это уравнение окружности.

Но выразим явно функцию : общее решение.

Проверка: .

Теперь применим условие Коши , то это означает, что надо найти среди бесконечного множества кривых именно ту кривую, которая проходит через точку (0,2) на плоскости. Фиксируем ,  тогда в уравнении остаётся всего одно неизвестное, а именно . Тогда , т.е. .

Теперь возвращаемся к общему решению, но там уже фиксируем найденное . Частное решение: .

Ответ. Общее решение , частное решение .

Задача 324. Решить уравнение .

Решение. .

Особое решение .

.

Ответ. .

Задача 325. Решить уравнение .

 

Решение.

.

Ответ.

 

Задача 326. Решить уравнение .

 

Решение.   

.

Ответ. .

 

Однородные уравнения.

Далеко не все уравнения - с разделяющимися переменными. Так, если присутствует множитель , то что бы ни выносили за скобку, всё равно там останутся обе переменные, а не одна:  =   или  = .

Уравнения, сводящиеся к виду  называются однородными (по степени). Примечание. Не путать: название «однородные» будет использоваться ещё и для других свойств, например, когда правая часть линейного уравнения равна 0. 

Замена  сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

, тогда  = .

Тогда  преобразуется к , далее

Таким образом, свели к уравнению с разделяющимися переменными.

 

Задача 327. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Оно было ранее решено как «с разделяющимися переменными», но оно также является и однородным, можно на его примере отработать алгоритм действий с однородными.  Сделаем замену . Получим . Тогда , то есть . Тогда . Сделаем обратную замену. Если , то , из чего следует, что общее решение .

Задача 328. Решить уравнение  . 

Решение. Уравнение можно рассматривать как «однородное», то есть вида . Оно может быть записано в виде .

Сделаем замену , при этом , а значит, . Тогда уравнение приводится к виду , то есть .

 надо сделать обратную замену, .

Ответ. .

Линейные уравнения.

Уравнение вида  называется линейным.

Если , то оно называется линейным однородным.

При этом,  не может быть тождественно равно 0, иначе вообще нет слагаемого с производной , то есть уравнение не являлось бы дифференциальным. Но тогда можно поделить всё уравнение на  и свести к виду .

Во-первых, заметим, что линейные однородные уравнения фактически являются уравнениями с разделяющимися переменными. Действительно, , где  первообразная, с точностью до константы. В итоге, , то есть общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: константа, умноженная на экспоненту в степени первообразной от коэффициента , взятую с другим знаком.

Задача 329. Решить уравнение .

Решение. Линейное однородное фактически является уравнением с разделяющимися переменными.

.

Ответ. .

Проверка: , , подставим в исходное уравнение, будет

 

Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Задача 330. Решить линейное уравнение .

1 шаг. Решаем соответствующее однородное уравнение. .  - общее решение однородного.

2 шаг. Методом Лагранжа решаем неоднородное.

Ищем решение в виде: . Ищем производную:

 = . Всё это подставим в неоднородное:

, тогда .

Тогда  = .

Теперь подставим это в , получается

 = . 

Общее решение неоднородного состоит из двух слагаемых: частное решение неоднородного (его мы и искали на 2-м шаге методом Лагранжа) и общее решение однородного, которое нашли на 1-м шаге, и оно воспроизвелось само в конце 2-го шага. Это происходит из-за того, что  всегда ищется с помощью её производной, а значит, в ней присутствует слагаемое .

Проверка. Можно подставить частное решение неоднородного, и это слагаемое само по себе тоже является решением:

Выполняется ли  ? 

 =  = . Верно.

 

 

Задача 331. Решить линейное неоднородное уравнение . 

Решение. 1) Решим соответствующее однородное.

 - общее решение однородного уравнения.

2) Ищем общее решение неоднородного в виде , при этом получится , подставляя  и  в уравнение , получаем: 

. Тогда   т.е. .   

Ответ. .   

Здесь частное решение неоднородного это . Кстати, можно сделать и проверку этого ответа: .

Задача домашняя (разобрать самостоятельно).

Решить линейное неоднородное уравнение . 

Решение. 1) Сначала решим однородное .

 решение однородного .

2) Ищем решение неоднородного в виде .

При этом .

Подставляем  и  в исходное неоднородное уравнение

 

 .

Тогда  = .   Ответ. .

 

Уравнения Бернулли.  

Уравнение вида  называется уравнением Бернулли. Так как коэффициент  не тождественно равен 0, то на него можно поделить, поэтому будем рассматривать в виде: .

Отличаются от линейных только наличием  в правой части.

Если n=0 получается линейное неоднородное .

Если n=1 то ещё лучше, получается однородное:  

то есть .

При ,  получается уже собственно, уравнение Бернулли. Оно является обобщением линейного уравнения.

 

Алгоритм решения.

1) Разделить на . Получится .

2) Сделать замену . Тогда оно сведётся к линейному по .

3) решить линейное (в 2 шага, сначала однородное, потом неоднородное) 

4) сделать обратную замену: так как , то .

 

  Докажем, что уравнение Бернулли сводится к линейному.

, тогда  по правилам дифференцирования композиции. Получили, что .

Тогда уравнение  сводится к такому виду:

, или .

Это уже линейное неоднородное уравнение.

Задача 332.  Решить дифференциальное уравнение .    

Решение. 1) Разделим на . Получаем .

2) Введём замену , при этом .

Тогда . Для удобства умножим ещё на .

. Это линейное неоднородное уравнение.

Оно решается в 2 шага: сначала соответствующее однородное.

3.1) . Однородное является уравнением с разделяющимися переменными.   

 это общее решение однородного уравнения.

3.2) Метод Лагранжа. Ищем решение неоднородного в виде:

. Тогда . Подставим эти выражения в неоднородное уравнение .

  

. 

Тогда .

4) Обратная замена: вспомним, что , тогда   

Ответ. .    

 Уравнения в полных дифференциалах.

Рассмотрим ещё один метод решения дифференциальных уравнений, основанный на использовании потенциала поля. Пусть дано дифференциальное уравнение вида ,

причем . Тогда это уравнение называется «уравнением в полных дифференциалах». Здесь  является потенциальным векторным полем. В этом случае уравнение можно представить в виде , а значит, . Затем остаётся только выразить  через .

Задача 333. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Проверяем тип уравнения. Здесь , . При этом

, ведь , . То есть, векторное поле  потенциально.

Ищем потенциал. Соединяем точки (0,0) и  с помощью ломаной, и вычисляем:

 =  = . Итак, .

 Тогда  общее решение.  Ответ. . 

 

Задача 334. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Проверяем тип уравнения. Здесь , .

При этом , ведь , . То есть, векторное поле потенциально. Ищем потенциал. Соединяем точки (0,0) и  с помощью ломаной, и вычисляем:

 =  = .  Итак, . Тогда  общее решение уравнения.      Ответ. .